Browsing by Subject "Master 's Programme for Teachers of Mathematics, Physics and Chemistry"

Sort by: Order: Results:

Now showing items 1-6 of 6
  • Hentunen, Johannes (Helsingin yliopisto, 2021)
    Lukuteoria tutkii kokonaislukujen ominaisuuksia, kuten jaollisuutta. Sekä kiinnostavaa että käytän-nöllistä on löytää keinoja selvittää onko jokin kokonaisluku jaettavissa millään toisella kokonais-luvulla. Näitä keinoja tai algoritmeja kutsutaan alkulukutesteiksi ja ne esiintyvät merkittävässäroolissa nykyaikaisessa tietoturvassa ja salaamisessa.Tässä työssä esitellään alkeellisia alkulukutestejä kuten Eratostheneen seula, Wilsonin lause ja Fer-mat’n testi, sekä suurten alkulukujen testaamiseen käytettyjä tehokkaampia menetelmiä. Alkulu-kutestit jaotellaan deterministisiin sekä probabilistisiin testeihin sen mukaan, antavatko ne var-man oikean tuloksen vai jollain tunnetulla todennäköisyydellä epävarman tuloksen. Epävarmempiprobabilistinen testi on kuitenkin determinististä käytännölisempi, sillä se voidaan ajaa riittävänmonta kertaa luotettavan tuloksen saamiseksi ja silti suoriutua determinististä testiä nopeammin.Erityisesti työssä keskitytään Miller-Rabinin probabilistiseen eli satunnaistettuun alkulukutestiin,joka on algoritmina nopea eli tehokas suuria lukuja testatessa. Työssä esitellään myös ensimmäi-nen polynomisessa ajassa suoriutuva deterministinen alkulukutesti AKS, jonka suoritumisaika elilaskutoimitusten lukumäärä on polynominen testattavan luvun numeroiden määrän suhteen.Työssä käydään läpi lukuteoreettista taustaa siinä määrin, kuin on alkulukutestien ymmärtämi-sen osalta oleellista, sekä katsastetaan myös lukuteorian sisältöjä ja opetusta lukiossa. Oleellinentaustateoria sisältää muun muassa kogruenssin, kiinalaisen jäännöslauseen, sekä Fermat’n pienenlauseen. Työssä esitellään myös Mersenneen alkuluvut ja näihin liittyvä yksinkertainen ja tehokasLucas-Lehmerin deterministinen alkulukutesti.Lukuteoriaa opetetaan vain vähän tai ei laisinkaan perusopetuksessa niin Suomessa kuin maail-mallakin. Lukion valinnainen kurssi Algoritmit ja lukuteoria antaa riittävät valmiudet tutustua it-senäisesti alkulukutesteihin tarvittavaan pohjateoriaan, kuten Fermat’n pieneen lauseeseen, muttakurssin varsinaiseen sisältöön alkulukujen testaus ei kuulu alkeellisimpia menetelmiä lukuunotta-matta.Lukuteoreettisten ongelmien pohtiminen ja lukuteorian käsitteiden opiskelu edistää opiskelijoidensuhtautumista matematiikkaan, vaikuttaa positiivisesti näiden metakogniitiivisiin kykyihin, sekäedistää ongelmanratkaisun ja todistamisen taitoja.
  • Pentti, Toni (Helsingin yliopisto, 2021)
    Tämän tutkielman tarkoitus on esitellä ja todistaa eräs topologisiin ryhmiin liittyvä lause. Lause kertoo topologisen ryhmän oleva metristyvä avaruus, mikäli ryhmän neutraalialkiolla on numeroituva ympäristökanta. Tutkielmassa käsitellään tarkemmin topologisiin ryhmiin liittyviä tuloksia ja niiden seurauksia. Ensimmäinen kappale on varattu johdannolle. Heti alussa käydään läpi miksi tutkielman tulos on merkittävä ja miksi siihen on järkevää paneutua. Tutkielmassa esitellään oleelliset lähtötiedot, jotta lukijan on helpompi tutustua varsinaiseen aiheeseen. Toisessa kappaleessa kerrotaan tärkeimmät käsitteet ja ne yritetään mahdollisimman selvästi selittää lukijalle. Tässä kappaleessa käydään myös läpi tutkielmassa käytettyjä merkintätapoja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Kappaleessa on lyhyesti esiteltynä topologisen ryhmän määritelmä, pohjaten algebran määrittelemään ryhmän käsitteeseen ja yleisen topologian määräämiin ehtoihin. Topologisille ryhmille johdetaan kaksi lausetta, jotka ovat tutkielman päätuloksen todistusta varten oleellisia. Ensimmäinen lauseista kertoo, että neutraalialkiolle voidaan rakentaa symmetrisiä ympäristöjä niin, että niiden tulo kuuluu aina johonkin toiseen ympäristöön. Toinen lauseista taas antaa tiedon siitä kuinka neutraalialkiolle löytyy ympäristöjä johon jokin toinen alkio ei kuulu. Nämä lauseet antavat työkalut rakentamaan ryhmän alkioille avoimia ympäristöjä, joita käytetään taas edelleen sopivia ympäristökantoja rakennettaessa. Tässä kappaleessa käydään läpi kaikki tarvittava päätulosta varten. Tutkielman varsinainen päätulos esitellään lyhyesti kappaleen neljä alussa. Kappaleessa todistetaan vaihe vaiheelta topologisen ryhmän neutraalialkiolle rakennetun numeroituvan ympäristökannan avulla, että löydetään metriikka joka määrittää avoimet joukot siten, että ne ovat samoja kuin topologian määräämät avoimet joukot. Tulos on merkittävä siksi, että se antaa työkalun tarkastella topologisten ja metristen avaruuksien yhteyksiä. Lähtökohta työlle oli kirjoittajan oma kiinnostus topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Tavoitteena oli todistaa tärkeä tulos topologian alalta, joka auttaa linkittämään topologiset ja metriset avaruudet toisiinsa.
  • Koskikallio, Hanna (Helsingin yliopisto, 2021)
    Ylioppilaslautakunnan (2020) pistejakaumien perusteella lukiolaisten osaaminen todennäköisyys- ja tilastolas- kennan tehtävissä on ollut keskimäärin muita tehtäviä huonompaa vuosina 2011-2020. Tämän maisterintutkiel- man tavoitteena on edistää lukiolaisten todennäköisyys- ja tilastolaskennan osaamista luomalla lukioon sopivaa opiskelumateriaalia kombinatoriikasta. Työn matemaattinen osuus käsittelee lukiossa tarvittavaa kombinatoriikkaa. Osiossa käydään läpi kombinato- riikan peruskäsitteet: tuloperiaate, summaperiaate, kombinaatio ja permutaatio sekä todistetaan niihin liittyviä lauseita. Lisäksi esitellään lyhyesti binomikerroin sekä Pascalin kolmio. Kombinatoriikan itseopiskelu -osio sisältää kasvatustieteellisen teorian, jonka varaan materiaalin valinnat ja linjaukset pohjautuvat. Osiossa keskitytään kombinatoriikan ja ongelmanratkaisun oppimiseen sekä käsitellään teorioita itsenäisen opiskelun näkökulmasta. Matemaattisia representaatioita käydään läpi opiskelumateriaalin sisällön kannalta ja itsearviointia pohditaan lyhyesti. Itseopiskelumateriaali esitellään työn neljännessä osiossa. Osio etenee materiaalin lukujen järjestyksessä viita- ten työn teoriaosion keskeisiin sisältöihin ja niiden näkymiseen materiaalin sisällöissä. Valmis materiaali antaa raamit kombinatoriikan itseopiskeluun soveltuvan materiaalin luomiseen. Se toimii esimerkkinä ja luo mahdol- lisuuksia tutkimusperustaisen opiskelumateriaalin tekemiseen. Materiaalissa olevia ohjeita, esimerkkejä ja teh- tävänantojen tulkintoja voi käyttää sellaisenaan erillisinä osina opetuksen tai itsenäisen opiskelun materiaalina.
  • Nikula, Sanna (Helsingin yliopisto, 2021)
    Funktio on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä, mutta sen oppiminen aiheuttaa oppilaille paljon haasteita. Funktion kehitys alkoi varsinaisesti 1600-luvulla, jolloin Descartes esitti yhtälön avulla kahden muuttujan riippuvuuden ja Fermat keksi tämän riippuvuuden yhteyden tasokäyrään. Sanan funktio otti käyttöön Leibniz vuonna 1673 ja Euler esitteli 1700-luvulla funktion analyyttisen lausekkeen. Modernin Dirichlet-Bourbaki -määritelmän mukaan funktio voi olla minkä tahansa joukkojen välinen vastaavuus. Suomalaisissa peruskoulun ja lukion oppikirjoissa pysytään pitkälti analyyttisen lausekkeen määrittelemässä funktiossa, moderni Dirichlet-Bourbaki -määritelmä esitellään vasta yliopistotason oppikirjassa. Matemaattisen käsitteen muodostuksessa proseduraalinen ja konseptuaalinen lähestymistapa yhdistyvät hyvin kehittyneessä ajattelussa proseptiksi, joka edustaa korkeinta abstraktiotasoa. Ymmärtäminen tarkoittaa käsitteen liittämistä osaksi käsitteenmuodostusprosessissa syntynyttä tietoverkkoa, tai se voidaan ajatella myös tilanteeseen suhteutettuna järkevänä toimintana. Ymmärtäminen tehostaa ongelmanratkaisua ja oppimista monin tavoin. Funktion oppimiseen liittyviä yleisiä haasteita ovat mm. riittämätön algebran osaaminen, funktioon liittyvät monet alakäsitteet, käsitteen abstraktius ja funktion monet eri esitystavat. Funktioon liittyy myös useita spesifejä väärinkäsityksiä, kuten taipumus tulkita funktio lineaarisena, vaikeus tunnistaa vakiofunktiota, paloittain määriteltyä tai epäjatkuvaa funktiota funktioksi sekä vaikeus erottaa diskreetit ja jatkuvat funktiot toisistaan. Myös kulmakerroin ja kuvaajan tulkinta ja piirtäminen aiheuttavat haasteita. 9-luokkalaisille tehdyssä kyselyssä erityisesti paloittain määritellyt funktiot tunnistettiin huonosti. Avoimessa kysymyksessä funktion määritelmästä 9-luokkalaisista lähes puolet ei osannut antaa järkevää vastausta. Opettajat määrittelivät funktion yleisimmin vastaavuudeksi tai riippuvuudeksi, mikä vastaa funktion määritelmää joko uudessa tai vanhassa muodossaan. Funktion ymmärtämiseen tähtäävässä opetuksessa on tärkeää luoda yhteyksiä käsitteiden ja funktion eri esitystapojen välille. Opettajan pitäisi myös esittää riittävästi huolella valittuja esimerkkejä ja vaihdella erityyppisiä tehtäviä. Opetus pitäisi aloittaa intuitiivisesta edeten siitä abstraktiin suuntaan. Kuvaajan piirtämistä ja tulkintaa on hyvä harjoittaa riittävästi ja esitellä kulmakertoimelle erilaisia tulkintoja. Opettajan aineenhallinta on erittäin tärkeää. Opetuksessa on hyvä käyttää myös teknisiä apuvälineitä oppimisen apuna. Keskustelu, avoimet tehtävät ja ongelmanratkaisu ovat myös tärkeitä funktion opettamisessa.
  • Hannukkala, Karoliina (Helsingin yliopisto, 2021)
    Tavoitteet. Tutkimuksen tavoitteena on kartoittaa ja analysoida vuosina 2007–2021 järjestettyjen pitkän sekä lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa esiintyneiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien muutosta. Tutkimuksen erityiset kiinnepisteet ovat tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä hyödynnetyt ratkaisumenetelmät, tehtävien osaamistasoluokitukset sekä tehtäväkohtaiset pistejakaumat. Osaamistasoluokituksessa tukeudutaan Bloomin taksonomiaan. Tarkastelu jaetaan kolmeen aikajänteeseen matematiikan ylioppilaskokeessa ja sen järjestämistavassa tapahtuneisiin muutoksiin perustuen. Aikajänteet ovat 2007–2011 (perinteinen paperikoe), 2012–2018 (symbolisten laskimet sallittuja) ja 2019–2021 (kokeen toteutus kokonaan digitaalinen). Menetelmät. Tutkimuksessa on käytetty kvantitatiivisia menetelmiä. Ratkaisumenetelmien, osaamistasojen ja pistejakaumien analysoinnissa on kaikissa hyödynnetty määrällisiä menetelmiä. Tulokset ja johtopäätökset. Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävät peräänkuuluttavat sekä pitkässä että lyhyessä oppimäärässä laajasti erilaisten ratkaisumenetelmien hallintaa. Erityisen huomion kiinnittää lyhyen oppimäärän ylioppilaskokeiden taulukkolaskentaa vaativien tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien suuri suhteellinen osuus viimeisellä tarkastelujänteellä 2019–2021. Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien osaamistasovaade on vuosien saatossa kasvanut huomattavasti. Samaan aikaan suhteellinen tehtäväkohtainen pistemäärä on laskenut. Lyhyen oppimäärän tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien osaamistasovaade on kasvanut hiukan, ja samanaikaisesti tehtäväkohtaiset pistemäärät ovat pysyneet suhteellisen tasaisina
  • Heiskanen, Tuomas (Helsingin yliopisto, 2021)
    Työn tarkoitus on kartoittaa verkkopedagogiikan kasvatustieteellisen tutkimuksen keskeisiä alueita ja teoreettista taustaa ja mitä piirteitä laadukkaalla verkkopedagogiikalla ja hyvällä verkkokurssilla on. Työn soveltavana osuutena on lukuteorian teoriaa ja lukuteoriaan liittyviä tehtäviä, jotka on tarkoitettu Lukuteoriaa lukiolaisille -verkkokurssille, jonka sisältö on vuoden 2019 lukion opetussuunnitelman moduulin MAA11 Algoritmit ja lukuteoria mukainen. Opiskelijat toteuttavat tehtävät Python -ohjelmointikielellä. Verkkokursseja voi luokitella muun muassa verkko-opetuksen suhteellisen osuuden, ajoittumisen, avoimuuden ja sen mukaan kuinka paljon kursseilla on yhteistyötä ja yhteisöllisyyttä. Lähes kaikki oppilaitoksien kurssit ovat sekamuotoisia eli sisältävät sekä verkko että lähiopetusta. Verkko-opetus joustavoittaa ja yksilöllistää koulutusta ihmisten ja myös yhteiskunnan tarpeisiin mukautuen. Viimeaikaisen meta-analyysin mukaan lähiopetusta voi vähentää huomattavasti ja silti saada samat tai paremmat oppimistulokset kuin pelkällä lähiopetuksella. Erityisesti tämä tulos pätee luonnontieteiden opetukseen. Vertailtaessa verkkokursseja suhteessa toisiinsa on eroteltu kolme laadukkaan verkko-opetuksen keskeistä piirrettä: suunnittelu, arviointi ja fasilitointi. Suunnittelussa tärkeää oli selkeän oppimispolun ja tarkoituksen tunteen luonti opiskelijoille. Kurssin suunnitelleen ryhmän työn laatua voi arvioida ulkopuoliset asiantuntijat. Fasilitoinnissa tärkeää oli mm. opettajan läsnäolo ja nopea reagointi opiskelijoiden yhteydenottoihin. MOOC-kurssien opiskelijapalautetta arvioitaessa on havaittu, että matemaattisilla ja tietoa käsittelevillä aloilla opettajan ja luennointitaidon merkitys on suurempi kuin muilla aloilla. Verkkopedagogiikan teoreettisesta taustasta löytyy kolme konstruktivistista tutkimustraditiota: tutkiva yhteisö -kehys, käänteinen oppiminen ja tietokoneavusteinen yhteisöllinen oppiminen (CSCL). Konstruktivismissa oppimisen ajatellaan olevan tiedon ja merkitysten rakentumista oppilaan mielessä ja oppimisyhteisön olevan tälle prosessille tärkeä. Keskeinen ongelma ja samalla mahdollisuus on oppimisyhteisön luominen verkkoympäristössä. Tutkiva yhteisö -kehyksen mukaan oppimiselle tärkeitä elementtejä ovat sosiaalinen läsnäolo yhteisössä, opettamisen läsnäolo ja kognitiivinen läsnäolo. Laajojen tähän malliin perustuvien kyselytutkimusten tulokset viittaavat siihen, että sosiaalisen läsnäolon elementin merkitys tiedon rakentumiselle on välillinen, ei suora. Sitävastoin intensiivisemmällä kahden välisellä kommunikaatiolla oli selkeä suora merkitys oppimisen kannalta oli kyse vertaisesta tai opettajasta. Sosiaalista läsnäolon elementtiä voisi siis pitää motivoivana tekijänä ei suoraan tiedon rakentumiseen eli oppimiseen vaikuttavana. Käänteisen oppimisen perusajatus on yhteisen “luokkahuoneajan”, joka voi tapahtua joko verkossa tai kasvokkain, käyttäminen ongelmien ratkaisuun ja käsitteiden selventämiseen, ei tiedon välittämiseen. Käänteisessä oppimisessa painopiste on siirtynyt oppijan oikea-aikaiseen tukemiseen lähikehityksen vyöhykkeellä. Tavoitteena on oppija joka on oppinut oppimaan yksilöllisesti ja itsenäisesti. Suomessa tavoitteena on kaikkien kouluttaminen ja käänteisen oppimisen lähestymistapa sopii tähän hyvin. Meta-analyysissä käänteisellä oppimisella on ollut myönteinen vaikutus oppimistuloksiin. Verkkopedagogiikan tutkimustraditiot muistuttavat puunhaaroja, joista jotkut kuihtuvat ja toiset kasvavat nopeammin. Tyypillistä on, että samoja 20-30 vuotta sitten esitettyjä ajatuksia esitetään uudestaan kaikesta tutkimuksesta ja kritiikistä ja kehitysehdotuksista huolimatta. Traditiot ovat kuitenkin tiukan empiirisiä ja oletetettavasti opetuksessa käyttökelpoisimmat haarat tulevat kasvamaan parhaiten. Mielenkiintoisia tutkimusalueita mielestäni ovat arvioinnin ja kilpailun vaikutus yhteistyöhön ja luova, tuloksia tuottava ja osanottajista miellyttävä yhteistyö. Lukuteorian materiaalien suunnittelussa olen pyrkinyt lähtemään opiskelijoille tutuista laskusäännöistä, joiden avulla laajemmat kokonaisuudet kuten Eukleideen algoritmi tulisivat ymmärrettäviksi. Päämääränä on, että he itse pystyisivät toistamaan lukuteorian rakenteita ymmärtäen ne aikaisempaan tietoon ja intuitioon perustuen