Browsing by Subject "lineaarialgebra"

Sort by: Order: Results:

Now showing items 1-2 of 2
  • Hautala, Anni (Helsingin yliopisto, 2020)
    Tekoälyä ja koneoppimista hyödynnetään yhä useammilla tieteen ja liike-elämän aloilla ja tekoälyteknologioiden kehittyessä niiden käyttämisestä tulee yhä helpompaa ja yleisempää. Koneoppimisessa käytettävissä malleissa on taustalla paljon erilaista matematiikkaa ja tilastotiedettä. Menetelmien syvällinen ymmärtäminen ja soveltaminen vaatii ymmärrystä taustalla olevista matemaattisista rajoitteista ja sovellusmahdollisuuksista. Tässä tutkielmassa tarkastellaan koneoppimisen matemaattista perustaa. Työ on jaettu kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa esitellään muutamia koneoppimisessa tarvittavia matematiikan osa-alueita, joita tarvitaan koneoppimisessa: lineaarialgebran ja matriisilaskennan sekä todennäköisyyslaskennan perusteita. Tämä osa toimii johdantona tai kertausmateriaalina kyseisiin matematiikan osa-alueisiin. Työn toisessa osassa esitellään yleisesti koneoppimisen peruskäsitteitä ja muotoillaan koneoppimisprosessia matemaattisesti. Sitten käydään läpi kaksi koneoppimismenetelmää, lineaarinen regressioanalyysi ja pääkomponenttianalyysi (PCA). Molemmista menetelmistä esitetään perusperiaate, matemaattista taustaa ja käytännön esimerkkejä Python-ohjelmointikielellä. Tutkielma perustuu kirjallisuuskatsaukseen.
  • Vuorikoski, Juho (Helsingin yliopisto, 2019)
    Yleisesti Sir William Rowan Hamiltonia pidetään vektorialgebran luojana. Hän oli 1800- luvun alussa syntynyt arvostettu matemaatikko. Yritettyään vuosia löytää tapaa yleistää kompleksilaskenta kolmeen ulottuvuuteen, hän lopulta vuonna vuonna 1843 keksi kvaterniot, kompleksilukujen laajennuksen neliulotteiseksi luvuiksi. Hamiltonin kvaternihin pohjautuva järjestelmä on ensimmäinen julkaistu vektorialgebra. Hamilton oli jo aikanaan kuuluisa ja vaikutusvaltainen, mutta siitä huolimatta kului yli kaksikymmentä vuotta, ennen kuin hänen järjestelmäänsä alettiin käyttää laajemmin. Vuosisadan vaiheessa tämän järjestelmän pohjalta luotiin moderni vektorialgebra. Mutta modernin järjestelmän pohjaksi harkittiin myös toista järjestelmää. Tämän oli luonut saksalainen kouluopettaja Hermann Grassmann (1809-1877). Päinvastoin kuin Hamilton, Grassmann ei ollut aikalaisilleen tunnettu saavutuksistaan matematiikan alalla. Itseasiassa, hän teki ensimmäinen matemaattinen julkaisunsa yli 30 vuotiaana. Grassmannia oli jo vuosia kiehtonut idea suorien yhteenlaskusta ja vuonna 1844 hän vihdoin julkaisi kirjan, joka lähti tuosta yksinkertaisesta ideasta ja päätyi yhdeksi ensimmäisistä oikeista vektorialgebrojen esityksestä ja ensimmäiseksi lineaarialgebran esitykseksi. Valitettavasti hänen tuntemattomuutensa ja se että hänen aikalaisensa pitivät kirjaa pahamaineisen vaikealukuisena, varmisti, että kirja jäi ilman suurempaa huomiota. 15 vuotta myöhemmin hän päätti yrittää uudelleen ja alkoi kirjoittaa järjestelmästään parannettua versiota. Tämän hän lopulta julkaisi vuonna 1863 nimellä “Ausdehnungslehre” tai englanniksi “Extension Theory”. Tämäkin kirja jäi vaille suurempaa huomiota hänen elinaikanansa, mutta noin sata vuotta myöhemmin Grassmannin työt nousivat uuteen arvoon. Tämä johtui siitä, että “Extension Theory” on paljon muita aikalaisia järjestelmiä abstraktimpi ja määrittelee kaiken n-ulotteisesti, sen sijaan että asiat määriteltäisiin lähinnä kolmessa ulottuvuudessa (tai neljässä kvaternioiden tapauksessa). Tässä järjestelmässä ristitulon sijasta, meillä on ulkotulo ja sisätulo määritellään tämän ulkotulon kautta ja on paljon monimutkaisempi kuin normaalissa vektorialgebrassa. Tieteen kehittyessä tarpeet käsitellä asioita n-ulotteisesti kasvoivat ja asiat joidenka takia Grassmannin aikailaiset eivät hänen töitään ymmärtäneet, toivat hänen työnsä takaisin parrasvaloihin.