# Consistent Aggregation Methods and Index Number Theory

﻿

http://hdl.handle.net/10138/10008
 Title: Consistent Aggregation Methods and Index Number Theory Author: Pursiainen, Heikki Contributor organization: University of Helsinki, Faculty of Social Sciences, Department of Political ScienceHelsingin yliopisto, Valtiotieteellinen tiedekunta, Yleisen valtio-opin laitosHelsingfors universitet, Statsvetenskapliga fakulteten, Institutionen för allmän statslära Date: 2005-11-04 Language: eng Belongs to series: Dissertationes Oeconomicae ; 106:2005 ISSN: 0357-3257 URI: http://hdl.handle.net/10138/10008 Thesis level: Doctoral dissertation Abstract: In calculation of economic aggregates it is often necessary to compute the value of such aggregates for some relevant subgroups of statistical units as well as for the entire population of interest. A method of aggregation is said to be consistent in aggregation if it gives the same result regardless of whether the method is applied directly to the whole data or in two (or more) steps. The latter route consists of first partitioning the data into subgroups and applying the aggregation method in these, and then in the second step aggregating these sub-aggregates into a total aggregate using the same method. This intuitively appealing and practically important property has lacked a general definition until now. In this thesis such a definition is given and it is shown that any aggregation method with this property corresponds to repeated application of an Abelian semigroup operation and vice versa. The range of aggregation problems the result covers is quite broad, as semigroup operations may be defined for example on sets of real numbers, vectors of real numbers, sets, functions such as stochastic processes etc. The semigroup interpretation makes it possible to formulate many classical aggregation problems using algebraic concepts such as isomorphisms between semigroups, sub-semigroups and homomorphisms. The strength of the algebraic approach is demonstrated by applying algebraic techniques to index number theory. One of the main results is that under general conditions an index number formula that is consistent in aggregation has a simple quasilinear representation, that is, the semigroup that defines the index number formula is isomorphic to an addition semigroup. This representation allows the use of functional equations techniques to prove many results concerning the possible functional form of formulas that satisfy interesting axiomatic criteria, such as reversibility and proportionality tests. Finally, the relation of these results, which are in the axiomatic or test-theoretic tradition of index number theory, to utility-maximizing behaviour, is explored. First a critical review of the economic approach is presented, and a large class of new, asymmetric superlative index number formulas emerges as a by-product. It is then shown, that the quasilinear indices and their subindices quadratically approximate meaningful economic indices and sub-indices under standard regularity assumptions.Taloudellisia aggregaatteja, kuten esimerkiksi hintaindeksejä, laskettaessa on usein välttämätöntä suorittaa laskelmat koko tarkastelun kohteena olevan perusjoukon lisäksi myös joillekin osajoukoille. Esimerkiksi kuluttajahintaindeksiin sisältyy kokonaisindeksin lisäksi myös useita eri hyödykeryhmien osaindeksejä. Aggregointimenetelmää kutsutaan aggregointikonsistentiksi, mikäli se tuottaa aina täsmälleen saman tuloksen, suoritettiinpa aggregointi kerralla tai kahdessa (tai useammassa) vaiheessa. Kaksivaiheisessa menettelyssä aggregointi suoritetaan ensin jonkin perusjoukon osituksen osajoukoille ja näin saadut aliaggregaatit aggregoidaan toisessa vaiheessa kokonaisaggregaatiksi samaa menetelmää käyttäen. Tälle intuitiivisesti miellyttävälle ja käytännössä tärkeälle ominaisuudelle ei kuitenkaan ole aiemmin esitetty yleistä määritelmää. Väitöskirjassa esitetään tällainen määritelmä, ja osoitetaan, että konsistenssiominaisuudella varustetut menetelmät voidaan aina esittää jonkin Abelin puoliryhmäoperaation toistettuna soveltamisena ja päinvastoin. Tulos soveltuu hyvin monenlaisiin aggregointiongelmiin, mikä johtuu Abelin puoliryhmän (vaihdannaisen ja liitännäisen magman) yleisyydestä käsitteenä. Puoliryhmäesitys mahdollistaa monien klassisten aggregointiongelmien tutkimisen algebrallisiin käsitteisiin perustuen. Tämän lähestymistavan käyttökelpoisuus osoitetaan väitöskirjassa soveltamalla algebrallisia menetelmiä laajalti aksiomaattiseen indeksiteoriaan. Yksi päätuloksista on se, että konsistentisti aggregoituvilla hintaindekseille on väljien ehtojen vallitessa aina ns. kvasilineaarinen esitys, so. indeksikaavan määrittelevä puoliryhmä on isomorfinen jonkin vektorien yhteenlaskupuoliryhmän kanssa. Tämä mahdollistaa funktionaaliyhtälöiden teorian soveltamisen sen tutkimiseen, millaiset funktiomuodot ovat toteuttavat erilaisia klassisia indeksitestejä, kuten käännettävyys- ja proportionaalisuustestejä. Lopuksi tarkastellaan tulosten yhteyttä maksimointikäyttäytymiseen perustuvaan standarditalousteoriaan. Tässä yhteydessä esitetyn kriittisen ns. taloudellista indeksiteoriaa koskevan katsauksen yhteydessä esitetään laaja ns. superlatiivisten indeksien perhe, johon sisältyy varsin erikoisia funktioita. Lisäksi osoitetaan, että monet kvasilineaariset indeksit ja ennen kaikkea niiden osaindeksit approksimoivat standardioletusten vallitessa eräitä mielekkäitä taloudellisia suureita. Description: Only abstract. Paper copies of master’s theses are listed in the Helka database (http://www.helsinki.fi/helka). Electronic copies of master’s theses are either available as open access or only on thesis terminals in the Helsinki University Library.Vain tiivistelmä. Sidottujen gradujen saatavuuden voit tarkistaa Helka-tietokannasta (http://www.helsinki.fi/helka). Digitaaliset gradut voivat olla luettavissa avoimesti verkossa tai rajoitetusti kirjaston opinnäytekioskeilla.Endast sammandrag. Inbundna avhandlingar kan sökas i Helka-databasen (http://www.helsinki.fi/helka). Elektroniska kopior av avhandlingar finns antingen öppet på nätet eller endast tillgängliga i bibliotekets avhandlingsterminaler. Subject: aggregation algebra axiomatic index number theory econometrics economic indices functional equations index number theory aggregointi algebra aksiomaattinen indeksiteoria ekonometria funktionaaliyhtälöt indeksit
﻿