# GARCH Modeling with Normal Variance-Mean Mixtures

﻿

http://hdl.handle.net/10138/12631
 Title: GARCH Modeling with Normal Variance-Mean Mixtures Author: Miettinen, Jarkko Contributor: University of Helsinki, Faculty of Social Sciences, Department of Mathematics and Statistics Date: 2007-05-23 Language: en URI: http://hdl.handle.net/10138/12631 Thesis level: Licentiate thesis Abstract: In GARCH literature a symmetric conditional probability distribution is often assumed. As the financial data, such as stock market returns, often have both peaked and skewed distribution, this assumption can be too restrictive. We expand this by allowing for the conditional distribution to be asymmetric or skewed. Four distributions that have a normal variance-mean mixture representation are considered. Three of these distributions belong to the class of generalized hyperbolic (GH) distributions. The GH distribution is obtained by assuming that the (unobserved) mixing variable has the generalized inverse Gaussian (GIG) distribution. As the GH distribution is regarded as too broad for GARCH modeling we employ its three special cases. These distributions are obtained by assuming that the mixing distribution has inverse Gaussian (IG), Gamma or reciprocal Gamma (RG) distribution. Resulting distributions are called normal inverse Gaussian (NIG), normal Gamma (NG) and normal reciprocal Gamma (NRG) distributions. In addition, we apply the so-called z distribution. This distribution is obtained by assuming that the mixing distribution has infinite convolution of exponentially distributed random variables. In empirical applications employing two real stock market indices, it was first discovered that statistically significant estimates of the parameters of the skewed distributions were actually obtained. Especially, all the estimates implied negatively skewed conditional distributions. Most of the models based on skewed conditional distributions were also superior to the model based on the symmetric t distribution according to standard model selection criteria. According to plots of the densities of the standardized residuals against the theoretical densities, skewed distributions have better ability to capture the tail behaviour of the financial data than the symmetric t distribution. Advantages of the skewed distributions were also observed through Value-at-Risk (VaR) applications, where the correct shape of the (left) tail of the distribution is of concern. We conclude that allowing for conditional skewness should be taken into consideration in GARCH modeling. The GARCH-in-Mean model with z distribution was introduced by Lanne and Saikkonen (2007). Generalized hyperbolic distributions are overviewed for example in Eberlein and v. Hammerstein (2003). The calculation of the modified Bessel functions was enabled by Abramowitz and Stegun (1970) and especially Spanier and Oldham (1987).Useimmissa tutkimuksissa GARCH-malleissa on oletettu symmetrinen ehdollinen jakauma. Koska taloudellisinten aika-sarjojen, kuten osakemarkkinatuottojen, jakauma on usein paitsi huipukas myös vino, saattaa tämä oletus olla liian sitova. Tässä tutkimuksessa tästä oletuksesta luovutaan sallimalla ehdollisen jakauman olevan epäsymmetrinen eli vino. Erityisesti tutkimuksessa tarkastellaan neljää jakaumaa, joilla on niin sanottu normaalinen varianssi-odotusarvo-sekoitus esitys. Kolme näistä jakaumista kuuluu niin sanottujen yleistettyjen hyperbolisten (GH) jakaumien luokkaan. Tämä jakauma saadaan olettamalla, että (ei-havaittava) sekoittava satunnaismuuttuja noudattaa yleistä käänteistä Gaussista (GIG) jakaumaa. Koska GH-jakaumaa pidetään liian yleisenä empiirisiin sovelluksiin, tutkimuksessa sovelletaan sen kolmea erikoistapausta. Nämä erikoistapaukset saadaan olettamalla, että sekoittava satunnaismuuttuja noudattaa käänteistä Gaussista- (IG), gamma- tai käänteistä gamma-jakaumaa (RG). Saatavia jakaumia kutsutaan NIG-, NG- ja NRG-jakaumiksi. Lisäksi sovelletaan niin sanottua z-jakaumaa. Tämä jakauma saadaan olettamalla, että sekoittava satunnaismuuttuja noudattaa jakaumaa, joka on äärettömän monen eksponenttijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan konvoluutio. Empiirisissä sovelluksissa kahdella osakemarkkinaindeksillä havaittiin, että vinojen jakaumien parametrit voitiin estimoida tarkasti. Erityisesti kaikista saaduista estimaateista seurasi negatiivisesti vino ehdollinen jakauma. Suurin osa vinoon jakaumaan perustuvista malleista oli tavallisten mallinvalintakriteerien mukaan sopivuudeltaan ylivoimainen verrattuna symmetriseen t-jakaumaan perustuvaan malliin. Verrattaessa standardoitujen residuaalien jakaumaa mallien tuottamiin teoreettisiin jakaumiin havaittiin, että vinot jakaumat näyttävät soveltuvan symmetristä jakaumaa paremmin osaketuottoaineiston häntien mallintamiseen. Vinojen jakaumien edut tulivat näkyviin myös niin sanotuissa VaR (Value-at-Risk) sovelluksissa, joissa jakauman (vasemman) hännän oikea mallintaminen on erityisen tärkeää. Tutkimuksen tärkein lähde on Lanne ja Saikkonen (2007), jossa esitellään z-jakaumaan perustuva vino GARCH-in-Mean-malli. Yleistetyistä hyperbolisista jakaumista kattava esitys löytyy esimerkiksi Eberleinistä ja v. Hammersteinista (2003). Modifioitujen Bessel-funktioiden laskemiseen sovellettiin tietoja Abramowitzista ja Stegunista (1970) sekä erityisesti Spanierista ja Oldhamista (1987). Description: Endast sammandrag. Inbundna avhandlingar kan sökas i Helka-databasen (http://www.helsinki.fi/helka). Elektroniska kopior av avhandlingar finns antingen öppet på nätet eller endast tillgängliga i bibliotekets avhandlingsterminaler.Only abstract. Paper copies of master’s theses are listed in the Helka database (http://www.helsinki.fi/helka). Electronic copies of master’s theses are either available as open access or only on thesis terminals in the Helsinki University Library.Vain tiivistelmä. Sidottujen gradujen saatavuuden voit tarkistaa Helka-tietokannasta (http://www.helsinki.fi/helka). Digitaaliset gradut voivat olla luettavissa avoimesti verkossa tai rajoitetusti kirjaston opinnäytekioskeilla. Subject: generalized autoregressive conditional heteroskedasticity skewness normal variance-mean mixture generalized hyperbolic distributions stock markets stock market indexes yleistetty autoregressiivinen ehdollinen heteroskedastisuus yleistetyt hyperboliset jakaumat arvopaperimarkkinat indeksit
﻿