Numerical Solution of Limited-Data Inverse Problems Arising from X-Ray Tomography and Acoustic Inverse Scattering

Abstract

Inverse problems arise, for example, from various imaging applications in medicine and physics. Their inherent property is ill-posedness; even a very small error in the measurement data can lead to a large error in the reconstruction. To overcome this difficulty, regularization is necessary for the inversion.

In this work three new computational regularization methods for limited-data inverse problems are introduced and studied. The problems of special interest are stationary and dynamic X-ray tomography (CT) with sparsely sampled X-ray projection data and acoustic inverse scattering with limited-aperture data.

In the first article of this thesis we develop a computational reconstruction algorithm for solving stationary sparse-data CT problems. Sparse-data cases arise e.g. from the need to minimize radiation dose in medical imaging. The new reconstruction algorithm is based on total variation regularization, it preserves sharp features of the target and is suitable for large-scale problems such as 3D CT. Its performance is illustrated by numerical results computed from both simulated and real X-ray data.

In the second and third articles we introduce an inversion method for dynamic CT application making use of a few fixed X-ray sources and detectors. In this application the attainable temporal resolution is high while the CT data measured at a single time step is extremely sparse. The inversion method is motivated by level set methods and it regularizes the problem in space-time so that certain regularity is required both in spatial and temporal directions. Some of its important theoretical aspects are analyzed, and a computational implementation of the method is tested using both simulated and real X-ray data. The new methodology provides whole new possibilities e.g. for 4D angiographic imaging with high temporal resolution.

In the fourth article a numerical implementation of the so-called enclosure method by Masaru Ikehata is introduced and studied using simulated test data. The enclosure method is suitable for limited-aperture obstacle scattering problems, where one uses only one incident wave and measures the far field pattern of the scattered field on some possibly limited aperture. The name of the method comes from the fact that it finds the convex hull of the obstacle, rather than its precise shape. Numerical evidence presented suggests that the method can approximately recover the shape and position of an obstacle from noisy limited-aperture far field data.

Väitöskirjassa tutkitaan röntgensäteillä ja akustisilla aalloilla tapahtuvan kuvantamisen matematiikkaa, erityisesti numeerisesta näkökulmasta. Nämä kuvantamissovellukset johtavat inversio-ongelmiin, tai käänteisiin ongelmiin, joiden ratkaisut ovat äärimmäisen herkkiä mittausdatassa oleville virheille. Siksi niiden ratkaiseminen käytännössä vaatii regularisointia. Erityisen kiinnostuksen kohteena työssä on rajoitetun datan ongelmat, joissa käytettävissä oleva mittausdata on vajavaista esimerkiksi geometristen rajoitteiden takia.

Väitöskirjan ensimmäisessä artikkelissa esitellään uusi laskennallinen algoritmi, jonka avulla voidaan laskea käyttökelpoisia rekonstruktioita hyvin harvasta röntgendatasta. Harvan datan tapaus voi liittyä esimerkiksi säteilyannoksen minimointiin lääketieteellisessä röntgentomografiassa. Uusi algoritmi pohjautuu nk. totaalivariaatioregularisointiin, joka regularisoi tehokkaasti datan harvuuden aiheuttamia artefaktoja ja säilyttää poikkeuksellisen hyvin rekonstruktion terävät yksityiskohdat. Uusi algoritmi on laskennallisesti tehokas, joten sitä voidaan käyttää myös 3D-sovelluksissa.

Toisessa ja kolmannessa artikkelissa esitellään uusi rekonstruktiomenetelmä ja -algoritmi dynaamiselle 4D-röntgentomografialle, jossa kuvannetaan ajassa muuttuvaa kohdetta käyttäen muutamaa kiinteästi asennettua röntgenlähdettä ja -ilmaisinta. Tällä kuvantamismenetelmällä saavutetaan suuri aikaresoluutio mutta yksittäisellä ajanhetkellä mitattu röntgendata on äärimmäisen harva. Uusi rekonstruktioalgoritmi on nk. tasa-arvojoukkomenetelmän motivoima ja se regularisoi ongelmaa aika-avaruudessa siten, että ratkaisulta vaaditaan sopivaa jatkuvuutta sekä ajan että paikan suhteen. Menetelmä osoittautui tehokkaaksi sekä simuloidulla että aidolla röntgendatalla, ja se tarjoaa aivan uusia mahdollisuuksia esimerkiksi verisuonten varjoainekuvantamiseen 4D:ssä korkealla aikaresoluutiolla.

Neljännessä artikkelissa tutkitaan uutta rekonstruktioalgoritmia rajoitetun datan käänteiselle akustiselle sironnalle. Algoritmin pohjana on Masaru Ikehatan kehittämä ja teoreettisesti verifioima menetelmä, joka pystyy rekonstruoimaan tuntemattoman (este)sirottajan konveksin verhon käyttäen vain yhtä sisääntulevaa testiaaltoa ja mittaamalla sironneen kaukokentän rajoitetuissa suunnissa. Simuloidusta testidatasta laskettujen numeeristen tulosten perusteella menetelmä rekonstruoi kohtuullisella tarkkuudella sirottajan muodon ja sijainnin erittäin rajoittuneesta kohinaisesta kaukokenttädatasta.