On Heavy-tailed Risks with Applications to Insurance and Finance

Abstract

This book is about heavy-tailed random variables and the phenomena they induce to mathematical models.

It has become clear that the classical models employing light-tailed variables have an inherent tendency to underestimate the magnitude of extremal events. Recent developments in the financial world (financial crises) suggest that such shortcomings are not merely theoretical curiosities, but game-changing phenomena that can solely determine the fate of an agent.

To overcome the obstacles set by the classical lines of thought an agent must consider ways to improve the way risk is modelled and assessed. The book proposes two ways to do this. Firstly, the existing models are reconfigured to include the effects of different types of risks. Secondly, heavy-tailed effects such as the principle of a single big jump are made more transparent by a detailed investigation.

The mathematical theory of this book is based on the theory of random walks and their generalisations. Special attention is paid to randomly weighted random walks and randomly stopped random walks that are commonly encountered in the field of insurance mathematics.

Nykyaikaiset taloudelliset toimijat ovat mukana liiketoimissa, joista syntyvät tappiot voivat ylittää moninkertaisesti käytettävissä olevat varat. Tämä altistaa pankit ja vakuutuslaitokset suurille riskeille.

Matemaattisessa mielessä äärimmäisiä riskejä voidaan mallintaa käyttämällä satunnaismuuttujia, joiden häntäfunktiot vähenevät hitaasti. Hitaasti vähenevät häntäfunktiot mahdollistavat suuret realisaatiot suhteellisen suurella todennäköisyydellä. Satunnaismuuttujia, joiden häntäfunktio vähenee riittävän hitaasti, kutsutaan paksuhäntäisiksi.

Väitöskirja käsittelee sitä, millaisia vaikutuksia paksuhäntäisillä satunnaismuuttujilla on matemaattisissa malleissa ja millaisia ilmiöitä paksuhäntäiset satunnaismuuttujat tuottavat.

Vaikutuksia tutkitaan erilaisissa diskreeteissä malleissa, jotka perustuvat satunnaiskulkuun tai sen yleistyksiin. Erityistä huomiota kiinnitetään vakuutusmatematiikassa esiintyviin satunnaisiin diskonttausmalleihin ja satunnaisesti pysäytettyihin summiin. Lisäksi paksuhäntäisille malleille tyypillinen yhden suuren hypyn periaate eristetään yksinkertaisimpaan mahdolliseen viitekehykseen.