Applications of quantum groups to conformally invariant random geometry

Show full item record

Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-2188-2
Title: Applications of quantum groups to conformally invariant random geometry
Author: Peltola, Eveliina
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Thesis level: Doctoral dissertation (article-based)
Abstract: This thesis concerns questions motivated by two-dimensional critical lattice models of statistical mechanics, and conformal field theory (CFT). The core idea is to apply algebraic techniques to solve questions in random geometry, and reveal the algebraic structures therein. We consider the interplay between braided Hopf algebras (quantum groups) and CFT, with applications to critical lattice models and conformally invariant random curves, Schramm-Loewner evolutions (SLE). In the first article, a quantum group method is developed to construct explicit expressions for CFT correlation functions using a hidden Uq(sl2) symmetry. The quantum group method provides tools to directly read off properties of the functions from representation theoretical data. The correlation functions are analytic functions of several complex variables satisfying linear homogeneous partial differential equations known as the Benoit & Saint-Aubin PDEs. Such PDEs emerge in CFT from singular vectors in representations of the Virasoro algebra. The correlation functions of conformal field theory are believed to describe scaling limits of correlations in critical lattice models, expected to exhibit conformal invariance in the scaling limit. The second article contains applications to questions in the theory of SLEs: the pure partition functions of multiple SLEs, and the chordal SLE boundary visit probability amplitudes, also known as Green’s functions. The relevant solutions to the PDEs are found by imposing certain natural boundary conditions given by specified asymptotic behavior. Loosely speaking, the appropriate boundary conditions can be deduced from the qualitative properties of the associated stochastic processes, or alternatively, by CFT fusion arguments. More general solutions to the PDEs are constructed in the fourth article, in the spirit of fusion of CFT. The above type of solutions emerge also from critical lattice models, as (conjectured) scaling limits of renormalized probabilities of crossing and boundary visit events of interfaces. In the third article, such questions for the loop-erased random walk and the uniform spanning tree are studied. Explicit formulas for the probabilities are found, and their convergence in the scaling limit to solutions of second and third order PDEs of Benoit & Saint-Aubin type is proved. Furthermore, these functions are related to the conformal blocks of CFT, by certain combinatorial structures.Väitöskirjan keskeinen motivaatio on lisätä ymmärrystä kaksiulotteisten kriittisten hilamallien jatkumorajoista (skaalausrajoista) ja niiden yhteydestä konformikenttäteoriaan. Teemana on algebrallisten tekniikoiden soveltaminen konformi-invarianttiin satunnaigeometriaan liittyvissä ongelmissa. Väitöskirjassa tarkastellaan erityisesti Hopfin algebrojen (kvanttiryhmien) yhteyttä konformikenttäteoriaan, kriittisiin hilamalleihin, sekä konformi-invarianttien satunnaiskäyrien teoriaan (esim. Schramm-Loewner evoluutio, SLE). Ensimmäisessä artikkelissa kehitetään kvanttiryhmän Uq(sl2) esitysteoriaan perustuva menetelmä konformikenttäteorian korrelaatiofunktioiden konstruoimiseksi. Menetelmän avulla funktioiden ominaisuuksia voidaan tarkastella kvanttiryhmän esityksillä lineaarialgebran keinoin. Tarkasteltavat korrelaatiofunktiot ovat analyyttisiä monen muuttujan funktioita, jotka muuntuvat kovariantisti konformikuvauksissa ja toteuttavat tiettyjä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä (Benoit & Saint-Aubin yhtälöitä). Näiden funktioiden uskotaan olevan kriittisten hilamallien korrelaatioiden jatkumorajoja, mikä todistetaan tietyille malleille väitöskirjan kolmannessa artikkelissa. Kolmannessa artikkelissa osoitetaan, että tietyt ylitys- ja reunavierailutodennäköisyydet äärellisen graafin tasaisesti valitulle virittävälle puulle (uniform spanning tree) sekä satunnaiskävelylle, josta on poistettu silmukat (loop-erased random walk), suppenevat skaalausrajalla kohti funktioita, jotka toteuttavat yllä mainittuja toisen ja kolmannen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Artikkelissa konstruoidaan myös konformikenttäteorian konformiblokit ja havaitaan, että ne liittyvät virittävän puun ylitystodennäköisyyksien skaalausrajoihin tietyllä kombinatorisella kannanvaihdolla. Väitöskirjan toisessa artikkelissa yllä mainittua menetelmää sovelletaan SLE-käyrien teoriaan. SLE-käyrien uskotaan olevan kriittisissä hilamalleissa esiintyvien rajakäyrien skaalausrajoja. Artikkelissa konstruoidaan nk. SLE:n partitiofunktioita ja Greenin funktioita, jotka toteuttavat yllä mainittuja toisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Sopivan funktion löytämiseksi asetetaan reunaehdot funktion asymptotiikoille, jotka perustuvat satunnaiskäyrien odotettuun käyttäytymiseen (konformikenttäteorioiden fuusioon). Neljännessä artikkelissa konstruoidaan samoihin ajatuksiin perustuen ratkaisuja korkeamman asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöryhmille.
URI: URN:ISBN:978-951-51-2188-2
http://hdl.handle.net/10138/162720
Date: 2016-06-10
Subject: matematiikka
Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
conforma.pdf 1.067Mb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record