Convergence rates and uncertainty quantification for inverse problems

Show full item record

Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-2374-9
Title: Convergence rates and uncertainty quantification for inverse problems
Author: Kekkonen, Hanne
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Thesis level: Doctoral dissertation (article-based)
Abstract: My dissertation focuses on the convergence rates and uncertainty quantification for continuous linear inverse problems. The problem is studied from both deterministic and stochastic points of view. In particular, I considered regularisation and Bayesian inversion with large noise in infinite-dimensional settings. The first paper in my thesis investigates the convergence results for continuous Tikhonov regularisation in appropriate Sobolev spaces. The convergence rates are achieved by using microlocal analysis for pseudodifferential operators. In the second paper variational regularisation is studied using convex analysis. In this paper we define a new kind of approximated source condition for large noise and for the unknown solution to guarantee the convergence of the approximated solution in Bregman distance. The third paper approaches Gaussian inverse problems from the statistical perspective. In this article we study the posterior contraction rates and credible sets for Bayesian inverse problems. Also the frequentist confidence regions are examined. The analysis of the small noise limit in statistical inverse problems, also known as the theory of posterior consistency, has attracted a lot of interest in the last decade. Developing a comprehensive theory is important since posterior consistency justifies the use of the Bayesian approach the same way as convergence results justify the use of regularisation techniques.Perinteisissä eli suorissa matemaattisissa ongelmissa ilmiöön vaikuttavat syyt tunnetaan ja niiden seuraukset halutaan selvittää. Käänteisten eli inversio-ongelmien tutkimuksessa lähtökohtana on, että lopputulos tunnetaan ja halutaan tietää, mitkä tekijät johtivat kyseiseen tulokseen. Saatavilla oleva data voi olla esimerkiksi epätarkka valokuva, jolloin inversio-ongelmana on terävän kuvan tuottaminen. Inversio-ongelmat muodostavat tutkimusalan, jossa matemaattiset tulokset ovat välittömästi hyödyksi soveltajille ja sovellukset vuorostaan herättävät uusia ja mielenkiintoisia matemaattisia ongelmia. Useille inversio-ongelmille on yhteistä se, että samaa metodia voi pienin muutoksin käyttää hyvinkin erilaisilta vaikuttavien ongelmien ratkaisussa. Saman tyyppisiä menetelmiä käytetään niin lääketieteellisessä kuvantamisessa, teollisuuden materiaalien testauksessa kuin otsonitasojen mittauksessakin. Väitöskirjassani tarkastellaan, miten voimakkaasti virheet mittausdatassa, esimerkiksi valokuvassa oleva kohina, vaikuttavat ratkaisualgoritmien antamiin tuloksiin. Inversio-ongelmille on ominaista, että pienikin virhe mittauksessa voi johtaa suuriin virheisiin ratkaisussa, joten kohinan vaikutusten ymmärtäminen on tärkeää. Ongelmaa lähestytään sekä deterministisen regularisoinnin että tilastollisten inversio-ongelmien näkökulmasta. Tutkimuksessa luodaan uutta teoreettista ymmärrystä näiden kahden menetelmän välillä ja pyritään kuromaan yhteen niiden välistä eroa. Työssä todistetaan, että vaikka tiettyjen inversio-ongelmien ratkaisut eivät välttämättä suppene oikeaan tulokseen siinä avaruudessa, johon ratkaisu kuuluu, ne kuitenkin suppenevat siihen jossain karkeammassa avaruudessa. Lisäksi väitöskirjassa osoitetaan todeksi, että jos suppenemisen halutaan tapahtuvan alkuperäisessä avaruudessa, on tiettyjen lisäehtojen täytyttävä. Tämän lisäksi tutkitaan myös tilastollisten inversio-ongelmien ratkaisujen Bayesiläisiä luottamusalueita ja frekventistisiä uskottavuusjoukkoja.
URI: URN:ISBN:978-951-51-2374-9
http://hdl.handle.net/10138/164844
Date: 2016-08-26
Subject: matematiikka
Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
converge.pdf 420.0Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record