Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta

 

Recent Submissions

  • Salmela, Erja Susanna (2016)
    Työni ensimmäinen osio esittelee origamien matemaattista puolta. Esittelen siinä origamiaksioomat, janan ja kulman jakoa, säännöllisiä monikulmioita ja monitahokkaita sekä fraktaaleja. Origamiaksioomia lukuunottamatta kaikki aiheet esiintyvät tai voisivat esiintyä yläkoulun matematiikassa. Esittelen janan ja kulman jakamisen kaikilla luvuilla kahden ja kymmenen välillä. Ainoastaan kulman jako seitsemällä jää puuttumaan. Säännöllisistä monikulmioista käsittelen kolmion, neliön ja viisi-, kuusi- sekä kahdeksankulmiot. Monitahokkaista käsittelen tarkemmin Platonin kappaleet ja lisäksi esittelen muutaman muun puolisäännöllisen kappaleen. Fraktaalit-osiossa käsittelen kahta origameilla helposti toteutettavaa itsesimilaarista objektia. Olen käsitellyt aiheet yläkoulun matematiikan opettajille suunnatusti ja annan jokaisen aiheen kohdalla taitteluohjeita ja/tai tarkempia matemaattisia perusteluja. Tutkielman toisessa osassa käsittelen origameja matematiikan opetuksessa. Poimin peruskoulun opetussuunnitelman perusteista origameja puoltavia tekstejä ja esittelen origametriaa ja sen menestyksen avaimia. Origametria on projekti, jolla geometriaa opetetaan origamien avulla ja se on saavuttanut suurta menestystä niissä kouluissa, joissa sitä on kokeiltu. Opetussuunnitelman ja origametrian innoittamana olen suunnitellut oppitunteja, jotka tuovat vaihtelua opetukseen ja kehittävät opetussuunnitelman ja origametrian korostamia taitoja. Tuntisuunnitelmat pohjautuvat niihin matematiikan aiheisiin ja käsitteisiin, jotka esittelin ensimmäisessä osiossa. Suunnittelemillani oppitunneilla tutustutaan lukusuoraan fraktaalien avulla, opitaan murtolukuja murtojanoilla parin tai pienryhmän parissa, tutustutaan säännöllisiin ja puolisäännöllisiin monitahokkaisiin tutkivan oppimisen kautta ja taitellaan säännöllisiä monikulmioita kiertävänä rastipistetyöskentelynä. Jokainen tunti on erilainen ja suunniteltu siten, että sen ympärille saa helposti rakennettua muita origamitunteja. Tutkielman tavoitteena on tuoda esille origamien matemaattista ja matematiikan opetuksessa hyödynnettävää puolta. Kokemukseni mukaan osa opettajista ei osaa yhdistää origameja matematiikan opetukseen, vaan ne yhdistetään enemmänkin kuvataiteeseen, muotoiluun ja arkkitehtuuriin. Suunnittelemani oppitunnit ovatkin aiheiltaan kaukana toisistaan juuri sen vuoksi, että se auttaisi opettajia huomaamaan, kuinka monipuolisesti origameja voidaan hyödyntää matematiikan eri käsitteiden oppimisessa.
  • Ilmarinen, Heini (2016)
    Kryptografia, eli tiedon salaus, on nopeasti kehittyvä ala, joka on läsnä ihmisten päivittäisessä toiminnassa. Perinteisen tiedon salauksen lisäksi kryptografian avulla voidaan toteuttaa monipuolisia toiminnallisuuksia, kuten digitaaliset allekirjoitukset ja avaimenvaihto. Nämä toiminnallisuudet on mahdollista toteuttaa julkisen avaimen kryptografian avulla. Elliptiset käyrät ovat kuutiollisia tasokäyriä, joiden pisteiden välille voidaan määritellä yhteenlaskuoperaatio. Näin ollen elliptisen käyrän pisteet muodostavat Abelin ryhmän, joten niitä on mahdollista käyttää diskreetin logaritmin ongelmaan perustuvissa kryptosysteemeissä, eli julkisen avaimen kryptosysteemeissä. Elliptisten käyrien kryptografisten algoritmien suojaustaso perustuu elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaan, jonka yleiselle muodolle ei olla löydetty subeksponentiaalista ratkaisua. Näin ollen elliptisten käyrien kryptografialla on mahdollista saavuttaa vastaava suojaustaso lyhyemmillä avaimilla, verrattuna muihin julkisen avaimen kryptografian metodeihin. Tutkielman ensimmäisessä osassa perehdytään elliptisten käyrien teoriaan keskittyen tärkeimpiin teemoihin kryptografian kannalta. Luvussa esitetään yhteenlasku elliptisen käyrän pisteille ja johdetaan ryhmälait. Erityisesti käsitellään kryptografiassa käytettäviä äärellisissä kunnissa määriteltyjä elliptisiä käyriä, joita on kaksi yleisintä luokkaa: alkulukukunnissa ja binäärikunnissa määritellyt käyrät. Tutkielman toisen osan keskiössä on kryptografia; julkisen avaimen kryptografia ja erityisesti elliptisen käyrän kryptografia ovat keskiössä. Luvussa tarkastellaan elliptisen käyrän diskreetin logaritmin ongelmaa ja elliptisen käyrän rakenteeseen liittyviä tuloksia. Tutkielman lopussa esitetään algoritmit kullekin julkisen avaimen kryptografian avulla toteutettavalle toiminnallisuudelle käyttäen elliptisten käyrien kryptografian algoritmeja. Avaimenvaihdosta käytetään esimerkkinä elliptisen käyrän Diffie-Hellman avaimenvaihtoa ja digitaalisesta allekirjoituksesta elliptisen käyrän digitaalista allekirjoitusalgoritmia. Salaus ja purku menetelmänä esitellään elliptisen käyrän integroitu salaus -skeema.
  • Tiitu, Hannu (2016)
    Matemaattisten taitojen mittarina toimivat usein erilaiset tehtävät ja harjoitukset. Anna Karenina -periaatteen mukaisesti oikeat vastaukset eivät ole mielenkiintoisia, ne ovat kaikki samanlaisia. Sen sijaan väärä vastaus avaa mahdollisuuden oppimiselle, jos se osataan tulkita oikein. Opiskelijan käsitteenmuodostus ja taidot paljastuvat virheissä. Sähköiset oppimateriaalit mahdollistavat oppimateriaaleja, joita on ollut mahdoton tuottaa painetussa muodossa. Niiden avulla on mahdollista luoda vuorovaikutteisia aineistoja, jotka reagoivat opiskelijan toimintaan. Myös tehtävien automaattinen tarkastaminen ja henkilökohtainen palaute on mahdollista. Tällainen oppimisympäristö on Stack, josta on pitkät kokemukset Aalto-yliopiston insinöörimatematiikan opetuksessa. Sähköisten oppimisympäristöjen keräämää tietoa voidaan käyttää oppimisen analysointiin. Esimerkiksi virheluokittelua voidaan automatisoida. Tällöin luokittelumallin tulee olla luotettava. Jos mallin mukainen luokittelu ei onnistu ihmiseltä, ei kone suoriudu siitä sen paremmin. Tutkielmassa käsitellään lääkelaskennan opetukseen laaditun 4 Cs -mallin mukaan tehtyä virheluokittelumallia, jossa virheet jaetaan neljään luokkaan: 1) laskuvirhe, 2) yksikkömuunnosvirhe, 3) käsitteellinen virhe ja 4) virhettä ei voida luokitella. Tämän mallin luotettavuutta selvitetään antamalla luokittelijoiden käyttää sitä opiskelijoiden lääkelaskentakokeissa tuottamiin virheisiin. Luokitteluja analysoidaan k-means-klusterointialgoritmilla ja osoittautuu, että ne ovat lähellä toisiaan. Lisäksi luokittelu on stabiili, se toimii johdonmukaisesti vaikka käytössä olisi vain osa datasta. Näin ollen pedagoginen malli 4 Cs on mahdollinen perusta virheluokittelulle, joka voidaan toteuttaa esimerkiksi Stackin avulla. Tosin tässä on paljon haasteita, ja lisää tutkimusta ja kehitystä tarvitaan tämän kaltaisen tekoälyjärjestelmän rakentamiseksi.
  • Parviainen, Jukka-Pekka (2016)
    Internet mahdollistaa helpon materiaalin jakamisen, ihmisten välisen kommunikoinnin ja uutisten tarjoamisen. Tästä huolimatta tällä hetkellä, ei ole olemassa yhtään suomalaisille aineenopettajille tarkoitettua valtion rahoittamaa ja Opetushallituksen tai opetus- ja kulttuuriministeriön hallinnoimaa internet-sivustoa, joka sisältäisi muun muassa opetusalan uutisia, kommunikointityökaluja ja mahdollisuuden materiaalin jakamiseen ja vastaanottamiseen. Ennen tällaisen sivun toteuttamisen harkitsemista on mielekästä tutkia, mitä mieltä aineenopettajat ovat edellä mainituista ominaisuuksista ja sisällöistä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli tutkia helsinkiläisten aineenopettajien mielipidettä liittyen erilaisiin heille tarkoitetun sivuston sisältöihin ja ominaisuuksiin. Tutkitut ominaisuudet ja sisällöt liittyivät opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin. Tutkimus toteutettiin kvantitatiivisen internet-pohjaisen kyselylomakkeen avulla. Lomake toteutettiin Helsingin yliopiston E-lomake-palvelun avulla ja lomakkeen teknisen ja rakenteen suunnittelun pohjana käytettiin Tampereen yliopiston yhteiskuntatieteellisen tietoarkiston KvantiMOTV-sivuston ohjeita. Tutkimus lähetettiin helsinkiläisille aineenopettajille sähköpostilla. Osoitteet kerättiin Helsingin kaupungin opetusviraston kouluhaku-sivun avulla. Lomakkeet lähetettiin vain suomenkielisten yläkoulujen ja yhtenäiskoulujen opettajille. Sähköposteja ei epähuomiossa lähetetty kaikille lukioiden opettajille, vaan ne lähetettiin vain yhtenäis-koulujen yhteydessä olevien lukioiden opettajille. Kyselylomakkeen tärkein osio oli 4-portaisella Likert-asteikolla toteutettu 21-kohtainen väittämäkokoelma. Väittämäkokoelman tarkoitus oli selvittää kuuluvatko niissä mainitut ennalta määritetyt sisällöt ja ominaisuudet heidän mielestään aineenopettajille tarkoitetulle internet-sivustolle. Väittämät jakautuivat opetusmateriaaliin, kommunikointiin ja opetusalan uutisiin ja tiedotteisiin liittyviin teemoihin. Tutkimukseen vastasi 239 helsinkiläistä aineenopettajaa, joista 229 henkilön vastaukset hyväksyttiin mukaan tulosten analysointiin. Kyselyyn vastanneista 67% oli naisia. Vastaajista 41% opetti ainakin lukiossa, ja 59% pelkästään peruskoulussa. Kyselyn tuloksien perusteella helsinkiläiset aineenopettajat arvostivat erityisesti materiaaliin liittyviä ominaisuuksia ja sisältöjä. Kommunikaatioon liittyvistä ominaisuuksista vastaajat arvostivat vertaistuen antamisen ja saamisen mahdollistavaa ominaisuutta ja verkostoitumisen mahdollistavaa ominaisuutta. Lisäksi mahdollisuus kommentoida ja kehittää muiden opettajien tekemää opetus-materiaalia oli vastaajien mielestä tärkeä aineenopettajien internet-sivuston potentiaalinen sisältö. Kyselyn otos oli kohtalaisen pieni, eikä kaikilla helsinkiläisillä aineenopettajilla ollut mahdollista vastata siihen. Tuloksia ei voi siis varauksetta yleistää koskemaan kaikkia helsinkiläisiä aineenopettajia. Lisäksi kyselyyn vastanneiden täytyi käyttää internetiä, mikä saattoi vaikuttaa kyselyn otokseen helsinkiläisistä aineenopettajista.
  • Simoinen, Laura (2016)
    Tavoitteet. Minäpystyvyyden on todettu olevan olennainen osa oppimista ja suoriutumista annetuista tehtävistä. Jos oppilas uskoo omiin kykyihinsä ja jaksaa ponnistella vastoinkäymisistä huolimatta, hän pääsee parempiin tuloksiin kuin samalla osaamistasolla oleva oppilas, joka ei usko itseensä. Sama pätee myös matematiikan oppimisessa ja tämä teoria onkin tämän tutkielman pohjana. Tutkimuksen tarkoituksena on kartoittaa yhdeksäsluokkalaisten minäpystyvyyttä ja selvittää, vastaako oppilaiden omat käsitykset heidän todellista osaamistaan. Tärkeänä osana tutkimusta on vertailla sukupuolten välisiä eroja minäpystyvyyden, matematiikasta pitämisen sekä osaamisen kohdalla. Matemaattisen osaamisen mittariksi valikoitui yhtälönratkaisu, sillä se on yksi haastavimmista aiheista yläkoulussa, mutta kuitenkin tärkeä asia hallita. Menetelmät. Tutkimukseen osallistui syksyllä 2015 erään helsinkiläisen koulun kaksi yhdeksättä luokkaa, yhteensä 40 oppilasta. Tutkimus suoritettiin kahdessa osassa, ensimmäinen osio oli 21 väitettä sisältävä lomake koskien minäpystyvyyttä ja toiseen osioon kuului kolme yhtälönratkaisuun liittyvää tehtävää. Aineistoa analysoitiin kvantitatiivisen tutkimuksen menetelmin. Tulokset ja johtopäätökset. Tutkimuksessa saatujen tulosten mukaan yhdeksäsluokkalaisten poikien minäpystyvyys on korkeammalla tasolla kuin tyttöjen. Samankaltaisia tuloksia on saatu myös aiemmissa tutkimuksissa. Sen sijaan matematiikasta pitämisen osalta tytöillä oli hieman poikia korkeampi tulos. Osaamisen paremmuus jakautui sukupuolten kesken riippuen mittarista. Tätä tutkimusta varten laaditusta yhtälönratkaisutestistä pojat saivat korkeammat pisteet kuin tytöt, mutta yhtälökurssin arvosanojen keskiarvo oli tytöillä poikia parempi. Yhtälönratkaisutesti tuotti molempien sukupuolien edustajille melko suuria vaikeuksia eikä oppilaat yltäneet yhtä hyviin suorituksiin kuin yhtälökurssilla.
  • Leppäkoski, Anssi Olavi (2016)
    Tutkielmassa tarkastellaan matematiikan historiallista kehitystä, uusimpia opetussuunnitelmia New Math-liikkeen ideoiden pohjalta luotuja opetussuunnitelmia. Historiaa käydään läpi aina varhaishistoriasta 1700-luvulle ja verrataan tätä matematiikan historiallista kehitystä opetussuunnitelmiin pohjautuvaan matematiikan opetuksen etenemiseen Opetushallituksen ohjeiden Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014 ja Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015 pohjalta. 1960- ja 1970-luvuilla vaikuttaneen New Math -liikkeen ideoiden synnyttämät opetussuunnitelmat tuovat erilaisen näkökulman matematiikan opetuksen etenemiseen lähtökohtien ollessa lähes täysin vastakohtaiset nykyisiin opetussuunnitelmiin ja matematiikan historialliseen kehitykseen verrattaessa. Suomalaisittain New Math tunnetaan nimellä Uusi matematiikka ja muistetaan kenties parhaiten joukko-opin sisällyttämisestä peruskouluun jo alaluokilta asti. Tutkielmassa edetään ensin tarkastellen yleistä matematiikan historiaa ja kulttuurien filosofisia lähtökohtia matematiikan kehittymiselle. Puhtaasta historian tarkastelusta siirrytään opetussuunnitelmien vaiheittaiseen tutkimiseen samalla vertaillen opetussuunnitelmien mukaista etenemistä historialliseen kehitykseen. Tutkielmassa edetään lähtien peruskoulun alaluokista (1-2) siirtyen keskimmäisten vuosiluokkien (3-6) kautta yläluokille (7-9), jonka jälkeen tarkastellaan lukion opetusuunnitelmaa pääasiallisesti keskittyen pitkään oppimäärään. New Math -liikkeen historiaa ja vaikutusta opetussuunnitelmiin käydään läpi erillisessä kappaleessa samalla verraten tätä muutosta uusimpiin opetussuunnitelmiin ja matematiikan historialliseen kehitykseen.
  • Leppänen, Riku (2016)
    Työssä esitellään transkendenttiset ja algebralliset luvut ja todistetaan Liouvullen lause, Transkendenttisten lukujen joukon ylinumeroitavuus, Lindemann-Weierstrassin lause ja tämän avulla lukujen e ja π transkendenttisuus.
  • Kangasniemi, Sissi (2016)
    Tavoitteet. Siirtyminen aritmeettisesta ajattelusta algebralliseen ajatteluun on yksi suurimmista muutoskohdista yläkoululaisten matematiikan opinnoissa. Useissa tutkimuksissa todetaankin algebran olevan oppilaille hankala aihe ja algebran oppimiseen liittyviä tutkimuksia on tehty runsaasti. Erityisesti aritmetiikan ja algebran siirtymävaiheesta on julkaistu monia tutkimuksia, joissa pyritään etsimään ratkaisua algebran oppimisen haasteellisuuteen. Tutkimuksissa on ehdotettu vaihtoehtoisia tapoja algebran opetukseen ja algebran opetuksen aikaistamista. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on kartoittaa tyypillisimpiä virheitä, joita esiintyy algebrallisessa ajattelussa siirryttäessä aritmetiikasta algebraan. Tavoitteena on löytää virheellisiä ajattelumalleja, jotta niihin voitaisiin kiinnittää huomiota ja näin parantaa algebran opetusta ja oppimista. Menetelmät. Tutkimukseen osallistui neljä ryhmää, joissa oli yhteensä 77 kahdeksannen luokan oppilasta samasta koulusta. Tutkimusaineisto kerättiin marraskuussa 2015 ja tammikuussa 2016. Aineisto koostui oppilaiden kurssikokeiden vastauksista ja sitä analysoitiin sekä kvantitatiivisesti, että kvalitatiivisesti. Tulokset ja johtopäätökset. Aineistossa esiintyi runsaasti ja monipuolisesti virheellisiä ratkaisuja. Samankaltaiset virheet toistuivat oppilaiden koevastauksissa riippumatta heidän opettajansa opetusmenetelmästä, heidän käytössään olleesta oppikirjasta, tehdystä kurssikokeesta tai kokeen tehtävätyypistä. Yleisimmät virheet ilmenivät peruslaskutoimituksissa, laskujärjestyksessä, matemaattisissa merkinnöissä ja muuttujan käsitteessä. Eniten virheitä tehtiin tehtävissä, joissa oli mukana miinusmerkki. Tulosten valossa algebran opintojen alussa esiintyvät ongelmat saattavat johtua ennemmin aritmetiikan hatarasta osaamisesta, kuin algebran vaikeudesta. Tulosten perusteella aritmetiikkaan panostaminen saattaisi helpottaa siirtymää algebraan.
  • Ahonen, Lauri (Helsingin yliopisto, 2016)
    Ilmakehässä tapahtuvan hiukkasmuodostuksen ymmärtämiseksi tarvitaan mittalaitteita, joilla voidaan mitata hiukkasia heti vastamuodostuneista aerosolihiukkasista lähtien. Aivan pienimpien aerosolihiukkasten mittaaminen asettaa monenlaisia haasteita mittaukselle sekä mittalaitteille. Seikat, kuten lämpötila, ilmankosteus ja hiukkasten kemiallinen koostumus, vaikuttavat mittaustuloksiin. Tässä työssä pyrittiin selvittämään miten paljon näyteilman kosteus vaikuttaa dietyleeniglykolia käyttävän hiukkaskasvattimen mittaustuloksiin. Tutkimuskohteena oli Airmodus A10 hiukkaskasvatin(PSM), jossa hiukkaset kasvatetaan dietyleeniglykolihöyryllä niin, että ne voidaan tämän jälkeen laskea perinteisellä kondensaatioydinlaskurilla. Käyttämällä dietyleeniglykolia kasvatuksen ensimmäisessä vaiheessa pystytään mittaamaan hiukkasia noin 1 nanometrin kokoisista hiukkasista lähtien. Tutkimuksen aikana tuotettiin kokoluokiteltu ja kemialliselta koostumukselta tunnettu näyteaerosoli, jonka avulla laitteen havaintotehokkuus mitattiin vertailulaitetta vasten. Laitteen leikkausraja ja havaintotehokkuus mitattiin kahdella erilaisella näytteellä erilaisissa näyteilman kosteuksissa. Mittauksissa käytetyt hiukkaset tuotettiin putkiuunilla kiinteästä ammoniumsulfaatista ja sähkösumuttamalla metanoliin liuotetusta tetraheptyyliammoiumbromidista(THABr) ja tetrapropyyliammoniumjodidista(TPAI). Kokeellisten mittausten perusteella näyteilman kosteudella on selvä vaikutus laitteen toimintaan. Samoilla laitteen toimintaa määrittävillä virtaus- ja lämpötila-asetuksilla laitteella voidaan mitata pienempiä hiukkasi, jos näyteilman kosteus on suurempi. Laitteen kalibrointi, leikkausraja-saturaattorivirtauksen funktiona, siirtyi 0.2 - 0.3 nanometriä näyteilman kosteuden kasvaessa 1 - 40 % huoneenlämpötilassa. Leikkausrajan siirtyminen havaittiin kummallakin tavalla tuotetuilla hiukkasilla. Lisäksi havaintotehokkuutta onnistuttiin parantamaan käyttämällä toimintanesteenä puhtaan dietyleeniglykolin sijaan vesi-dietyleeniglykoli-liuosta. Kokeellisten mittausten lisäksi näyteilman kosteuden vaikutuksia pyrittiin selvittämään simuloimalla laitteen virtauksia COMSOL muptiphysics -ohjelmalla. Mallinnettujen lämpötilojen, virtausten ja höyryjen pitoisuuksien avulla laskettiin nukleaatiotodennäköisyys ja Fletcherin halkaisija eri näyteilman kosteuksissa. Simulaation mukaan vesihöyryn pitoisuus osassa, jossa mitattavat hiukkaset aktivoituvat, on niin suuri, että se vaikuttaa nukleaatiotodennäköisyyteen. Tämän perusteella havaittu efekti ei kosketa vain kyseistä laitetta vaan muitakin dietyleeniglykolia käyttäviä hiukkaslaskureita.
  • Lahti, Tuomas (2016)
    Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkitaan, millainen yhteys törkeästä rattijuopumuksesta syytetyn poissaololla istuntokäsittelystä, ajoneuvolla, aikaisempien törkeiden rattijuopumusrikosten määrällä, syytekohtien määrällä ja avustajan omaamisella istuntokäsittelyssä on rattijuopumustuomion ja syyttäjän seuraamuskannanoton suhteeseen eli siihen, miten havainnot painottuvat tuomion ja seuraamuskannanoton suhdetta kuvaavan vastemuuttujan luokissa lievempi, samantasoinen ja kovempi. Analyysien selittäviksi muuttujiksi on valittu ristiintaulukointi- ja regressioanalyysikokeilujen perusteella mielenkiintoisimmat muuttujat. Tutkielman taustana on Mika Sutelan hieman muunnetulla syyteaineistolla tekemä tutkimus, jossa käytettiin samaa vastemuuttujaa kuin tässä tutkielmassa. Syyteaineiston syytteet on ratkaistu toukokuussa 2006, 2008 tai 2010. Sutela on kerännyt aineiston Itä-Suomen, Kymenlaakson, Helsingin, Varsinais-Suomen, Pohjanmaan, Keski-Suomen ja Lapin käräjäoikeuksista. Kaikki aineiston syytetyt ovat saaneet tuomion törkeästä rattijuopumuksesta. Sutela on tutkinut, onko selittävillä muuttujilla yhteyttä todennäköisyyteen, jolla tuomiot ovat muuttuneet suhteessa seuraamuskannanottoon. Tässä tutkielmassa otetaan huomioon myös suunta, johon tuomio on muuttunut suhteessa seuraamuskannanottoon, joten tilastollisen analyysin voidaan ajatella olevan informatiivisempaa Sutelan analyyseihin verrattuna. Vastemuuttujan ja selittävien muuttujien yhteyttä tutkitaan yhden selittävän muuttujan ja useiden selittävien muuttujien kumulatiivisten logististen regressioanalyysien avulla. Analyyseissa, joissa käytetään yhtä selittävää muuttujaa kerrallaan, hyödynnetään myös ristiintaulukointeja ja selittävän muuttujan ryhmien jakaumien sijaintien samuutta tutkivia testejä. Analyysien perusteella tuomion ja seuraamuskannanoton suhdetta ankaroittaa syytetyn poissaolo istuntokäsittelystä, kuorma-auton, rekan tai linja-auton ajaminen suhteessa henkilöauton ajamiseen, vähintään neljän syytekohdan omaaminen ja se, että syytetyllä ei ollut avustajaa istuntokäsittelyssä. Tuomion ja seuraamuskannanoton suhde ei näytä muuttuvan, kun pakettiautoa tai muita ajoneuvoja (moottorikelkka, mopo, mönkijä tai traktori) verrataan henkilöautoa ajaneisiin eikä kun syytetyn aikaisempien törkeiden rattijuopumusrikosten määrä kasvaa. Eniten tuomion ja seuraamuskannanoton suhteeseen vaikuttaa kuorma-auton, rekan tai linja-auton ajaminen. Seuraavaksi eniten siihen vaikuttavat syytekohtien määrä ja avustajan läsnäolo istuntokäsittelyssä. Edellisiä vähemmän tuomion ja seuraamuskannanoton suhteeseen vaikuttaa syytetyn poissaolo istuntokäsittelystä. Tutkielmassa tarkastellaan myös hypoteesia, jonka mukaan syyttäjä asettaa seuraamuskannanoton yleisen oikeuskäytännön mukaiseksi, kun selittävä asia on ollut tiedossa ennen istuntokäsittelyä. Tällöin näiden selittävien muuttujien kohdalla tuomion ja seuraamuskannanoton suhteen olettaisi pysyvän samanlaisena muuttujan ryhmästä riippumatta. Analyysien perusteella hypoteesi ei näytä pitävän paikkansa, sillä syytetyn ajoneuvon ja syytekohtien määrän, jotka ovat olleet syyttäjän tiedossa ennen istuntokäsittelyä, kohdalla tuomion ja seuraamuskannanoton suhde ei näytä pysyvän samanlaisena kaikissa ryhmissä.
  • Hakoniemi, Tuomas (2016)
    In this master's thesis we study a lower part of the so called Leibniz hierarchy in abstract algebraic logic. Abstract algebraic logic concerns itself with taxonomic study of logics. The main classification of logics is the one into the Leibniz hierarchy according to the properties that the Leibniz operator has on the lattice of theories of a given logic. The Leibniz operator is a function that maps a theory of a logic to an indiscernability relation modulo the theory. We study here two of the main classes in the Leibniz hierarchy -- protoalgebraic and equivalential logics -- and some of their subclasses. We state and prove the most important characterizations for these classes. We also provide new characterizations for the class of finitely protoalgebraic logics -- a class that has previously enjoyed only limited attention. We recall first some basic facts from universal algebra and lattice theory that are used in the remainder of the thesis. Then we present the abstract definition of logic we work with and give abstract semantics for any logic via logical matrices. We define logics determined by a class of matrices and show how to uniformly associate with a given logic a class of matrices so that the original logic and the logic determined by the class coincide -- thus providing an abstract completeness theorem for any logic. Remainder of the thesis is dedicated to the study of protoalgebraic and equivalential logics. We provide three main families of characterizations for the various classes of logics. The first characterizations are completely syntactic via the existence of sets of formuli satisfying certain properties. The second family of characterizations is via the properties that the Leibniz operator has on the lattice of theories of a given logic. The third and final family of characterizations is via the closure properties of a canonical class of matrices -- the class of reduced models -- that we associate to any logic.
  • Syren, Joonas Emil (2016)
    In this thesis we consider the Dirichlet-to-Neumann map in Electrical Impedance Tomography (EIT). EIT is a tomography method which uses electrical currents and voltages to determine the conductivity distribution inside the measured object. The Dirichlet-to-Neumann map (DN map) takes the voltage on the boundary and gives the resulting current density on the boundary. This map can be approximated by a matrix known as the Dirichlet-to-Neumann matrix. In this thesis we analyse this matrix using Principal Component Analysis (PCA). In chapter 1 we give a short introduction to EIT with a brief history of the study and some applications of the method. The Dirichlet-to-Neumann map is derived in chapter 2. Constructing the DN map requires solving the Dirichlet problem which is derived from Maxwell?s equations. The Dirichlet problem and its solvability is studied in this chapter as well. Some of the concepts needed in this study can be found from the appendices. The method used for approximating the DN map is introduced in chapter 3. The approximated matrices are then analysed using PCA, which is described in the same chapter. PCA can be used to find the components where the variation is the largest and to reduce the dimension of the data using these components. We use a method known as Singular Value Decomposition (SVD) to reduce the dimension of the data and to compute the principal values and components. We computed the DN matrices with simulated data using different conductivity distributions. We chose the unit circle as our domain with a constant conductivity on the background and four anomalies with changing conductivity. The 4th chapter introduces the computations and the obtained results. The resulting principal components and values are shown in this chapter. An approximation of the data was made using the dimensionality reduction method described in chapter 3. The relative errors for different reconstructions are also shown in chapter 4. In the final chapter we discuss the results. Our goal was to find out how the four variables in the conductivity distributions affect the dimension of the hyperplane that the DN matrices form. It seems that even with four degrees of freedom the DN matrices vary most on a 2-dimensional plane. We also found out that in this case most of the principal components have almost no effect on the data.
  • Peussa, Aleksandr (2016)
    The major concern of lenders is to answer the next question: "Who we lend to?" Until 1970s the traditional schema was used to answer this question. Traditional credit assessment relied on "gut feel", which means that a bank clerk or manager analyses a borrower's character, collateral and ability to repay. Also, some recommendations from the borrower's employer or previous lender are used. The alternative approach is credit scoring, which is a new way to approach a customer. Credit scoring is one of the most successful applications of statistics in finance and banking industry today. It lowers the cost and time of application processing and gives flexibility in making trade off between risk and sales for financial institution. Credit scorecards are essential instruments in credit scoring. They are based on the past performance of customers with characteristics similar to a new customer. So, the purpose of a credit scorecard is to predict risk, not to explain reasons behind it. The purpose of this work is to review credit scoring and its applications both theoretically and empirically, and to end up with the best combination of variables used for default risk forecasting. The first part of the thesis is focused on theoretical aspects of credit scoring - statistical method for scorecard estimation and measuring scorecard's performance. Firstly, I explain the definition of the scorecard and underlying terminology. Then I review the general approaches for scorecard estimation and demonstrate that logistic regression is the most appropriate approach. Next, I describe methods used for measuring the performance of the estimated scorecard and show that scoring systems would be ranked in the same order of discriminatory power regardless the measure used. The goal of the second part is empirical analysis, where I apply the theoretical background discussed in the first part of the master's thesis to a data set from a consumer credit bank, which includes variables obtained from the application forms and from credit bureau data, and extracted from social security numbers. The major finding of the thesis is that that the estimated statistical model is found to perform much better than a non-statistical model based on rational expectations and managers' experience. This means that banks and financial institutions should benefit from the introduction of the statistical approach employed in the thesis.
  • Annala, Toni, Annala (2016)
    Bézout's theorem, at least the original version, concerns the number of intersection points of two curves in projective plane. The main purpose of this thesis, apart from proving the classical version of Bézout's theorem, is to give multiple generalizations for it. The first proper chapter, Chapter 2, is devoted to the proof of classical Bézout's theorem. In the first two sections of the chapter we define projective and affine plane curves, and show some of their basic properties. In the third section we define the resultant of two polynomials, and use the newly acquired tool to prove the upper bound version of Bézout's theorem. The fourth section discusses the multiplicity of a point of intersection. This multiplicity, dependent of algebraic data associated to the intersection, is needed for stating the equality version of the classical Bézout's theorem. In the fifth section we prove this using properties of the intersection multiplicity proved in the fourth section. The third chapter extends the classical Bézout's theorem beyond its original scope. In Section 3.1 we define a crucial tool, Hilbert polynomial, which allows us to keep track of algebraic information associated to the projective scheme cut out by a homogeneous ideal. This polynomial is not an invariant of the scheme itself; rather it should be thought as containing information concerning both the intrinsic structure of the subscheme, and about how the subscheme is located in the ambient projective space. The second section of the third chapter quickly summarizes the parts of modern algebraic geometry that are of most use later. Section 3.3 gives the first proper generalization of Bézout's theorem. This generalization is more a quantitative than a qualitative one, as it deals with intersections of projective hyperplanes. The fourth chapter gives a generalization of the upper bound version of the Bézout's theorem to a very general case. We define the geometric multiplicity of a closed subscheme of a projective space, and show that it behaves well under intersections. The geometric multiplicity gives an upper bound for the number of components, hence the generalization of inequality version of Bézout. In the final section, 3.5, we define Serre's multiplicity of a component of intersection, and show that the multiplicities given by this formula satisfy the equality version of Bézout's theorem in proper intersections of equidimensional subchemes.
  • Eskin, Oscar Yitzchok Raphael (2016)
    Tiivistelmä – Referat – Abstract Malliavin-laskenta, joka tunnetaan myös nimellä stokastinen variaatio-laskenta, on differentiaali-laskentaa ääretönuloitteisella Wiener-avaruudella. Teoria nojaa laajalti Ito-laskentaan, ja pyrkii tutkimaan Wiener-funktionaalien muodostaman avaruuden rakennetta, sekä kyseisten funktionaalien tiheysfunktioiden ominaisuuksia. Tämän suunnan valitsi ranskalainen matemaatikko Paul Malliavin vuonna 1974, joka käytti kehittämiään menetelmiä tuottamaan probabilistisen todistuksen Hormanderin teoreemaan. Vuoden 1974 julkaisun jälkeen Malliavin laskennan suosio on tasaisesti pysynyt nousussa. Klassinen stokastinen laskenta on integrointia Wiener-prosessin suhteen. Tämän teorian huipennus on martingaali-esitys-lause, joka sanoo, että jokainen neliö-integroituva Wiener-prosessista määräytyvä satunnaismuuttuja voidaan esittää stokastisena integraalina. Luonnollinen kysymys herää: mikä on prosessi jota integroidaan Wiener-prosessin suhteen? Martingaali-esitys-lause on olemassolo- ja yksikäsitteisyystulos, ja siten se ei vastaa tähän kysymykseen. Stokastinen analyysi ei siis kerro mikä tämä prosessi on, mutta Malliavin-laskenta kertoo. Tämä tulos on Clark-Ocone-esityslause, ja sitä on sovellettu laajasti esimerkiksi rahoitus-matematiikassa. Malliavin ensisijainen tarkoitus laskenalle on melko kaukana Clark-Ocone-esityslauseesta. Hänen pyrkimys oli antaa riittävät ehdot stokastisten prosessien tiheyksien sileys-ominaisuuksille. Hän saavutti pyrkimyksensä osoittamalla, että jos Malliavin matriisi, eli matriisi joka koostuu Malliavin derivaatoista, on kääntyvä, ja tämä käännytetty matriisi on integroituva L^p:ssä, p >= 1, saamme riittävät ehdot sileys-ominaisuuksille. Nojaten tähän, hän käytti hyväksi stokastisten sekä ei stokastisten differentiaali-yhtälöiden yhteyttä, ja onnistui tuottamaan probabilistisen esityksen Hormanderin teoreeman todistukselle. Tämän jälkeen merkittävä määrä työtä on tehty Malliavin tuottamien konseptien yleistämiseen erityisesti stokastisten osittais-differentiaali-yhtälöiden parissa. Vuonna 1999 Malliavin-laskenta sai sovelluksen matemaattisessa rahoitusteoriassa, tarkemmin optioiden herkkyysparametrien laskemisen osalta. Malliavin-laskennassa esiintyvän osittais-integrointi kaavan avulla voimme esittää option satunnaismuuttujan painotettuna integraalina. Tämän avulla voimme esittää optioiden herkkyysparametrit, sekä arvioida niitä tehokkaasti Monte-Carlo menetelmillä. Ensimmäisessä kappaleessa pyrin luomaan hieman motivaatiota Malliavin-laskennalle, sekä esittämään tarvittuja esitietovaatimuksia. Toinen kappale esittää Wiener-avaruuden niin sanotun kaaoskehitelman kautta, sekä Malliavin-derivaatan näissa olosuhteissa. Viimeinen osa toisesta kappaleesta tutkii Malliavin-derivaatan liitto-operaattoria, niin sanottua Skorohodintegraalia. Kolmas kappale soveltaa osittain-integrointi kaavaa optioiden herkkyysparametrien laskemiseen, ja lopulta viimeinen neljäs kappale palaa Malliavin-laskennan juurille tutkimaan olemassaolo ja yksikäsitteisyys sekä sileys kysymyksiä Wienerfunktionaalien tiheyksille.