Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta

 

Recent Submissions

  • Friman, Milla (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tutkielman aiheena on verrata luonnon sateen pisarakokojakaumaa ja putoamisnopeusjakaumaa Vaisalan sadelaboratorion sadesimulaattorin tuottaman sateen pisarajakaumiin. Tarkoituksena on saada tietoa Vaisalan sadesimulaattorin tuottaman sateen ja luonnonsateen eroista. Tämän tutkimuksen aineisto perustuu aikaisempiin pisaratutkimuksiin ja tämän tutkimuksen aikaisiin pisaramittauksiin ulkona ja sadelaboratoriossa. Luonnon sateen eri intensiteeteistä mitattiin terminaalinopeus- ja pisarakokojakaumaa disdrometrillä ja punnitsevalla sademittarilla. Sadelaboratorion mittaukset terminaalinopeus- ja pisarakokojakaumista tehtiin optisella anturilla. Optisella anturilla saatiin arviot pisarakoolle sekä pisaroiden terminaalinopeuden että pisaroiden aiheuttaman optisen anturin jännitesignaalin vaimenemisen voimakkuuden kautta. Lisäksi sadelaboratoriossa mitattiin keinotekoisen sateen intensiteettejä vaa’alla, minkä avulla pyrittiin määrittämään kaikkia synoptisia intensiteettiluokkia vastaavat kierrosnopeudet sadesimulaattorille. Sadelaboratorion sade vastaa osittain luonnon sadetta. Luonnon sateen pisarat kuten myös sadesimulaattorin pisarat tippuvat pääosin teoriaa vastaavalla terminaalinopeudellaan. Jotkin pisarat kuitenkin tippuvat vastaavaa pisarakokoansa suuremmalla terminaalinopeudella, mikä voi johtua optisen anturin mittausteknisistä virheistä ja suurempien pisaroiden hajoamisesta pienemmiksi pisaroiksi ennen niiden havainnointia mittalaitteella. Pisarakokojakauma luonnon sateessa vaihtelee yleensä alle 1 mm pisaroista 5-6 mm pisaroihin. Sadelaboratorion pienin pisara 1,77±0,12 mm on siis melko suuri. Sadelaboratoriossa päästään kuitenkin pisarakokojakauman toiseen ääripäähän paremmin, pisarakoon ollessa mittaustavasta riippuen 5,29±0,86 mm tai 5,43±0,79 mm. Tutkimuksessa määritettiin myös sadesimulaattorilaitteiston kierrosnopeusluvut, jotta sillä voidaan mallintaa synoptisia intensiteettiluokituksia eri pisarakooilla.
  • Särkikoski, Sanna (Helsingin yliopisto, 2019)
    The idea for this study was to unify the heights systems in the tide gauge data available from freely available sources and to make a surface interpolation of the Baltic Sea surface heights. There were some data availability problems in the south-east coast of the Baltic Proper which lead us to limit the study area to the northern Baltic Sea. We compared the surface interpolation made for the years 2007–2016 with the NEMO-Nordic reanalysis product sea levels in order to determine if the interpolated surface could be a used as an approximation of the sea surface heights in the Baltic Sea. Correlation between the interpolated surface and the model were 0.59–0.77 depending on the location. The model sea levels had a sudden change in the overall sea levels in mid-winter 2013–2014 and also a different trend before and after this jump. We also calculated correlations separately for each year from 2007 to 2016 for three mid-basin points. The correlations were between 0.91–0.98. We found the interpolation to be quite susceptible to errors and missing measurements, which makes it difficult to create the surface interpolation for the southern Baltic Proper with the current data availability problems. Therefore, other methods are needed in order to approximate sea levels in that area.
  • Leinonen, Katri (Helsingin yliopisto, 2019)
    Globaalille valtamerten pinnanousulle on viimeisen 40 vuoden aikana julkaistu suuri määrä mahdollisia tulevaisuuskuvia, skenaarioita. Tässä pro gradu -työssä tarkastellaan kahdeksan 1980-luvulla tehdyn merenpinnan noususkenaarion osuvuutta vertaamalla skenaarioita toteutuneeseen valtamerten pinnannousuun. Globaalia merenpinnan muutosta on mitattu viimeisten parin vuosisadan aikana mareografimittauksilla eri puolella maailmaa. Vuodesta 1993 alkaen globaalin merenpinnan korkeusaineistoa on tarjolla myös satelliittimittauksista. Tässä työssä merenpinnan nousun vertailutasona on käytetty kummallakin mittausmenetelmällä tehtyjä merenpinnan nousuaikasarjoja. Jotta noususkenaariot ja mittausaikasarjat olisivat keskenään vertailukelpoisia, valittiin yhteiseksi aloitusvuodeksi 1980. Kaikkien merenpinnan noususkenaarioiden ja mittausaikasarjojen nollataso siirrettiin alkamaan tästä vuodesta. Globaalit ilman lämpötilan noususkenaariot ovat kiihtyviä, ja yleisesti myös merenpinnan noususkenaarioiden oletetaan olevan kiihtyviä. Merenpinnan noususkenaarioihin, joille ei ollut annettu merenpinnan nousun väliarvioita, sovitettiin toisen asteen yhtälön mukainen kiihtyvyys. Muihin skenaarioihin sovitettiin kaikkien annettujen välipisteiden kautta kulkeva käyrä. Tässä työssä tarkastellut merenpinnan noususkenaariot poikkeavat toisistaan huomattavasti alimpien skenaarioiden ennustaessa parinkymmenen sentin merenpinnan nousua ja ylimpien skenaarioiden jopa useiden metrien nousua. Vuonna 2018 kaikkien skenaarioiden keskiarvo on noin 6 cm toteutuneen merenpinnan nousun yläpuolella, nousua vuodesta 1980 on tapahtunut noin 10 cm. Toteutunut merenpinnan nousu on myös selvästi skenaarioiden mediaanin alapuolella. Vajaa 70 % skenaarioista nousee nopeammin kuin vedenkorkeus on todellisuudessa noussut. Suomen rannikolla, Hangossa, merenpinnan noususkenaarioiden perusteella tehty ennuste on 2010luvulla muutamia senttimetriä mitatun merenpinnan yläpuolella. Merenpinnan noususkenaariot ovat vuosien varrella kehittyneet, mutta perustuvat edelleen paljolti samoihin tai samankaltaisiin menetelmiin kuin 1980-luvulla tehdyt merenpinnan noususkenaariot. Tämän takia on hyödyllistä tarkastella 1980-luvulla käytettyjä menetelmiä, niiden taustalla olevia oletuksia ja niistä saatujen ennusteiden osuvuutta. Tässä työssä tarkastellut merenpinnan noususkenaariot jaettiin tekomenetelmän mukaan kahteen pääryhmään. Toinen ryhmä koostui merenpinnan nousuun vaikuttavien osatekijöiden arviointiin perustuvista noususkenaarioista. Toisessa ryhmässä olivat semi-empiiriset skenaariot, joissa merenpinnan muutosta arvioidaan jonkin ilmastollisen suureen perusteella. Merenpinnan noususkenaarioista valittiin parhaiten vuosien 1980 - 2018 merenpinnan nousua kuvaavat skenaariot. Parhaiten osuvissa skenaarioissa oli laaja kirjo eri menetelmillä tehtyjä ja erilaisiin oletuksiin perustuvia skenaarioita. Merkittävää osuvuuseroa ei kahdella eri päämenetelmällä tehtyjen skenaarioiden välillä löydetty.
  • Leppinen, Jussi (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tavoitteet. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli tarkastella, miten matematiikan yliopistokurssilla käytössä olleet kaksi eri kurssin loppuarviointitapaa, itsearviointi ja kurssikoe, olivat yhteydessä kurssin opiskelijoiden tavoiteorientaatioihin ja pystyvyysuskoon. Yksilön tapa asettaa tiettyjä tavoitteita ja suosia tiettyjä lopputulemia (tavoiteorientaatio), sekä usko omaan kykyyn suoriutua eri tehtävistä (pystyvyysusko) ovat yhteydessä niin oppimismotivaatioon kuin suorituksiin. Näiden osalta tiedetään, että tietynlaiset tavoiteorientaatiot (esim. oppimisorientaatio) ovat oppimisen ja motivaation kannalta suotuisia, kun taas toiset (esim. välttämisorientaatio) ovat haitallisia. Vahva usko omiin kykyihin, erityisesti matematiikassa, puolestaan tukee sekä suorituksia että ohjaa opiskeluvalintoja. Itsearvioinnin (oman arviointikyvyn ja harkinnan hyödyntäminen omassa oppimisessa) käyttö kurssilla voi osin vaikuttaa motivaatioon kurssin aikana. Toisaalta, tavoiteorientaatiot ovat melko pysyvä yksilön tapa kohdata oppimistilanteita, mikä tarkoittaa, että opiskelijat, joilla on erilaiset tavoiteorientaatiot, voiva kokea kurssiarvioinnin (koe vs. itsearviointi) eri tavoin. Tällöin arviointitavan vaikutukset esimerkiksi pystyvyysuskoon voivat olla erilaiset tavoiteorientaatiosta riippuen. Tutkimuksen tehtävänä on selvittää, millaisia eroja arviointitapa saa aikaan eri tavoiteorientaatioissa ja pystyvyysuskossa. Tavoiteorientaatioita tulkitaan henkilösuuntautuneesta lähestymistavasta käyttäen tavoiteorientaatioprofiileja. Menetelmät. Tutkimukseen osallistui 303 opiskelijaa (naisia 34,0%, miehiä 62,7%, muita 3,3%) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I -kurssilta syksyllä 2017. Tutkimusta varten opiskelijat arvottiin kahteen ryhmään, joista toisessa kurssiarvostelu hoidettiin itsearvioinnilla (N = 156) ja toisessa kurssikokeella (N = 147). Opiskelijat vastasivat kurssin lopulla loppupalautteeseen, jonka yhteydessä tutkimusaineisto kerättiin. Tutkittavat jaettiin tavoiteorientaatioryhmiin käyttäen latenttia profiilianalyysia. Arviointiryhmien välisiä eroja tutkittiin varianssianalyysilla. Tulokset ja johtopäätökset. Itsearvioineet kokivat merkitsevästi suurempaa pystyvyysuskoa kuin kokeen tehneet. Lisäksi itsearvioineiden oppimisorientaatio oli korkeampi, kun taas kokeen tehneillä välttämisorientaatio oli korkeampi. Kurssin opiskelijoiden joukosta löydettiin viisi tavoiteorientaatioprofiilia: oppimisorientoituneet (41,9%), sitoutumattomat (24,8%), saavutus-suoritusorientoituneet (21,1%), välttämisorientoituneet (6,9%) ja oppimis-välttämisorientoituneet (5,3%). Muihin profiileihin verrattuna oppimisorientoituneiden joukossa oli selvästi enemmän itsearvioinnilla kuin kurssikokeella kurssin suorittaneita. Kaikissa tavoiteorientaatioprofiileissa itsensä itsearvioineet kokivat kokeen tehneitä suurempaa pystyvyysuskoa. Eri profiileista tilastollisesti merkitsevät erot pystyvyysuskossa olivat saavutus-suoritusorientoituneiden ja oppimisorientoituneiden joukossa. Tutkimustulosten perusteella itsearviointi näyttäisi olevan pystyvyysuskon kannalta suotuisa arviointitapa tavoiteorientaatiosta riippumatta.
  • Vikman, Johannes (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tavoitteet. Tässä tutkimuksessa selvitetään miten pakohuonepeli sopii matematiikan opetusmenetelmäksi. Oppimisteorioiden mukaan ryhmätyöskentely, ongelmanratkaisu ja virtaustilan saavuttelu tukevat kaikki hyvin matematiikan opiskelua ja omat aikaisemmat kokemukset pakohuonepeleistä osoittivat, että kyseiset asiat liittyvät pakohuonepeliin hyvin. Pyrin vastaamaan tutkimuksessani kysymyksiin miten oppilaiden vastaukset muuttuvat matemaattisiin kysymyksiin pakohuone-kokemuksen jälkeen ja miten oppilaat oppivat uuden käsitteen pakohuoneessa. Lisäksi tutkimuskysymyksenä on millaisia mielipiteitä pakohuonepeli herättää oppilaissa. Menetelmät. Suunnittelin ja toteutin pakohuonepelin erään koulun yhdeksäsluokkalaisille. Tutkimukseen osallistui yhteensä 27 oppilasta. Aineiston kerääminen tapahtui esi- ja jälkitestillä, jotka oppilaat tekivät juuri ennen peliä, sekä välittömästi sen jälkeen. Testi sisälsi sekä matemaattisia kysymyksiä, sekä avoimen osuuden mielipiteelle pakohuoneesta. Tulokset ja johtopäätökset. Tutkimus osoitti, että pakohuonepeli herätti lähes ainoastaan positiivisia ajatuksia sitä pelanneissa oppilaissa, ja monet kokivat sen mielenkiintoiseksi ja mielekkääksi tavaksi opiskella matematiikkaa. Tutkimus osoitti, että pakohuonepeli voi opettaa matemaattista sisältöä oppilaille. Tutkimuksen perusteella hyvin toteutettua pakohuonepeliä voidaan käyttää opetusmenetelmänä matematiikassa.
  • Hopea-Manner, Armi (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tämän tutkimuksen tarkoituksena on ollut tutkia Suomen kemian opetuksen nykytilaa kemian opettajien näkökulmasta sekä verrata tilannetta kymmenen ja 20 vuotta sitten saatuihin tuloksiin. Tutkimalla aineenopettajien kokemuksia ja mielipiteitä, saadaan selville nykytilanne kemian opetuksesta ja sen haasteista. Tutkimuksen tavoitteena oli saada tietoa opettajille, täydennyskouluttajille ja muille koulumaailman henkilöille sekä kemian opettamisen kehittämisestä kiinnostuneille. Esimerkiksi opetussuunnitelman perusteiden kehittämisryhmä voi saada hyötyä tuloksista. Tämän tutkimuksen pääkysymykset olivat: 1. Mikä on kemian opetuksen nykytilanne Suomessa kemian opettajien näkemysten mukaan? 2. Miten kemian opetus on muuttunut Suomessa viimeisen kymmenen ja 20 vuoden aikana kemian opetuksen lähtökohtien, kokeellisuuden, työtapojen, yhteistyön sekä haasteiden ja kehittämisideoiden suhteen? Tutkimus tehtiin Suomessa kemiaa opettavien näkökulmasta. Tutkimukseen osallistuneista 79 prosenttia oli opettanut kemiaa yli viisi vuotta. Suurimmalla osalla tutkimukseen vastanneista oli kemian tuntien osuus suurin tai toiseksi suurin opetustunneista. Opettajat opettivat erikokoisilla paikkakunnilla ja kouluissa, jotka olivat eri puolilla Suomea. Opettajat vastasivat kyselyyn joko paperisen tai verkossa olevan kyselylomakkeen kautta. Kyselylomake sisälsi 49 kysymystä, jotka oli tehty aikaisemman tutkimuslomakkeen avulla. Lomakkeessa oli sekä suljettuja että avoimia kysymyksiä. Kysymyksistä laskettiin frekvenssit ja prosentit. Tutkimus osoittaa, että kemian opetuksen lähtökohdat ovat osittain parantuneet kuluneen kymmenen vuoden aikana kokeellisuuden ja työtapojen osalta. Opettajien käyttämät työtavat ovat monipuolistuneet. Yhteistyö ulkopuolisten tahojen kanssa on kasvanut ja monipuolistunut. Tutkimus tuo esille myös uusia opetuksen kehittämishaasteita. Lisätukea tarvitaan edelleen resursseihin, tiloihin, välineisiin ja oppimateriaaleihin. Täydennyskoulutukseen osallistuneiden opettajien määrä on kasvanut kuluneen kymmenen vuoden aikana, kuitenkin noin kolmannes opettajista jättää käymättä täydennyskoulutuksissa. Suurin osa opettajista toivoi koulutusta erilaisista mittausohjelmista, kemian teknologiasta ja molekyylimallinnus- ja piirto-ohjelmistoista. TVT- ja sähköiset asiat ovat uusi kehittämisalue. Sähköiset välineet ovat tulleet käyttöön muun muassa sähköisten ylioppilaskirjoitusten takia. Myös peruskoulussa ollaan otettu sähköiset välineet käyttöön ja niiden käyttöä täytyy harjoitella peruskoulun jälkeisiä opintoja varten. Oman työn kehittäminen oli myös yksi toivotuista koulutusaiheista. Opettajien tukeminen täytyy huomioida niin peruskoulutuksessa kuin täydennyskoulutuksissakin. Näiden koulutusten välissä on tärkeä huomioida opettajien induktiovaihe nuorena tai juuri valmistuneena opettajana. Vanhempien opettajien tekemä perehdytys tuoreelle opettajalle, eli mentorointi työelämään siirtyessä vaikuttaa myös merkittävästä opettajien kehittymiseen. Taitava ja oppilaita innostava opettaja vaikuttaa suuresti siihen, miten kiinnostus kemiaan syntyy. Opetuksen kehittämiseksi tarvitaan tutkimusta eri kouluasteilta peruskoulusta lähtien. Näiden tutkimusten avulla saadaan selville ongelmakohtia opetuksessa ja miten kemian opetusta saadaan edelleen paremmaksi.
  • Abdullatif, Jinan (Helsingin yliopisto, 2019)
    Opetusvälineet ovat tärkeä työväline matematiikan opettamis- ja oppimisprosessissa. Ne tuovat abstraktin aineen aisteilla tunnusteltavaksi. Ne ovat tärkeä työväline opettamisessa ja parantavat opetuksen laatua. Siitä huolimatta niiden tuntemus, käyttö ja tuottaminen on opettajien keskuudessa vaihtelevaa. Opetusvälineiden kirjo on laaja ja niiden tunteminen ja käyttö vaatii opettajalta perehtymistä. Tässä työssä tarkastellaan erilaisia opetusvälineitä ja matematiikan opettajien opetusvälineiden tuntemusta, käyttöä ja tuottamista Ammanin yläkouluissa. Lisäksi tarkastellaan opetusvälineiden käytön yhteyttä opettajien kokemukseen ja pätevyyteen ja niiden käytön esteitä. Työhön on haastateltu näyteryhmää, joka koostuu Ammanin yksityisten ja julkisten yläkoulujen matematiikan opettajista. Tutkija on laatinut kyselylomakkeen, johon näyteryhmä on vastannut. Tulokset esitetään taulukoituna ja ne käydään erikseen läpi. Työssä käy ilmi, että Ammanin yläkoulujen matematiikan opettajien tuntemus opetusvälineistä on tyydyttävää. Opetusvälineiden käyttö ja tuottaminen ovat sen sijaan vähäisiä. Tähän löytyy opettajista riippumattomia syitä. Opettajan kokemuksella ei näytä olevan yhteyttä opetusvälineiden käyttöön ja tuottamiseen.
  • Hautamäki, Timo (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tutkielmassa perehdytään Fermat’n pieneen lauseeseen ja sen todistuksiin. Fermat’n pientä lausetta tarkastellaan myös alkulukutestauksen näkökulmasta. Loppupuolella määritellään Eulerin φ-funktio ja esitetään Eulerin lause. Eulerin lauseen käytännöllisyyttä tarkastellaan jakojäännösten selvittämisessä. Tutkielman johdanto on pieni katsaus Pierre de Fermat’n ja Leonhard Eulerin elämään. Johdannossa käsitellään myös Fermat’n pienen lauseen sekä Eulerin lauseen historiaa. Tutkielmassa on käytetty useita lukuteoreettisia käsitteitä, jotka määritellään heti johdannon jälkeen luvussa Tutkielmassa käytettyjä määritelmiä. Tutkielma esittää Fermat’n pienen lauseen kolmessa eri muodossa, jotka kaikki ovat keskenään ekvivalentteja. Lauseen käyttöä havainnollistetaan myös muutamalla esimerkillä. Luvussa Fermat’n pienen lauseen todistuksia kyseinen lause todistetaan ensin suoraviivaisesti ja sen jälkeen induktiolla. Lopuksi lausetta havainnollistetaan kuvitellun helminauhan avulla. Tutkielma osoittaa, että Fermat’n pieni lause toteutuu millä tahansa alkuluvulla p. Fermat’n pienen lauseen toteutuminen jollain luvulla ei kuitenkaan yksin riitä osoittamaan lukua alkuluvuksi. Otsikon Pseudoalkuluvut alla käsitellään lukuja, jotka eivät ole alkulukuja, mutta joilla Fermat’n pieni lause toteutuu. Jotta voitaisiin varmistua, että luku on alkuluku, E. Lucas kehitti 1800-luvun loppupuolella alkulukutestin, joka hyödyntää Fermat’n pientä lausetta. Testi on esitetty, todistettu ja sitä on havainnollistettu esimerkein kohdassa Lucas-Lehmer alkulukutesti. Testin todistukseen vaaditaan muutamia aputuloksia, jotka on esitetty ennen varsinaista testiä. Tutkielma määrittelee Eulerin φ-funktion ja havainnollistaa sen käyttöä esimerkillä. Tämän jälkeen tutkielmassa johdetaan kaava, jonka avulla φ-funktion arvon voi kätevästi laskea. Kaavan johtamista varten on todistettu muutama aputulos. Kaavan käytöstä on esimerkki. Tutkielmassa käsitellään Eulerin lause. Heti määritelmän jälkeen Eulerin lauseella ratkaistaan jakojäännöksiä. Sitten Eulerin lause todistetaan ensin induktion ja binomikaavan avulla ja sitten redusoidun jäännösluokkasysteemin avulla. Ennen kumpaakin todistusta esitellään ja todistetaan todistuksissa käytettäviä aputuloksia. Lopuksi tutkielma käsittelee suurten potenssien jakojäännösten ratkaisemista Eulerin lauseen ja binäärijärjestelmän avulla.
  • Schröder, Celina (Helsingin yliopisto, 2019)
    Forskningens mål är att finna de kunskapsdomän som krävs för att lösa fysikuppgifter i studentexamensprovet i fysik på ett framgångsrikt sätt, för att sedan kunna avgöra svårighetsgraden på uppgifterna. Detta gjordes genom att undersöka tidigare forskning i ämnet. Man kom fram till att svårighetsgraden påverkades av de kognitiva färdigheter uppgiften krävde, det fysikområde uppgiften behandlade och de praktiska processer eleven måste göra för att lösa uppgiften. Dessa färdigheter delades in i hierarkiska undernivåer och sammanställdes till en taxonomi för studentexamensuppgifter i fysik. Man undersökte 143 studentexamensuppgifter i fysik från åren 2006 – 2016 och tilldelade dem poäng enligt de undernivåer de representerade i taxonomin för studentexamensuppgifter i fysik. Dessa poäng användes som rådata tillsammans med de medelpoäng elever fått i samma uppgifter. Rådatan användes av ett artificiellt neuronnätverk programmerat i GNU Octave som tränades att förutse medelpoängen för nya uppgifter. Man kunde konstatera att neuronnätverket fungerade bäst för lättare uppgifter där elever fått höga poäng och mindre bra för uppgifter som genererat lägre medelpoäng i studentexamen. Neuronnätet testades och klarade av att beräkna medelpoäng som hade korrelationskoefficienten R^2 = 0,90 med de verkliga medelpoängen. Taxonomin för studentexamensuppgifter i fysik kan användas av provkonstruktörer som vill säkerställa att alla uppgiftstyper representeras i provet och av lärare som vill se till att dessa övas i undervisningen
  • Clement, Henri (Helsingin yliopisto, 2019)
    Todistaminen on matemaattisen tiedon perusta ja matemaattinen tieto lisääntyy todistusten avulla – pohjimmiltaan matematiikka rakentuu määritelmien ja niistä johdettujen lauseiden varaan. Todistaminen on kuitenkin peruskoulussa ja vielä lukiossakin paljon vähemmän esillä oleva matematiikan osa-alue kuin yliopisto-opinnoissa. Tutkielmassa tutustutaan todistustekniikoiden lisäksi aikaisempaan kirjallisuuteen todistamisesta. Todistamisajattelu kehittyy vaiheittain ja aloittelevilla opiskelijoilla on hankaluuksia välillä jo todistusten lukemisen kanssa. Tutkielmassa esitetään aikaisempaan kirjallisuuteen viitaten, miten todistamisajattelun voidaan ajatella kehittyvän ja mitkä ajattelun osa-alueet ovat oleellisia matemaattiselle ajattelulle. Matemaattinen todistaminen vaatii osaamista sekä todistamistekniikoista että sisältötietoa todistettavan asian matematiikan osa-alueesta. Tässä työssä tutkitaan yliopisto-opiskelijoiden todistamista kahdella aineopintoihin sisältyvällä kurssilla. Pääsääntöisesti kyseiset kurssit ovat opiskelijoilla ohjelmassa ensimmäisen lukukauden aikana. Aineistona on opiskelijoiden kurssin aikana palauttamia todistamiseen liittyviä tehtäviä. Tutkimukseen valittiin systemaattisella otannalla 15 opiskelijaa, joilta kaikilta analysoitiin neljä todistamistehtävää teoriaohjaavan sisällönanalyysin menetelmällä. Opiskelijoiden todistuksia tarkasteltaessa keskitytään todistuksen rakenteen ja merkintöjen lisäksi myös päättelyiden matemaattiseen oikeellisuuteen. Lisäksi tutkitaan, miten yksittäisen opiskelijan todistusten tekeminen kehittyy kurssien aikana. Tutkimuksessa tutkituista todistuksista hieman yli kolmannes oli tutkielman määritelmien mukaan kokonaisuudessaan hyväksyttyjä todistuksia. Suurin osa opiskelijoiden virheistä näissä tutkituissa todistuksissa liittyi merkintöihin sekä selkeästi muotoiltuihin määritelmiin. Todistuksista hieman yli puolet oli matemaattiselta päättelyltään johdonmukaisia ja hyväksyttäviä käytettyjen kriteereiden mukaan. Yksittäisen opiskelijan todistamisen kehittymisessä ei ollut tässä tutkimuksessa havaittavissa säännönmukaista kehitystä kuin parin yksittäisen opiskelijan kohdalla.
  • Kulmala, Kimmo (Helsingin yliopisto, 2019)
    Perinteinen luento-opetus on todella vanha traditio ja laajalti käytössä edelleen, vaikka sen huonoista puolista, mm. passivoivasta vaikutuksesta, on runsaasti tutkimusnäyttöä. Oppiakseen opiskelijan on tärkeää aktiivisesti osallistua eri opetustilanteissa ja pohtia mitä hän opiskellessaan tekee. Tätä ristiriitaa on pyritty ratkomaan monin keinoin, esimerkiksi lisäämällä luennoille opiskelijaa aktivoivia elementtejä tai lisäämällä kurssin luennoille ennakkoaktiviteetteja. Tässä työssä tutkin tapaustutkimuksen avulla miten verkkotehtävät toimivat luentoon valmistavina aktiviteetteina, ja minkälaista tulisi väärästä vastauksesta annetun palautteen olla. Toteutin kurssin verkkotehtävät itse käyttäen STACK-järjestelmää. Tutkimus toteutettiin neljänä viikkona (viikot 3–6) syksyllä 2018 Helsingin yliopiston fysiikan peruskurssilla Vuorovaikutukset ja kappaleet. Kurssi kesti 7 viikkoa ja käsitteli mekaniikan perusteita. Kurssin aikana kerättiin kvantitatiivista ja kvalitatiivista tietoa tehtävien toiminnasta viikottaisten kyselyjen ja tehtäväalustan tarjoaman metadatan avulla. Tutkimuksen mukaan opiskelijat kokivat verkkotehtävät mielekkäiksi luentoon valmistaviksi aktiviteeteiksi ja tehtävistä saadun palautteen hyödylliseksi. Joidenkin viikkojen jotkut tehtävät koettiin kuitenkin liian haastaviksi tehtäväksi itsenäisesti. Tämä ja tehtäviin käytetty melko pitkä aika antoivat aihetta ainakin joidenkin tehtävien helpottamiselle. Tutkimuksesta selvisi myös, että tehtävät yksin tehneet kokivat tehtävät ja niistä saadun palautteen hyödyllisemmäksi kuin ryhmässä tehneet. Ero oli myös tilastollisesti merkittävä, joka on tehtävien luonteen kannalta kannustava tulos. Sen sijaan esimerkiksi koulutusohjelmalla ei ollut merkittävää vaikutusta siihen kuinka opiskelijat tehtävät tai palautteen kokivat.
  • Väätäinen, Kaisa (Helsingin yliopisto, 2019)
    Ekologinen näkökulma on painottunut kestävän kehityksen opetuksessa eikä opettajilla ole riittäviä valmiuksia kestävän kehityksen opettamiseen kouluissa. Kestävän kehityksen opetukseen suositellaan laaja-alaista ja projektimaista lähestymistapaa. Kirjallisuuden mukaan hyvistä käytänteistä kestävän kehityksen opettamiseen tarvitaan lisää tutkimusta. Tämän Pro Gradu -tutkielman tavoitteena on antaa lisätietoa kestävän kehityksen ilmenemistä projektioppimisessa. LUMA-keskus Suomen StarT-hankkeen projektitöistä tutkitaan, miten kestävä kehitys ja sen eri osa-alueet on liitetty osaksi projektityöskentelyä ja mitä työtapoja hyödyntäen kestävää kehitystä on projekteissa käsitelty. Tutkimus on laadullinen tapaustutkimus ja aineistona oli 19 projektiraporttia yläkouluissa ja lukioissa tehdyistä luonnontieteellisistä projektitöistä. Projekteja analysoitiin laadullisen sisällönanalyysin menetelmin teoriaohjaavasti ja aineistolähtöisesti. Tutkimusta ohjasivat kaksi tutkimuskysymystä: 1) Miten kestävän kehityksen osa-alueet ilmenevät luonnontieteiden projektitöissä? 2) Millaisia työtapoja hyödyntäen kestävää kehitystä on käsitelty em. projektitöissä? Tutkimuksen tulokset osoittivat, että myös luonnontieteiden projektitöissä painottuu kestävän kehityksen ekologinen näkökulma. Opettajilla on siis edelleen haasteita kestävän kehityksen moninaisuuden tiedostamisessa ja opettamisessa. Kestävän kehityksen työtavoissa näkyvät projektioppimisen vaiheet antaen katsauksen eri tavoista käsitellä kestävän kehityksen osa-alueita projektioppimisessa. Tutkimus antaa lisätietoa sekä opettajille että opettajankouluttajille kestävän kehityksen opetuksen kehittämiseen.
  • Lähteenmäki, Henry (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tämän työn tarkoitus on helpottaa opettajia ja koulutusalan asiantuntijoita lähestymään Wilberin Integraaliteoriaa ja integraaliopetusta. Integraaliteoriaa viitekehyksenä käyttävä integraaliopetus on yksi varteenotettavimmista vaihtoehdoista tulevaisuuden integraaliseksi ja mahdollisimman kokonaisvaltaiseksi opetusmenetelmäksi. Teoria-osiossa käydään läpi Integraaliteorian teorian tausta ja kehitysvaiheet. Sitten esitellään Integraaliteorian tärkeimmät osapuolet: AQAL matriisi, Wilber-Combs hila ja Integraalinen Metodologinen Pluralismi. Seuraavaksi keskustellaan integraaliopetuksesta, sen tarpeesta ja tunnuspiirteistä, ja siitä miten integraaliopetuksessa tulisi huomioida Integraaliteorian tärkeimmät osapuolet. Lopuksi pohditaan opettajan roolia ja integraaliopetuksen haasteita. Työn empiirinen osa koostuu toukokuussa 2018 Meksikossa Tecnologico de Monterrey -yliopiston Tampicon kampuksella tehdystä kyselytutkimuksesta. Kysetutkimuksen tarkoituksena oli selvittää opiskelijoiden subjektiivisia asenteita, mielipiteitä ja kokemuksia integraaliopetuksesta. Vastauksille suoritettiin tilastollinen analyysi SPSS ohjelmistolla. Opiskelijat arvioiva integraaliopetuksen hyödyn korkeaksi oppimiselle ja opiskelulle. Heidän arvioiden perusteella myös integraalinen lähestymistapa elämää kohtaan ylipäätään arvioitiin hyödylliseksi. Integraaliopetuksen transformatiivinen potentiaali arvioitiin korkeaksi. Lisäksi opiskelijat pitivät integraaliopetuksen piirteitä ja tavoitteita tärkeinä opetukselle. Vertailuryhmien (sukupuoli, ikä, opintolukukaudet yliopistossa, lukion keskiarvo ja yliopiston keskiarvo) sisäisien ryhmien vastauksien tilastollista poikkeavuutta ei löytynyt. Täten, opiskelijat arviot integraaliopetuksesta olivat positiivisia riippumatta taustatekijöistä.
  • Meder, Melissa (Helsingin yliopisto, 2019)
    Ilmakehässä esiintyvien erittäin hapettuneiden orgaanisten molekyylien (eng. Highly Oxygenated organic Molecules, HOM) tutkimisesta ollaan erittäin kiinnostuneita muun muassa sen takia, että ne ovat oleellisia sekundääristen orgaanisten aerosolien muodostuksessa ja kasvussa niiden heikon haihtuvuuden ansiosta. HOM-yhdisteryhmään kuuluvia yhdisteitä tutkitaan nitraatin avulla kemiallisesti ionisoivien ilmakehänpaineliitännäisten lentoaikamassaspektrometrien (nitraatti-CI-APi-ToF) avulla. Mittauksissa on kuitenkin suuria epävarmuuksia, joita halutaan vähentää kalibroimalla mittalaitteet. HOM-yhdisteryhmän yhdisteiden tutkimuksessa tehtyjen mittausten kalibroimiseksi tässä työssä tutkittiin pisaranhaihdutusmenetelmällä toimivia kalibraattoreita, sekä etsittiin kyseisten yhdisteiden kalibroimiseen sopivia yhdisteitä. Näiden kalibrointiyhdisteiden tulisi olla ominaisuuksiltaan samanlaisia kuin HOMit, eli heikosti haihtuvia orgaanisia yhdisteitä. Tässä tutkielmassa testattiin yhteensä neljää pisaranhaihdutusmenetelmään perustuvaa kalibraattoria. Tutkituista kalibraattoreista KALIKKA-, M- ja T-kalibraattori on kehitetty tämän työn osana. Viimeisimpänä testattu kärsäkalibraattori taas on Kärsa oy:n toimesta kaupallisesti suunniteltu. Kalibrointiyhdisteiksi tutkittiin maloni-, meripihka-, adipiini-, sitruuna- ja rikkihappoa sekä sorbitolia. Validointimittaukset tehtiin heksogeenillä eli RDX:llä sekä asetonilla, joka on haihtuva orgaaninen yhdiste (VOC). Asetonimittaukset tehtiin hydroniumionien avulla tapahtuvalla protoninsiirtoreaktiolla kemiallisesti ionisoivilla lentoaikamassaspektrometreillä (PTR-ToF ja Vocus-PTR). Validointimittausten perusteella tässä tutkielmassa käytetyt analyysimenetelmät sekä teflon-M- ja T-kalibraattorit toimivat oletetusti. Lähes kaikkien tutkittujen yhdisteiden kanssa esiintyi erilaisia vaikeuksia, joiden takia jatkotutkimuksia tarvitaan. Malonihappomittauksia tehtiin kuitenkin niin kattavasti, että sen avulla saatujen tulosten perusteella voidaan sanoa, ettei malonihappo todennäköisesti sovellu kalibrointiyhdisteeksi ainakaan tässä tutkittuja kalibraattoreita käyttäen. Jatkossa voitaisiin tutkia eri yhdisteitä, kuten perfluorinoituja karboksyylihappoja, testata muita liuottimia veden sijaan sekä kehittää edelleen tässä tutkittuja kalibraattoreita. Myös usean kalibrointiyhdisteen liuoksia voisi kokeilla kalibrointiprosessin tehostamiseksi.
  • Mannfors, Emma (Helsingin yliopisto, 2019)
    Star formation in 53 Galactic fields, selected from the Planck Catalog of Galactic Cold Clumps, has been studied using continuum submillimeter observations from the Herschel space telescope (PACS instrument 70, 100, and 160 μm, SPIRE instrument 250, 350, and 500 μm) and the James Clerk Maxwell Telescope SCUBA-2 instrument (850 μm). Fields are located at galactic latitudes between -20 and +37, and distances of 0.1-4.5 kpc. Dense clumps have been extracted from the 850-μm data using the FellWalker clumpfinding algorithm. Properties of the dust have been found by fitting a modified blackbody function to SPIRE data and clump masses have been estimated using dust properties. Whether clumps are gravitationally bound has been estimated using Bonnor-Ebert analysis. Finally, young stellar objects (YSO) from four catalogs have been associated with the clumps. Clumps are characterized as protostellar, prestellar or starless with protostellar sources having at least one YSO spatially related to them. Prestellar clumps are gravitationally bound while starless clumps are not. Virial analysis has been performed and compared to the results of Bonnor-Ebert analysis to study the role of turbulence in these regions. FellWalker analysis found 529 dense clumps, 147 of which had sufficient data for mass estimation. Mass and radius of clumps is strongly correlated with distance. Temperature also shows a slight increase in more distant fields. These effects are due to the resolution of the SCUBA-2 instrument. Of these 147 clumps, from Bonnor-Ebert analysis 91 are protostellar, 55 prestellar, and 1 starless. The starless clump is the coldest and smallest of the whole sample. Prestellar clumps have an average temperature of 13.2 ± 1.0 K, and a column density of (1.5 ± 0.8)x 10^(22) cm^(-2). Protostellar clumps are on average larger and hotter, but have lower column density than other types of clumps. Virial analysis, which includes estimates of non-thermal support, found 91 protostellar, 17 prestellar, and 39 starless clumps, showing a strong effect of turbulence. Virial prestellar clumps are the largest, coldest and densest of the sample. These clumps represent a diverse sample of Galactic star forming regions, from high-latitude nearby clumps to distant massive clouds.
  • Zitting, Aleksi (Helsingin yliopisto, 2019)
    Due to increasing energy demand and environmental concerns, developing cleaner and more efficient methods of energy production is becoming more and more important. One such method proposed is a fusion reactor. The plasma facing materials of the reactor must be able to withstand the harsh conditions inside. One such material proposed to be used in constructing the plasma facing components in the reactor is tungsten. In this work I examine the the durability of tungsten under fusion-grade conditions using molecular dynamics simulations. First the impact of neutron irradiation of simulated by simulating 150 keV tungsten irradiation of a 65nm thick tungsten thin film. This was done at 800K and 1900K. After simulating the irradiation event, damage was determined by calculating Wigner-Seitz defects. Larger defect clusters where then analyzed to determine their type. For interstitial type defect clusters loops with the Burger's vector <100> and 1⁄2<111> formed with 1⁄2<111> loops being 4 times as common. For vacancy-type clusters craters, spherical voids and <100> loops formed, however no 1⁄2<111> loops formed even though they are seen in experiments. Temperature didn't seem to have an effect on the amount of defects formed, however the defects that formed were larger at 1900K than at 800K. Secondly the co-bombardment of a tungsten surface with deuterium and a noble gas impurity was simulated. This process was done by randomly selecting either a deuterium ion or a noble gas ion, placing it above the surface and giving it a kinetic energy towards the surface. Several different cases were studied where the following variables were varied: noble gas species (neon or argon), impact energy (10,30,50,80,100 eV), noble gas concentration (5,10,20%) and temperature (500, 800 K). Damage was the determined by looking at the deuterium retention and reflection of the surface, the sputtered tungsten and change of surface morphology. Argon caused more damage than neon. Increasing irradiation energy increased the damage done to the surface, with tungsten sputtering being possible at 80 eV and above. Increased gas concentration also increased the damage. Temperature differences were only significant for deuterium reflection at low energies.
  • Vuokko, Tuomas (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tietokonetomografia on keksimisestään 1970-luvulla asti mullistanut radiologian mahdollistamalla entistä nopeamman ja tarkemman diagnostiikan. Traumakuvantaminen sekä pidempiaikaisten muutosten, kuten syöpäkasvaimien havaitseminen on laitteiden edelleen kehittyessä varmempaa. Kaksoisenergiatietokonetomografiatomografia on ollut jo jonkin aikaa kliinisessä käytössä, ja se on tuonut uusia, vielä hieman vähemmin tunnettuja työkaluja radiologien käyttöön. Työssä tarkastellaan osaa näistä työkaluista, ja tutkitaan kaksoistietokonetomografian mahdollisesti tuomia etuja perinteiseen tietokonetomografiakuvaukseen verrattuna. Työn toteuttamiseen käytettiin toisen sukupolven Siemens SOMATOM Definition Flash –TT-laitteistoa sekä niiden ohessa tulevaa Syngovia-ohjelmistoa. Tutkimuksessa käytettävät jodivarjoaineet sekoitettiin veteen suhteessa, jotka vastaisivat mahdollisimman hyvin potilaissa mahdollisesti havaittavia varjoainepitoisuuksia. Varjoainekoeputket asetettiin tietokonetomografialaitteen kalibroimisessa käytettävään CIRS 062M fantomiin ja kuvattiin kaksoisenergiaprotokollalla. Kuvasarjojen tiedot taulukoitiin Syngovia-ohjelmistoa sekä ImageJ-ohjelmaa käyttämällä. Varjoaineen konsentraation määrityksessä päästiin diagnostisella alueella (0-300 HU) oletusarvoja hyvin vastaaviin tuloksiin (keskimäärin ± 6,3% torsofantomilla, ±4,6% pääfantomilla). Syngovian tuottamissa virtuaalinatiivikuvissa, eli kuvissa joista jodivarjoaine häivytetään, alle 200 HU alueella päästiin lähelle veden oletusarvoa 0 HU, korkeammilla varjoainepitoisuuksilla ohjelmisto ei tähän enää pystynyt. Järjestysluvun ja kohteen tiheyden arvioinnissa saatiin myös oletusarvoja erittäin hyvin vastaavia tuloksia. Kaksoisenergiatietokonetomografiasovelluksia on jo nyt lukuisia, ja jos menetelmät ja laitekanta yleistyvät, niitä varmasti kehitetään edelleen. Laskentatehon kasvaessa tietokoneiden kehittymisen myötä monimutkaisetkin algoritmit ovat nopeita suorittaa. Visuaaliset työkalut auttavat diagnostiikassa ja menetelmän antama laskennallinen lisäinformaatio on kiistaton
  • Kyyhkynen, Juho (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tämän tutkielman päämäärä on osoittaa rekursiivisten funktioiden ja lambda-määriteltävien funktioiden yhtenevyys. Molemmat funktiojoukot ovat laskettavuuden teorian syntyyn vaikuttaneita laskennan malleja, joilla kuvataan automatisoitavissa olevia prosesseja. Kurt Gödel tarvitsi rekursiivisia funktioita predikaattilogiikan todistuvuuden mekanisointiin. Lambda-määriteltävyys taas pohjautuu Alonzo Churchin ideoimaan lambdalaskentaan (engl. lambda-calculus). Se koostuu funktioita esittävistä kaavoista, ja niille määritellyistä muunnossännöistä. Lambdalaskenta on toisinaan suomennettu myös lambdakalkyyliksi. Lambda-määriteltävät funktiot on rekursiivisten funktioiden ohella osoitettu yhteneviksi useiden muidenkin laskentaformalismien kanssa. Tämän johdosta on päädytty otaksumaan, että rekursiiviset operaatiot ovat ne, joita on ylipäänsä mahdollista realisoida jollain algoritmilla tai automaatiolla. Lambdalaskennan synnyinvuosien jälkeen hiljalleen kehittyi laskettavuuden teoria, jossa tutkitaan mitä tällaisilla mekaanisilla järjestelmillä, kuten tietokoneella, voi edes periaatteessa ratkoa. Luvussa 2 esitellään rekursiivisten funktioiden perhe sekä rekursiivisesti ratkeavat relaatiot. Aikaisempi tietämys matemaattisesta logiikasta ja rekursiivisista funktioista on hyödyksi, sillä kaikkien määritelmien semanttista oikeellisuutta ei käsitellä. Luvussa 3 esitellään lambdalaskennan lausekkeet ja muunnossäännöt sekä todistetaan Churchin-Rosserin lause, joka kuittaa lambda-laskennan toimivaksi laskentajärjestelmäksi. Lisäksi todistetaan lambdatermien kiintopistelause, jota vastaava tulos rekursiivisille funktioille on huomattavasti mutkikkaamman todistuksen takana. Aikaisempaa tietämystä lambdalaskennasta ei edellytetä. Luvussa 4 esitellään lambda-määriteltävien funktioiden joukko, joka viimeisessä luvussa osoitetaan samaksi rekursiivisten funktioiden joukon kanssa. Usein laskettavuuden teoriassa sallitaan osittaiset funktiot, joiden arvoa ei kaikissa pisteissä välttämättä ole määritelty. Tässä tutkielmassa käsitellään kuitenkin vain totaaleja funktioita.
  • Nieminen, Liisa (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tavoitteet. Tämän tutkimuksen tavoitteena on esitellä oppimispelien ja varsinkin pedagogisten oppimispelien hyötyjä sekä tutkia, miten pedagogisista lähtökohdista suunniteltu oppimispeli toimii käytännössä. Oppimispelejä sekä niiden tuomaa pelillisyyttä kaivataan perusopetuksen opetussuunnitelmankin mukaan kouluihin. Lisäksi matematiikan opetukseen kaivataan matematiikkapuhetta sekä enemmän ongelmanratkaisua. Matematiikan opetuksen haasteena on virhekäsitykset, joita oppilaille saattaa muodostua. Virhekäsitysten ennaltaehkäisemisessä, sekä torjumisessa matematiikan puhuminen on merkittävässä roolissa. Kehittämämme oppimispeli pyrkii osaltaan vastaamaan näihin tarpeisiin. Tässä tapaustutkimuksessa tutkittiin innostaako pedagogisista lähtökohdista suunniteltu oppimispeli matematiikan opiskeluun, saako peli aikaan matikkapuhetta ja antaako peli opettajalle välineen virhekäsitysten tunnistamiseen. Lisäksi tämän tutkimuksen tavoitteena oli saada arvokasta palautetta kehittämästämme pelistä sekä parannusehdotuksia jatkokehitykseen. Menetelmät. Tutkimus suoritettiin peluuttamalla peliä Maunulan yhteiskoulun 7.–9.luokkalaisilla. Tutkimukseen osallistui yhteensä 43 oppilasta ja 5 opettajaa. Peliä pelattiin noin puolen tunnin verran, jonka jälkeen oppilaat sekä heidän opettajansa täyttivät palautelomakkeen. Lomakkeet koostuivat asteikkokysymyksistä sekä avoimista kysymyksistä. Vastausten perusteella laadin pylväsdiagrammit ja laskin asteikkokysymyksistä keskiarvot. Lisäksi seurasin pelitilanteita ja analysoin seuraamani perusteella, miten peli otettiin vastaan. Tulokset ja johtopäätökset. Tutkimuksen tuloksena voidaan sanoa, että pedagogisista lähtökohdista suunniteltu oppimispeli Sigma Math tuotti kaivattua matikkapuhetta ja innosti oppilaita, koska oppilaat halusivat pelata peliä uudestaankin. Voidaan siis todeta pelin olevan innostava väline oppimiseen matematiikan tunnilla. Virhekäsityksistä ei tämän tutkimuksen mukaan saatu tietoa. Jatkokehityksen kannalta merkittävin palaute koski vastausajan rajaamista tiimalasilla. Kaiken kaikkiaan peli otettiin hyvin vastaan, se innosti oppilaita puhumaan matematiikkaa ja toi hieman erilaisen näkökulman matematiikan opettamiseen.
  • Laurila, Teemu (Helsingin yliopisto, 2019)
    Tässä työssä tutkitaan yksiulotteista lämpöyhtälöä. Työn tavoitteena on syventää lukion lämpöoppia opettavan käsityksiä lämmönjohtumisesta ja antaa uusia näkökulmia aiheen käsittelyyn. Työssä osoitetaan yksiulotteisen lämpöyhtälön todenperäisyys ja selvitetään sen ratkaisu eri menetelmiä käyttämällä. Lämpöyhtälö on tärkeä osittaisdifferentiaaliyhtälö, jota käytetään fysiikan lisäksi myös lukuisissa muissakin tieteissä. Sen avulla voidaan mm. ennustaa kappaleen minkä tahansa pisteen lämpötila tulevaisuudessa, kunhan alkutilanteen lämpötilaa kuvaava funktio tunnetaan. Työ lähtee liikkeelle lämpöyhtälön johtamisesta. Tutkimalla äärellisen pituista, homogeenista sauvaa, lämpöyhtälölle saadaan fysiikasta tuttujen lämpöenergian virtausta koskevien sääntöjen pohjalta johdettua matemaattinen malli. Johtamisessa on tehty tiettyjä sauvaa koskevia yksinkertaistuksia ja approksimaatioita, jotta voidaan keskittyä päämäärän kannalta olennaiseen. Seuraavaksi työssä siirrytään lämpöyhtälön ratkaisemiseen tutkimalla reunaarvo-ongelmaa. Reuna-arvo-ongelman toteuttava ratkaisu on avain lämpötilan ennustamiseen tulevaisuudessa. Ratkaisu johdetaan lämpöyhtälön 1800-luvulla esitelleen Joseph Fourier’n menetelmää käyttäen. Saman luvun loppupuolella ratkaisun yksikäsitteisyys osoitetaan energiaperiaatteen nojalla, sekä näytetään reuna-arvo-ongelma stabiiliksi ja hyvin määritellyksi. Työn neljännessä luvussa lämpöyhtälön ratkaisu johdetaan äärettömän pitkälle yksiulotteiselle sauvalle. Tämä fysikaalisesti mahdoton tilanne on mielenkiintoinen, koska tällöin saadaan tietoa tilanteista, jolloin sauvan päiden vaikutus on olematon. Ratkaisemiseen käytetään Fourier’n muunnosta. Viimeisessä luvussa lämpöyhtälö ratkaistaan numeerisesti differenssimenetelmällä. Numeeriset menetelmät perustuvat aika- ja paikkamuuttujien diskretointiin, jolloin voidaan approksimoida lämpöyhtälöä. Approksimaation virhe otetaan huomioon ja sen tarkkuuteen voidaan vaikuttaa pisteiden lukumäärää muuttamalla. Ratkaisu esitetään luvussa myös matriisimuodossa, jota hyödynnetään Matlab-ohjelmalla mallinnettavassa numeerisessa ratkaisussa. Ohjelman avulla saadaan kuvattua, kuinka sauvan lämpötilafunktio muuttuu ajan myötä. Tämän graafinen ratkaisu on toisista ratkaisuista poiketen helposti ymmärrettävissä ilman syvällisiä matematiikan opintojakin ja sovellettavissa sellaisenaan opetuksen tukimateriaaliksi.

View more