Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta

 

Recent Submissions

  • Ojanen, Silja (2016)
    Matematiikan kielentämisellä tarkoitetaan matemaattisen ajattelun esittämistä sanallisesti tai symbolien ja kuvien avulla. Aiemmissa tutkimuksissa on havaittu, että opiskelijat kokevat kielentämisharjoittelun auttavan oman ajatteluprosessin jäsentämisessä sekä sen esittämisessä muille, ja pitävät sitä hyödyllisenä. Tässä tutkimuksessa käsitellään kielentämisharjoittelua matematiikan yliopisto-opintojen alkuvaiheessa erityisesti joukko-opin osalta. Tutkimuksessa pyrittiin selvittämään sitä, miten opiskelijat suhtautuvat kielentämiseen työtapana ja sitä, millaisia joukko-opin kielentämiseen liittyviä ongelmia opiskelijoilla voidaan havaita. Lisäksi tutkittiin kielentämistehtävissä menestymisen yhteyttä opiskelijoiden kurssi-menestykseen. Tutkimus toteutettiin Helsingin yliopiston Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssilla keväällä 2015. Kurssin osanottajista suurin osa oli matematiikan sivuaineopiskelijoita. Kurssin opiskelijat tekivät las-kuharjoitusten yhteydessä yhteensä neljä kielentämistehtävää, jotka pisteytettiin ja joiden avulla tutkit-tiin kielentämiseen liittyviä ongelmia. Opiskelijoiden mielipiteitä kielentämisestä ja matematiikasta kartoitettiin kyselylomakkeella. Aineiston kvantitatiivinen analyysi toteutettiin Excel-ohjelman tilasto-työkaluilla. Opiskelijat suhtautuivat luonnollisen kielen käyttöön matematiikassa pääosin positiivisesti ja kokivat siitä olevan hyötyä. Selkeimpiä ongelmia tutkittaville aiheuttivat joukko-opin merkinnät ja niiden kään-täminen luonnolliselle kielelle. Kielentämistehtävistä saatujen pisteiden ja koepisteiden välillä havaittiin selvä positiivinen korrelaatio, mutta tarvitaan lisätutkimusta selvittämään, miten kielentämisharjoittelu vaikuttaa osaamiseen. Kielentäminen vaikuttaa kuitenkin käyttökelpoiselta työkalulta matematiikan oppimisen tueksi.
  • Niiranen, Juha (2016)
    The demand for mobile services is increasing constantly and mobile network operators need to significantly upgrade their networks to respond to the demand. The increasing complexity of the networks makes it impossible for a human operator to manage them optimally. Currently the network management operations are automated using a pre-defined logic. The future goal is to introduce cognitive network management functions which can adapt to changes in the network context and handle uncertainty in network data. This thesis discusses using Markov Logic Networks for cognitive management of mobile networks. The method allows uncertain and partial information and makes it possible to consolidate knowledge from multiple sources into a single, compact, representation. The model can be used to infer configuration changes in network parameters and the model parameters can be learned from data. We test the method in a simulated LTE network and examine the results in terms of improvements in network performance and computational cost.
  • Kerokoski, Katriina (2016)
    Tutkielmassa määritän triviaalin solmun ja $p,q$-torussolmun ryhmät eli niiden komplementin perusryhmät. Solmu on ympyrän upotus kolmiulotteiseen avaruuteen. Yksinkertaisinta solmua kutsutaan triviaaliksi solmuksi. Torussolmuksi $K_{p,q}$ kutsutaan solmua, joka kiertyy kiinteän toruksen ympärille $p$ kertaa pitkittäiseen suuntaan ja $q$ kertaa poikittaiseen suuntaan. Eräs solmuteorian keskeisistä kysymyksistä on, milloin kaksi solmua ovat keskenään ekvivalentteja. Invariantit ovat osittaisia vastauksia tähän kysymykseen: ne ovat solmujen funktioita, jotka saavat saman arvon ekvivalenteilla solmuilla. Invariantit voidaan jaotella kombinatorisiin eli solmukaavioihin perustuviin sekä topologisiin invariantteihin. Topologisista invarianteista tärkeimpiä on solmun ryhmä. Esittelen tutkimuksessani ensin homotopian perusominaisuuksia ja perusryhmän käsitteen. Erityisesti kerron, miten selvitetään avaruuden deformaatioretraktin ja tuloavaruuden perusryhmä. Seuraavaksi osoitan, että ympyrän perusryhmä on ääretön syklinen ryhmä. Käyn myös läpi tutkielmassa tarvittavaa algebran käsitteistöä, erityisesti sen, miten ryhmän esityksen voi määrittää vapaan ryhmän, virittäjien ja relaattoreiden avulla. Tutkielman ensimmäinen päätulos on polkuyhtenäisten avaruuksien perusryhmiä koskeva van Kampenin lause, jonka avulla voidaan määritellä avaruuden $U \cup V$ perusryhmä, kun avaruudet $U$, $V$ ja $U \cap V$ ovat polkuyhtenäisiä ja epätyhjiä ja näiden avaruuksien perusryhmät tunnetaan. Tämän jälkeen tutkin solmujen ryhmiä. Ensin osoitan, että triviaalin solmun ryhmä on ääretön syklinen ryhmä, ja sen jälkeen määritän ympyrän perusryhmän ja van Kampenin lauseen avulla, että torussolmun $K_{p,q}$ ryhmän eräs esitys on $\langle a,b | a^p = b^q \rangle$. Lopuksi pohdin yleisesti solmun ryhmän käyttöä invarianttina.
  • Linden, Mecki (2016)
    Syftet med den här forskningen var att kartlägga geografilärares erfarenheter och åsikter om undervisningsmetoden flipped classroom, samt att undersöka hur metoden påverkar elevers inlärningsresultat i naturgeografi i gymnasiet. Målet var att få reda på hur bekanta geografilärare är med flipped classroom samt vilka förutsättningar de har för att kunna använda sig av en aktiv undervisningsmetod som kräver kunskaper i informationsteknik. Finländska geografilärares (n=49) erfarenheter och åsikter kartlades med hjälp av en elektronisk enkät. Undervisningsexperimentet (n=32) utfördes som en fältundersökning i GE1- kursen i ett gymnasium i södra Finland. Resultaten analyserades med hjälp av statistiska analyser och presenterades i form av figurer eller citat. Forskningen visar att finländska geografilärare är bekanta med flipped classroom men att de inte använder metoden i någon större utsträckning, mestadels på grund av tidsbrist. Kunskaperna i informationsteknik är goda och det är allmänt godkänt att geografiundervisningen gynnas av elektroniska undervisningsmetoder. Största delen av geografilärarna använder sig av IT i undervisningen. Elevernas inlärningsresultat påverkades inte nämnvärt av flipped classroom men en svag negativ inverkan kunde urskiljas. Undervisningsexperimentet introducerade eleverna till en aktiv inlärningsmetod. För att uppfylla målen i den nya läroplanen behöver nya elevcentrerade undervisningsmetoder tas i bruk. Den nya läroplanen, digitaliserade studentskrivningar och en ny timfördelning ställer nya krav på geografiundervisningen. För att nå målen bör nya elevcentrerade undervisningsmetoder införas och då kan flipped classroom vara en bra början. Som skolämne består geografin av många olika delområden som lämpar sig ypperligt för olika typer av elevcentrerade och digitaliserade undervisningsmetoder.
  • Suonperä, Enni (2016)
    In 2011 AA Sakatti Mining Oy published a promising ore discovery in Sodankylä, Finnish Lapland. The need for more knowledge led to the start of Sakatti geoenvironments -project in collaboration with the University of Helsinki. As a part of this project, the Holocene paleohydrology of Viiankiaapa mire was reconstructed. Viiankiaapa mire is located on the eastern side of Kitinen River and has developed in close connection to it. It is a large aapamire complex consisting of multiple smaller minerotrophic mire sites and bogs. Viiankiaapa conservation area was first established in 1988. A large portion of Viiankiaapa is now part of the Natura 2000 conservation network. To study the development and paleohydrology of Viiankiaapa mire, a 4.3 meter peat core (VA310315, 7497803 N/0490511 E) was collected using a Russian peat sampler. From the peat core, six specimens from increasing depth levels were sampled for age determinations to establish reliable chronology. Dating was conducted at LUOMUS Laboratory of chronology at the University of Helsinki, using 14C AMS dating method. Peat stratigraphy was studied on site and humification determined using von Post method. Physical properties of the peat (LOI550 and water content) were determined in 2 cm resolution. The colour of the ash was determined using Munsell soil color chart. Same resolution was used in geochemical analyses of 17 individual elements (C, N, S, P, K, Ca, Mg, Na, Fe, Al, Cu, Ni, Zn, Ti, Mn, Pb, Si). C, N, and S contents were determined using gas chromatography, while all the other elements were analyzed using ICP-MS. From the element contents, multiple ratios were calculated in order to study the Holocene deposition pattern of individual elements. Element/Ti profiles show an increase in mineral material input in c. 8 000 – 6 000 cal. BP, c. 4 800 – 3 000 cal. BP, and 2 500 – 1 900 cal. BP, suggesting enhanced flooding of Kitinen and increased humidity. Early Holocene (11 700 – 8 200 cal. BP) is indicated as a period of higher detritic material input. Waterlogged conditions, however, have most likely not been continuous during early Holocene. This is suggested by the occurrence of dark red color of iron oxide (FeO) in the ash. The occurrence of iron sulphides (possibly pyrite, FeS2) in the ash of the bottom section of the core suggests that waterlogged conditions were reached during Mid -Holocene. The 8.2k event is showcased in the profiles of multiple elements, including the main nutrients (C, N, P). These elements show significant increase after the cold event. Ca/Mg, Ca/K, and Mg/K ratios were used to estimate the trophic state of the mire and the sources of the mineral material. Also the accumulation of Pb was studied more closely. All of these factors suggest that atmospheric input and groundwater alone could not have transported the entire volume of the mineral material, and therefore river Kitinen may be considered as the main water and nutrient source until the damming of the river in 1984 and 1995.
  • Lehmonen, Lauri (2016)
    Sydänlihas liikkuu lyödessään kolmiulotteisesti, vuoroin supistuen ja rentoutuen. Vasen kammio on sydämen kammioista vahvin ja sen seinämä paljon oikeaa kammiota paksumpi. Sydämen tomografisen ja kolmiulotteisen liikkeen mallintamiseksi on kehitetty useita menetelmiä, joista sydämen seinämässä sijaitsevien yksittäisten pisteiden seuraamiseen vain magneettikuvaus on riittävän tarkka. Tagging on magneettikuvausmenetelmä, jonka avulla voidaan luoda magneettikuviin näkyviä viiva- tai ristikkokuvioita. Kuvion luonnissa käytetään hyväksi vety-ydinten magneettisia ominaisuuksia samoin kuin itse magneettikuvan luonnissakin. Tästä johtuen kuvio liikkuu sydänlihaksen liikkeen mukana ja tätä liikettä voidaan magneettikuvasarjoista seurata sekä visuaalisesti että erilaisilla analysointityökaluilla. Tämän työn tarkoituksena on esitellä tagging-magneettikuvauksen perusteita ja perehtyä tagging-kuvion kvantitatiiviseen analyysiin käyttämällä Harmonic Phase Flow (HPF) -analysointiohjelmaa. Työssä käsitellään tagging-magneettikuvauksen perusteita sekä esitellään matematiikkaa, johon HPF-algoritmi pohjautuu. Algoritmia käytetään yhdeksän terveen verrokin, kahdeksan nivelreumapotilaan ja kahdeksan fibromyalgiapotilaan tagging-analysiin. Analyysiohjelman avulla on kvantifioitu näiden henkilöiden sydämen vasemman kammion apikaalinen ja basaalinen kiertymä sekä näiden tasojen välinen vääntö. Tulokseksi saatiin (asteina) systolen lopussa eri ryhmien apikaaliseksi kiertymäksi, basaaliseksi kiertymäksi ja väännöksi: Terveet verrokit 4 +- 2, -1,8 +- 0,7 ja 6 +- 2; Nivelreumapotilaat 3,9 +- 1,3, -2,2 +- 1,5 ja 6 +- 2; Fibromyalgiapotilaat 5,1 +- 1,5, -1,8 +- 0,9 ja 6,9 +- 1,4. Tulosten perusteella systolen lopussa eri ryhmien välillä ei ole suuria eroja niin vasemman kammion kiertymässä kuin väännössäkään. Systolen alkuvaiheessa nivelreumapotilaiden basaalinen kiertymä on keskimäärin alhaisempi kuin muilla ryhmillä, minkä vuoksi myös vääntö systolen alkuvaiheessa on voimakkaampaa. Tässä työssä käytetty otos on kuitenkin pieni ja kattavien johtopäätösten tekemiseksi on analyysi tehtävä suuremmalle joukolle.
  • Haataja, Hanna (2016)
    Pro gradu -tutkielmassa esitellään Coleman-Weinberg mekanismi kahden esimerkkilaskun kautta. Tutkielmassa lasketaan efektiivinen potentiaali massattomassa skalaariteoriassa ja massattomassa skalaarikvanttielektrodynamiikassa. Esimerkkilaskujen jälkeen esitellään yksinkertainen malli, jossa skaalainvarianssin rikkova skalaarihiukkanen kuuluu niin kutsuttuun piilotettuun sektoriin. Ennen esimerkkilaskuja esitellään kvanttikenttäteorian perusteita. Näiden yhteyessä esitellään vuorovaikuttavien kenttien käsittelyyn liittyvät Feynmanin säännöt ja Feynmanin diagrammit. Lisäksi tutkielmassa esitellään termisen kenttäteorian perusteita ja lasketaan efektiivinen potentiaali kahdessa tapauksessa: massattomassa skalaariteoriassa ja Standardimallissa. Jälkimmäisessä tapauksessa fermionien kontribuutio jätetään huomioimatta. Esityksessä keskitytään erityisesti korjaukseen, joka voidaan laskea ns. rengasdiagrammien avulla. Laskujen motivaationa on vakuumissa spontaanisti rikkoutuneiden symmetrioiden mahdollinen palautumisesta riittävän korkeassa lämpötilassa ja tästä seuraavat faasimuutokset. Sovelluskohteita ovat esimerkiksi neutronitähdet ja varhainen maailmankaikkeus. Tutkielmassa tarkasteltujen menetelmien avulla voidaan analysoida piilotettuja sektoreita sisältäviä Standardimallin laajennuksia.
  • Ylinen, Kaisa (2016)
    Nykyään sääennusteet perustuvat useimmiten numeeristen sääennustusmallien (NWP) tuottamiin laskelmiin. Tavallisesti ennusteet ovat deterministisiä, joten ne eivät kerro mitään ennusteen epävarmuudesta. Epävarmuus on kuitenkin tärkeä tieto ennustettaessa harvinaisia ja vaarallisia sääilmiöitä kuten voimakasta tuulta. Tässä tutkimuksessa Suomen merialueiden deterministisistä tuuliennusteista muokattiin tilastollisen jälkiprosessointitekniikan (MOS) avulla todennäköisyysennusteita. Menetelmänä käytettiin laajennettua logistista regressiota (ELR), joka tuottaa jatkuvan todennäköisyysjakauman kuvaamaan valitun tuulen nopeuden kynnysarvon ylittymistä. ELR-malli luotiin käyttäen ennusteparametreina ECMWF:n tuulidataa 12 meriasemalta vuosilta 2011–2013. Kahta vuotta ennuste- ja havaintodatasta käytettiin mallin harjoituttamisessa ja yhtä vuotta luodun mallin verifioinnissa. Saatujen tulosten mukaan ELR-mallin tuottamien todennäköisyysennusteiden tarkkuus on kaikilla tarkastelluilla tuulen nopeuden kynnysarvoilla (2-20 m/s) huomattavasti klimatologisen ennusteen tarkkuutta parempi. Ennusteiden luotettavuus on hyvä lähes kaikilla tutkituilla ennustepituuksilla (12, 24, 36 ja 48 tuntia), kun tuulen nopeuden kynnysarvona on 12, 14 tai 16 m/s. Ainoastaan ennustepituudella 48 tuntia ja kynnysarvolla 16 m/s, ennusteiden luotettavuus alkaa olla heikompi. Tutkimustulosten mukaan ELR-mallilla on myös taipumusta hieman aliennustaa tapahtumaa, kun tuulen nopeuden kynnysarvo kasvaa. Lopuksi ELR-mallilla tuotetut todennäköisyysennusteet muokattiin takaisin deterministiseen muotoon ja niitä verrattiin alkuperäisen mallin (ECMWF) ennusteisiin. Tulokset osoittavat ennusteiden RMS-virheen paranevan keskimäärin 5,0 %:a kaikilla ennustepituuksilla. Kun ennusteiden RMS-virheitä tutkitaan eri tuulen nopeuden luokissa, havaitaan ennusteiden paranevan eniten kovimmilla tuulen nopeuksilla (16-20 m/s). Ennusteiden RMSE paranee tällöin 18,4-38,5 %:a alkuperäiseen malliin verrattuna ja eniten parannusta tapahtuu ennustepituuden ollessa lyhyt. Tämä tutkimus osoittaa, että ELR-menetelmällä tuotetut todennäköisyysennusteet tuulen nopeudelle ovat kokonaisuudessaan hyviä. Jotta ennusteita voitaisiin vielä parantaa, ELR-mallia olisi hyvä harjoituttaa pidemmällä jaksolla, jotta erityisesti kovia tuulen nopeuksia sisältyisi aineistoon enemmän. Jatkossa ELR-mallia voisi laajentaa kaikkiin Suomen merialueiden hilapisteisiin, jolloin sitä voitaisiin hyödyntää operatiivisessa säänennustus- ja varoitustoiminnassa.
  • Alho, Markku (2016)
    The localized, crustal magnetic fields on the Moon show complex interactions with the impinging solar wind. Understanding these interactions aid in characterizing the lunar plasma and dust environment, in developing advanced remote imaging techniques for airless bodies such as the Moon and Mercury, and in comprehending the basic plasma processes of plasma environments and phenomena on the Hall physics scale. In this work a lunar magnetic anomaly is modeled in the mesoscale of hundreds of kilometers with 100~nT surface field anomaly. A numerical hybrid plasma model is employed, in which ions are treated as fully kinetic macroparticles, with electrons providing a massless, charge-neutralizing fluid. The effects of electron currents in these environments are discussed, and results of the effect of the interplanetary magnetic field conditions on the minimagnetosphere are presented in three cases: Open, closed, nominal. Results for three different impinging solar wind velocities in the nominal case are presented. The results are compared with satellite observations and are found to reproduce observations of proton deceleration and reflection by anti-moonward electric field. The model is shown to reproduce observed ENA emission from the lunar surface, with predictions on solar wind-depentant features. Model development by the author is presented with regards to the convergence and stability of the numerical scheme, especially in terms of dealing with a fast whistler mode. Considerations on the validity of the results are presented, with the conclusion of reasonable confidence in the results, with suggested improvements to the model brought forwards.
  • Ikonen, Joni (2016)
    Quantum computers store and manipulate information in individual quantized energy levels. These devices, not yet realized in their full potential, have the ability to perform certain computational tasks more efficiently than any classical computer. One possible way to implement a quantum computer is to use superconducting circuits controlled by single-mode electromagnetic fields. These circuits constitute the physical quantum bits, or qubits, that are used to store quantum information. A complete, fault-tolerant quantum computer potentially consists of at least millions of physical qubits which are grouped to form fault-tolerant logical qubits. Controlling each physical qubit individually requires a great amount of energy, and hence a future challenge is to reduce the energy consumption in qubit control while maintaining the high precision. In this thesis, we derive a fundamental upper bound for the gate fidelity of a single-qubit not gate implemented with a single resonant driving pulse. It is shown that the upper bound approaches unity inversely proportionally to the increasing mean photon number of the pulse. Furthermore, we find that the upper bound is achieved with an optimal superposition of squeezed states. The typically employed coherent state produces twice as high gate error as the corresponding optimal state. In addition, we present and numerically study a correction protocol that allows using the same drive state for multiple qubit operations. This sustained state is refreshed by sequentially coupling ancillary qubits to it, effectively resetting it and removing entanglement with the previously operated qubits. Thus our protocol allows using the same drive state to implement not gates for different qubits indefinitely, and hence provides a possible route to energy-efficient large-scale quantum computing.
  • Koivula, Lauri (2016)
    This work studied the conversion of the magnetic resonance images to synthetic heterogeneous computed tomography (CT) images, so-called pseudo-CT images. The study focused on updating and modifying a previously introduced conversion technique. Ultimate objective of this study was to verify the technique after a hardware and software update of the MR scanner. This included adjustments of the image conversion algorithms and integration of these into a medical image processing software. Additionally, this work aimed to use automatic bone segmentation atlas with the technique. The updated technique was verified for prostate cancer patients. This work aimed also to evaluate possibilities to adopt the technique for other patient groups and with different MR scanner. The evaluation included measurement for geometric accuracy in MR images. Average local difference in Hounsfield units (HU) between pseudo-CT and actual CT images for soft- and bony tissues were -1±13 HU and -10±139 HU, respectively. Measurement points in soft tissue had coverage of 89 % with smaller absolute error than 20 HUs. In bony tissue average of 88 % of the measurement points were within 200 HU error margin. The dose difference between pseudo-CT and actual CT images was -0.4 % ± 0.2%. Dose difference in PTV for automated bone contouring against user corrected bone volumes was 0.1 % ± 0.1 %. The calculated dose in heterogeneous pseudo-CT was shown statistically significantly (p = 0.0014) more accurate compared to that in simplified pseudo-CT. The geometric error was within 1.1 mm for distances shorter than 20 cm from isocenter with two scanners. Preliminary pseudo-CT images were created with modified conversion algorithms for thigh and abdomen. Magnetic resonance imaging- based radiation therapy treatment planning provides reliable method for radiotherapy treatment in pelvic areas reaching the requirements in patient care. This study showed that the MR image conversion technique can be adjusted in case of updates in MR platform. The examinations suggested also that it seems doable to adopt the MR image conversion technique to different body parts and with different MR scanners.
  • Leppänen, Anni-Maaria (2016)
    Metsän merkitys vapaa-ajan ympäristönä Suomessa on korostunut. Työnteon sijaan useimmin metsissä ulkoillaan ja nautitaan luonnosta. Helsinkiläisillä on mahdollisuus virkistäytyä kaupunkimetsissä: kaupungin maapinta-alasta 22 % on metsiä ja niiden saavutettavuus on hyvä. Helsingin yleiskaavan mukaisten maankäyttösuunnitelmien ja ennustetun asukasmäärän kasvun toteutuessa kaupunkimetsien määrä kuitenkin vähenee ja jäljelle jäävien metsien kuluminen lisääntyy, mikä voidaan nähdä ongelmana. Itä-Helsingissä sijaitseva, asukkaiden suosima Meri-Rastilan metsä on esimerkkitapaus, jossa kaupungin rakennushankkeita ohjataan vielä jäljellä oleville kaupungin sisäisille metsäalueille, asukkaiden tärkeäksi kokemiin lähimetsiin. Tutkimuksen tavoitteena on laadullisia tutkimusmenetelmiä käyttäen selvittää, mitä Meri-Rastilan metsä merkitsee metsää arjessaan käyttäville asukkaille koettuna tilana ja paikkana. Tutkimuksen teoreettisena kehyksenä on humanistisen maantieteen näkemys, jossa paikka ymmärretään elettynä ja koettuna, ihmisen paikalle antamien merkitysten muodostamana kokonaisuutena. Metsän merkityksiä tutkitaan asukkaiden kokemuksiin, muistoihin ja elämyksiin perehtymällä. Tutkimuksen toisena tavoitteena on selvittää, millaisia asukkaiden metsäiset mielipaikat, ulkoilureitit ja muut merkitykselliset metsäkohteet ovat sekä liittää metsän koetut merkitykset näihin eksakteihin paikkoihin maantieteelliselle kartalle. Tutkimus toteutettiin tekemällä yhdeksän kävelyhaastattelua Meri-Rastilan metsässä helmi-maaliskuussa 2015. Haastattelujen yhteydessä valokuvattiin ja paikannettiin GPS-laitteella haastateltavien yleisimmin kulkemat ulkoilureitit sekä metsässä sijaitsevat mielipaikat ja merkitykselliset kohteet. Lisäksi kuusi haastateltavaa kirjoitti vapaaehtoisen tarinan suhteestaan Meri-Rastilan metsään. Haastatteluaineistolle ja tarinoille tehtiin sisällönanalyysit. Tutkimustuloksista koottiin kokemustietokanta, joka liitettiin mielipaikkoihin, ulkoilureitteihin ja merkityksellisiin kohteisiin ja visualisoitiin kartalle paikkatieto-ohjelmalla. Tutkimuksen ensimmäisen tavoitteen osalta saatiin neljä keskeistä tulosta. Koettuna tilana ja paikkana Meri-Rastilan metsä on haastateltaville ensinnäkin tärkeä fyysisen ja henkisen hyvinvoinnin lähde arjen ja kaupunkielämän keskellä. Metsästä on muodostunut arjen virkistyksen paikka ja metsässä ulkoilusta osa haastateltavien arkea. Toiseksi metsä koetaan tutuksi ja kotoisaksi lähimetsäksi, johon kytkeytyy paljon tärkeitä muistoja. Kolmanneksi Meri-Rastilan metsä koetaan elämyksellisenä lähimetsänä, jossa on mahdollista saada luontoelämyksiä ja kokea olevansa esimerkiksi kaukana Lapin erämetsissä. Neljäntenä tuloksena tärkeäksi koetun lähimetsän ja metsään kytkeytyvän arkisen virkistyskäytön tulevaisuus koetaan epävarmaksi ja huolestuttavaksi. Toisen tavoitteen osalta saatiin kaksi keskeistä tulosta. Ensinnäkin, suurin osa metsäisistä mielipaikoista on joko merenrannalla tai metsän sisäosissa sijaitsevia kalliopaikkoja, joissa eniten arvostetaan paikan rauhallista ja hiljaista tunnelmaa. Toiseksi, metsän kiertävä hiekkatie on suosittu ulkoilureitti, mutta myös metsäpolut ovat haastateltaville tärkeitä kulkureittejä. Meri-Rastilan metsä on asukkaille arjessa koettu merkityksellinen lähimetsä. Kävelyhaastatteluilla ja paikkatietomenetelmillä pystyttiin tuomaan esille ja paikantamaan asukkaiden metsästä kertynyttä kokemustietoa. Paikkaan sidottu kokemustieto on arvokas tietolähde, jota hyödyntämällä voidaan tulevaisuudessa parantaa suunnittelua ja päätöksentekoa.
  • Aapro, Vili (2016)
    Rakennetaan erityisesti euklidisen avaruuden matematiikkaa matriiseja välttäen ja tähdäten Rogersin--Milnorin analyyttiseen todistukseen Brouwerin kiintopistelauseelle. Kehitetään analyysin ja multilineaarisen algebran perusteita, joista mainittakoon tulon derivaatta sekä determinantti, joista Leibniz tunnetaan---tästä otsikko. Tieteellisistä kontribuutioista maininnan ansaitsevat tensorien määritelmä indeksoituina perheinä sekä ulkotulon yleistys tällaisille tensoreille. Luvuissa 1 ja 3 kehitetään analyysiä käyttäen tangenssirelaation käsitettä. Luvussa 2 määritellään tensorit indeksoituina perheinä, mikä tekee niistä kantariippumattomia. Ulkotulon määritelmä nojaa originaaleihin kombinatorisiin tuloksiin. Luvussa 4 määritellään determinantti ulkotulon avulla käyttäen transvektioita ja dilataatioita, jotka korvaavat matriisien rivi- ja sarakeoperaatiot. Luontevia jatkokehityksen ja harjoitustehtävien aiheita voisivat olla heterogeeniset tensorit, ulkoderivaatta sekä differentiaaligeometrian ja -topologian alkeet.
  • Hintsala, Ida (2016)
    Geometria lukiomatematiikan osa-alueena on matematiikan opettajalle tärkeä tilaisuus tarjota opiskelijoille mahdollisuus oppia niin täsmällistä todistamista, todistamisajattelua kuin ongelmanratkaisua. Tässä tutkielmassa käydään ensin läpi matematiikan opettamiseen ja oppimiseen vaikuttavia tekijöitä. Sen jälkeen perehdytään geometriaan yliopistomatematiikan, ylioppilaskirjoitusten ja lukion opetussuunnitelman perusteiden näkökulmasta. Lopuksi käsitellään matemaattista ongelmanratkaisua ja sen peruskäsitteitä sekä tutkitaan ongelmanratkaisun ohjaamista geometrisiä ongelmatehtäviä hyödyntäen. Tutkielman teoriaosuudessa lähdetään liikkeelle matematiikan luonteen ja hyvän matematiikan pohtimisesta ja päästään muodostamaan kokonaiskuvaa lukiogeometriasta. Tutkielmasta löytyy vastauksia useisiin kysymyksiin, kuten ”Mitä yliopiston geometrian kurssilta voi viedä suoraan pitkän matematiikan lukio-opetukseen?”, ”Miten geometria näkyy pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa?” ja ”Minkälaista voi olla hyvä oppiminen ja opetus erityisesti matematiikan osalta?” Tutkimusosuudessa selvitetään, miten lukio-opiskelijan matemaattinen ongelmanratkaisuprosessi käytännössä etenee opettajan kyselymenetelmää käyttäen: kuinka paljon aikaa eri vaiheisiin kuluu ja minkälaista ohjaus on eri vaiheissa koko prosessin aikana. Lisäksi selvitetään, miten opiskelija kokee menetelmän käytön ja ongelmatehtävien ratkaisemisen. Tutkimusosuudessa luokitellaan ohjaajan ongelmanratkaisuprosessien aikana esittämät kysymykset aktivoiviin, pinnallisiin, passivoiviin ja neutraaleihin ja analysoidaan ohjausta luokittelun perusteella. Tutkimustulosten perusteella tutkimuksessa käytetty opettajan kyselymenetelmä toimii hyvin ongelmanratkaisun ohjaamisessa. Lisäksi tutkimuksen kokeellisen osuuden tulokset vahvistaa osaltaan kirjallisuudesta löytyvää näkemystä ongelmanratkaisutaitojen vahvistamisen hyödyllisyydestä, kun se tehdään tavoitteellisesti, harkitusti ja huolellisesti. Tutkimustulokset antavat ymmärtää, että ongelmanratkaisutehtävien käyttäminen opetuksessa ja lukio-opiskelijoiden
  • Järvinen, Tytti (2016)
    Tämän pro gradu -tutkielman aiheena on joukkojen ositus. Tutkielmassa käydään läpi kolmet erilaiset luvut, joiden avulla joukkojen osituksia voidaan laskea. Nämä luvut ovat Stirlingin toiset luvut, Bellin luvut sekä Catalanin luvut. Tutkielma on rakennettu siten, että jokainen näistä luvuista esitellään omassa luvussaan. Jokaisessa luvussa esitellään ensimmäisenä hiukan henkilöhistoriaa kyseisten lukujen keksijästä. Tämän jälkeen käydään läpi lukujen määritelmä ja joitakin havainnollistavia esimerkkejä. Seuraavaksi määritellään joitakin rekursiokaavoja kyseisille luvuilla ja muodostetaan generoiva funktio. Lisäksi Bellin ja Catalanin luvuille muodostetaan myös Bellin kolmio ja Catalanin kolmio. Catalanin luvuista esitellään vielä lopuksi joitakin mielenkiintoisia sovelluksia. Tutkielman ymmärtäminen edellyttää perustietoja kombinatoriikasta. Joitakin kombinatoriikan perusteita kerrataan luvussa kaksi. Luvussa kolme käsitellään Stirlingin toisia lukuja. Stirlingin toisia lukuja merkitään S(n,k), missä n ilmaisee joukon alkioiden lukumäärää ja k kertoo kuinka moniosaisia osituksia halutaan. Stirlingin toiset luvut kertovat, kuinka monella eri tavalla n-alkioinen joukko voidaan osittaa k epätyhjäksi osajoukoksi. Luvussa neljä käsitellään Bellin lukuja. Bellin luvut on mahdollista ilmaista Stirlingin toisten lukujen summana ja ne kertovat, kuinka monella eri tavalla n-alkioinen joukko voidaan osittaa, kun lasketaan mukaan kaikkien mahdollisten erikokoisten ositusten lukumäärä. Bellin lukuja merkitään Bn, jossa n ilmaisee jälleen joukon alkioiden lukumäärää. Luvussa viisi käsittellään Catalanin lukuja. Catalanin lukuja merkitään Cn ja ne ilmaisevat matemattiisissa ongelmissa ratkaisujen lukumäärää. Tässä tutkielmassa pääpaino Catalanin luvuissa onkin niiden sovelluksissa.