Spectra of linear fractional composition operators and properties of universal operators

Abstract

The topics of this thesis in mathematics belong to the area of operator theory which, in general, studies linear transformations between complete normed vector spaces. Here, all operators considered are bounded and act on complex separable infinite-dimensional Hilbert space. A prototypical example of Hilbert spaces is formed by the square summable sequences of complex numbers. Other common Hilbert spaces consist of functions which are analytic on some open domain of the complex plane. The characteristic property of analytic functions is that they are locally given by a convergent power series and so the behaviour of such functions is rather rigid.

Thesis consists of the introductory part and three research articles, the first and the third being co-authored with, respectively, E. A. Gallardo-Gutiérrez and H.-O. Tylli. Our focus in the first two articles is in the spectral properties of composition operators which are induced by linear fractional transformations (also known as Möbius maps). As the name suggests, a composition operator composes a function with a fixed mapping called the inducing map. In studying these operators we can take advantage of function theoretic tools, and it is not surprising that the properties of composition operator depend intricately on the inducing map. The spectrum of an operator acting on an infinite-dimensional space generalizes the concept of eigenvalues of a finite matrix. In general, determining the spectrum of a given operator is not an easy task.

In the first article we compute the spectra of composition operators induced by certain linear fractional self-maps of the unit disc. Here the operators act on the whole range of weighted Dirichlet spaces which are Hilbert spaces of analytic functions on the unit disc. Earlier results in this context cover e.g. the classical Hardy space, the weighted Bergman spaces and the classical Dirichlet space. Our results complete the spectral picture of linear fractional composition operators on the weighted Dirichlet spaces. In particular, we found a way to compute the spectra of parabolic and invertible hyperbolic composition operators on the spaces that are contained in the classical Dirichlet space.

The second article continues the study of the spectral properties of linear fractional composition operators in the corresponding setting on the upper half-plane. The analogous spaces of the half-plane differ significantly from their counterparts in the unit disc; for instance, not all linear fractional self-maps of the half-plane induce bounded composition operators. We were able to compute the spectra of all bounded linear fractional composition operators acting on the Hardy, and the weighted Bergman spaces of the upper half-plane. Moreover, we show that the essential spectra coincide with the spectra on all cases. One of the main tools is the Paley-Wiener theorem along with its generalizations which allow us to transfer the computations to certain Hilbert spaces defined on the positive real line.

An operator is called universal if it has such a rich lattice of invariant subspaces that it models any given operator (up to a constant multiple) when restricted to some of its invariant subspaces. The definition of universal operators can be generalized to commuting n-tuples of operators. In the third article we consider general properties of universal operators on separable infinite-dimensional Hilbert spaces. The task of finding and analysing concrete universal operators have gained a lot of attention since they could help in answering the question whether every operator on a separable infinite-dimensional Hilbert space has a non-trivial invariant subspace. We study the properties of the whole class of universal operators and as one of our main results we prove that universal operators have a big essential spectrum containing the origin. In addition, we give new examples of universal operators and universal commuting pairs.

Väitöskirja kuuluu matemaattisen (funktionaali)analyysin ja tarkemmin operaattoriteorian piiriin. Operaattoriteoria tutkii lineaarisia kuvauksia normitetuilta vektoriavaruuksilta toisille. Tyypillisiä vektoriavaruuksia ovat mm. tietyt lukujonojen tai funktioiden muodostamat joukot. Operaattori on lineaarinen muunnos, joka kuvaa vektorin toiseksi vektoriksi. Vektoriavaruuden normi puolestaan mittaa vektoreiden etäisyyksiä toisistaan ja vektorin koko määritellään sen etäisyytenä nollavektorista. Peruskysymyksiä operaattoriteoriassa on selvittää onko annettu operaattori annetussa avaruudessa rajoitettu ja mikä on sen spektri. Ääretönulotteisissa avaruuksissa spektri on äärellisen matriisin ominaisarvojen yleistys, joskin yleisesti ottaen matriisin ominaisarvoja paljon hankalampi selvittää. Rajoitettujen operaattoreiden spektri on aina suljettu ja rajoitettu kompleksitason osajoukko ja itse operaattorin lisäksi se riippuu myös avaruudesta, jossa operaattori toimii.

Väitöskirja sisältää kolme tutkimusartikkelia sekä johdanto-osion. Väitöskirjan kahdessa ensimmäisessä artikkelissa tarkastellaan Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä kompleksisissa Hilbertin funktio-avaruuksissa. Hilbertin avaruus on tietyssä mielessä lähellä Euklidista kotiavaruuttamme, sillä se on sisätuloavaruus: sisätulo määrittää avaruuden normin ja mahdollistaa vektoreiden välisten kulmien ja kohtisuoruuden määrittämisen. Tarkastelussa olevat funktioavaruudet koostuvat funktioista, jotka ovat analyyttisiä kompleksitason yksikkökiekossa tai puolitasossa. Analyyttisyys takaa funktiolle monia hyviä ominaisuuksia ja määrittää sen käyttäytymistä. Kompositio-operaattori muuntaa annetun funktion kahden funktion yhdistetyksi funktioksi: yhdisteessä on annetun funktion lisäksi operaattorin indusoiva, kiinnitetty funktio. Kompositio-operaattorit ovat tärkeä, konkreettinen operaattoriluokka, joilla on paljon sovelluskohteita mm. dynaamisissa systeemeissä.

Ensimmäinen artikkeleista on laadittu yhteistyössä E. A. Gallardo-Gutiérrezin kanssa ja siinä selvitetään Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä tietyn tyyppisissä yksikkökiekossa määriteltyjen analyyttisten funktioiden muodostamissa avaruuksissa. Kaikki Möbius-kuvaukset, jotka kuvaavat yksikkökiekon itselleen, indusoivat rajoitetun kompositio-operaattorin tarkastelussa olevissa avaruuksissa. Tuloksemme täydentävät jo tunnettujen tulosten kanssa kokonaiskuvan kyseisten operaattoreiden spektreistä koko skaalalla painotettuja Dirichlet n avaruuksia. Osa uusista tuloksista on aiempiin tuloksiin verrattuna yllättäviä ja osa odotettavissa olevia; joka tapauksessa tietty säännönmukaisuus näiden avaruuksien suhteen ja spektrin riippuvuus indusoivan kuvauksen derivaatasta kiintopisteessä tulevat vahvasti esille. Toisessa artikkelissa lasketaan niin ikään Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä, mutta tällä kertaa vastaavissa puolitason avaruuksissa. Puolitason avaruudet ovat hyvin erilaisia verrattuna yksikkökiekossa määriteltyihin ja kaikki Möbius-kuvaukset, jotka kuvaavat puolitason itselleen, eivät indusoi rajoitettua kompositio-operaattoria näissä avaruuksissa. Myös toisen artikkelin spektrituloksista nähdään, että samaa tyyppiä olevan Möbius-kuvauksen indusoimat kompositio-operaattorit käyttäytyvät eri tavalla puolitason tilanteessa verrattuna yksikkökiekkoon.

Kolmannessa artikkelissa, joka on laadittu yhteistyössä H.-O. Tyllin kanssa, tarkastelemme niin kutsuttujen universaalien operaattoreiden luokkaa yleisessä Hilbertin avaruudessa. Universaaleiden operaattoreiden tunnusomainen piirre on, että niillä on paljon invariantteja aliavaruuksia, eli aliavaruuksia jotka operaattori kuvaa itselleen. Tietyssä mielessä universaalit operaattorit mallintavat mitä tahansa annettua operaattoria. Artikkelissa osoitetaan välttämätön, spektriä koskeva ehto universaalille operaattorille ja lisäksi annetaan uusia konkreettisia esimerkkejä universaaleista operaattoreista sekä universaaleista pareista.