Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta

 

Uusimmat julkaisut

  • Metso, Markus (Helsingin yliopisto, 2018)
    Lokaalin riskin minimoiva sijoitusstrategia on diskreettiaikainen, arvopapereiden hankkimisesta aiheutuvien kustannusten keskineliöpoikkeaman minimointiin perustuva strategia, jonka avulla finanssimarkkinoilla toimiva pystyy suojautumaan kohtuuttoman suuria tappioita vastaan. Luonnollisesti tällaisella suojautumisella on jonkin hinta, ja mikäli tämä hinta on liian suuri tai liian pieni, päädytään helposti arbitraasitilanteisiin. Tässä tutkielmassa esitetään vaatimukset, jotka finanssimarkkinoiden tulee täyttää ja jotka toimijan tulee arvopapereiden kanssa operoidessaan ottaa huomioon, jotta tällaisia tilanteita ei pääsisi muodostumaan. Lokaalin riskin minimoivan sijoitusstrategian arbitraasivapauden keskeinen vaatimus on minimaalisen martingaalimitan, erään riskineutraalien todennäköisyysmittojen erikoistapauksen, olemassaolo. Minimaalisen martingaalimitan olemassaolo finanssimarkkinoilla ei kuitenkaan ole itsestäänselvyys ja tässä tutkielmassa johdetaan edellytykset sen löytymiselle finanssimarkkinoilta, jotka koostuvat yhdesta riskittömästä ja yhdestä riskillisestä arvopaperista, sekä pohditaan, mitä seikkoja toimijan tulee tarkastella arbitraasin välttämiseksi tilanteessa, jossa minimaalisen martingaalimitan olemassaolon kriteerit eivät täyty. Lopuksi tarkastellaan lokaalin riskin minimoivien sijoitusstrategioiden yhteyksiä sijoitussidonnaisten henkivakuutusten suojaamiseen, sekä esitetään vaihtoehtoinen keino suojata toistettavan arvopaperin arvoon sidotun elämänvaravakuutuksen korvaus tilanteessa, jossa finanssimarkkinoilla ei ole olemassa minimaalista martingaalimittaa.
  • Tapanainen, Niko (Helsingin yliopisto, 2018)
    The past decade has brought about two key changes to the pricing of interest rate products in the European fixed income markets. In 2007, the Euribor-EONIA spread widened, which called into question the use of Euribor rates as a proxy for the risk-free rate. Nine years later, all of the main Euribor rates had fallen below zero. These changes forced market practitioners to reassess their assumptions, which resulted in the development of new models. The Heath-Jarrow-Morton (HJM) and Brace-Gatarek-Musiela (BGM) frameworks, which had gained popularity before the crisis, have served as a foundation for these models. In this thesis, we present two applications of Malliavin calculus to the pricing of interest rate derivatives within a multicurve BGM framework. Although the framework simplifies the pricing of interest rate derivatives, as it takes market rates as primitives, the pricing of exotic interest rate derivatives can pose a number of problems. The complexity of these products can lead to situations that require the use of computational techniques such as Monte Carlo simulation. This, in turn, provides an opening for the application of Malliavin calculus. We end this thesis by presenting a Malliavin-based formula for the price and the delta-sensitivity of a snowball, and discuss the merits of these representations in the context of Monte Carlo simulation. With reference to advances within the field during the last 5 years, we discuss the possible developments within the field that might garner further interest towards Malliavin calculus in the near future.
  • Tolonen, Topias (Helsingin yliopisto, 2018)
    Tutkielma kertoo takaperäisistä stokastisista differentiaaliyhtälöistä, joiden tutkimus käynnistyi laajamittaisesti vasta 1990-luvulla matemaatikkojen Etienne Pardoux ja Peng Shige toimesta. Mielenkiinto näitä yhtälöitä kohtaan on kasvanut nopeasti sen jälkeen, kun myös takaperäisillä stokastisilla differentiaaliyhtälöillä nähtiin rahoitusteoreettisia sovelluskohteita esimerkiksi optioiden suojausstrategioissa. Tutkielman painopiste on teoreettinen, ja tutkielman suuressa osassa on lukijan johdattelu niin kutsutun Itô-analyysin maailmaan. Todistamme lähteisiin nojautuen useita tuloksia, joista keskeisimpänä on yleisen Itôn integraalin olemassaolo, takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause sekä näiden yhtälöiden yhteys eurooppalaisen osto-option hinnoitteluun. Aloitamme tutkielman Anders Haldin kirjoihin perustuen kertaamalla todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen historiaa, ja nykypäivää lähentyessä motivoimme lukijan ensiksi Itô-analyysin ja sitten stokastisten differentiaaliyhtälöiden maailmaan. Toisessa luvussa määrittelemme yleisen todennäköisyysavaruuden ja alamme rakentamaan todennäköisyyslaskennallista maailmaa tämän pohjalta. Luvun aikana luomme pala palalta tarpeen erilaisille todennäköisyyslaskennan käsitteille, määrittelemme Lebesguen integraalin ja odotusarvon ja tarkastelemme satunnaismuuttujajonojen raja-arvoja. Siirrymme nopeasti stokastisten prosessien käsittelyssä tarvittaviin työkaluihin, kuten martingaaleihin ja filtraatioihin. Lopuksi siirrymme käsittelemään Brownin liikettä, jonka määrittelemme kolmella eri tavalla. Kolmannessa luvussa esittelemme Itôn integraalin ja perustelemme sen tarpeen ja esittelemme neliöheilahtelun käsitteen yhdessä Itôn lemman kanssa. Näiden jälkeen siirrymme luontevasti kohti moniulotteista Itô-integraalia, kunnes lopulta perustelemme integraalin määritelmän yleisille integrandeille. Luvun lopussa alamme käsittelemään stokastisia differentiaaliyhtälöitä diffuusioprosessien lähtökohdista. Yhtälön esittelyn jälkeen pääsemme stokastisten differentiaaliyhtälöiden tärkeiden tuloksien – olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden – piiriin. Ratkaisun olemassaolon todistamisen jälkeen käymme läpi ominaisuuksia näille yhtälöille, ennen kuin siirrymme kohti takaperäisiä yhtälöitä. Takaperäiset stokastiset differentiaaliyhtälöt (lyhennetään TSDY) astuvat kuvaan luvussa neljä. Tarkastelemme luvussa tavanomaista takaperäistä stokastista differentiaaliyhtälöä. Tarkastelemme ongelman mielekkyyttä ja perustelemme yhtälöiden tarvetta. Nopeasti siirrymme tarkastelemaan, miten generaattorin muoto vaikuttaa yhtälöön ja sen ratkaisuihin. Tämän jälkeen esittelemme Pardoux'n ja Pengin kuuluisan tuloksen näiden yhtälöiden ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen jälkeen esittelemme takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden vertailulauseen, ja lopulla tarkastelemme yhtälöiden ratkaisuja löyhemmillä oletuksilla. Viimeisessä luvussa siirrymme tarkastelemaan erästä takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden tärkeintä sovelluskohdetta: rahoitusteoriaa. Esittelemme klassisen rahoitusteorian Black ja Scholes -markkinamallin ja avaamme tämän maailman stokastisten differentiaaliyhtälöiden silmin. Todistamme tuloksen, missä yhdistetään eurooppalaisen option arvo takaperäisen stokastisen differentiaaliyhtälön ratkaisuihin ja mallinnamme hintatiheysprosessin. Lopuksi osoitamme, että tällaisen eurooppalaisen option arvo tulee takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden avulla täsmällisesti samaan hintaan kuin Black ja Scholes -artikkelissa osoitettiin.
  • Puranen, Ilari (Helsingin yliopisto, 2018)
    We introduce a new model for contingent convertibles. The write-down, or equity conversion, and default of the contingent convertible are modeled as states of conditional Markov process. Valuation formulae for di erent nancial contracts, like CDS and di erent types of contingent convertibles, are derived. The Model can be thought of as an extension to reduced form models with an additional state. For practical applications, this model could be used for new type of contingent convertible derivatives in a similar fashion than reduced form models are used for credit derivatives.
  • Torttila, Maija (Helsingin yliopisto, 2018)
    Työssä tutkitaan aloittavien matematiikan yliopisto-opiskelijoiden derivaatan ymmärrystä ja virhekäsityksiä. Aloittavilla matematiikan yliopisto-opiskelijoilla tarkoitetaan opiskelijoita, jotka ovat syksyllä 2017 aloittaneet opiskelun Helsingin yliopistossa matemaattisten tieteiden kandiohjelman opiskelijoina tai matematiikan, fysiikan ja kemian opettajan kandiohjelman opiskelijoina. Työssä esitetään derivaatan määritelmä ja siihen liittyviä muita määritelmiä ja lauseita. Työssä esitellään myös matemaattiseen tietoon ja ymmärrykseen liittyviä didaktisia käsitteitä kuten konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto, proseduuri, prosessi ja prosepti sekä representaatio. Lisäksi työssä perehdytään David Tallin (2004) matematiikan kolmeen maailmaan ja pohditaan sitä derivaatan näkökulmasta. Derivaatan ymmärryksestä ja virhekäsityksistä aikaisemmin tehdyt tutkimukset ovat työn teoriapohja. Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että derivaatta on opiskelijoille vaikea käsite, eikä sitä ymmärretä syvällisesti (Bezuidenhout, 1998). Opiskelijoilla on haasteita derivaatan graafisen representaation tulkinnassa ja sen ymmärtämisessä (Maharaj, 2013). Lisäksi lukiossa jäädään derivaatan ymmärryksessä proseptuaalis-symboliseen maailmaan, kun taas yliopistossa tavoitteena on päästä aksioomaattis-formaaliin maailmaan (Hähkiöniemi, 2006). Taustateoriana esitellään myös lukion ja yliopiston oppimistavoitteita derivaattaan liittyen sekä perehdytään kahteen lukion Derivaatta-kurssin oppikirjaan. Tutkimuksen aineisto kerättiin kyselylomakkeen avulla syyskuussa 2017. Kyselylomakkeessa oli derivaattaan liittyviä tehtäviä, joissa testattiin opiskelijoiden derivaatan konseptuaalista ja proseduraalista tietoa sekä graafisen ja sanallisen representaation ymmärrystä. Kyselyyn vastasi 41 aloittavaa matematiikan yliopisto-opiskelijaa, joista suurin osa oli kirjoittanut ylioppilaaksi vuoden 2017 keväällä. Vastanneet opiskelijat eivät olleet suorittaneet yliopiston analyysin kursseja ennen kyselyyn vastaamista. Tutkimuksessa päädytään seuraaviin tuloksiin. Derivaatta on vaikea käsite aloittaville matematiikan yliopisto-opiskelijoille. Konseptuaalisessa tiedossa on puutteita ja proseduraalista tietoa käytetään sitä enemmän. Derivaatan sanallinen ymmärrys on hyvää ja derivaatta hahmotetaan yleisimmin tangentin kulmakertoimena. Sen sijaan derivoituvuuden ja jatkuvuuden välisen suhteen ymmärtäminen yksittäisillä opiskelijoilla on melko heikkoa. Opiskelijoiden yleisin virhekäsitys jatkuvuuteen liittyen on, että funktion jatkuvuus ei vaikuta funktion derivoituvuuteen. Myös derivaatan määritelmän ymmärtäminen on erittäin haastavaa opiskelijoille, eli heidän konseptuaalinen tietonsa derivaatasta on heikkoa. Lisäksi derivaatan graafisen representaation ymmärrys on melko heikkoa.
  • Havukainen, Joonas (Helsingin yliopisto, 2018)
    Tutkielma perehdyttää lukijan Steinin menetelmään normaaliapproksimaatiolle sekä esittää tämän avulla todistuksen Berry-Esseen-lauseelle. Steinin menetelmä on todennäköisyysteorian piiriin kuuluva nykyaikainen ja tehokas tapa tuottaa ylärajoja kahden eri todennäköisyysjakauman väliselle etäisyydelle. Tutkielmassa esitetään todennäköisyysjakaumien etäisyydelle kolme eniten käytettyä mittaa, jotka ovat Total variation, Kolmogorov sekä Wasserstein-mitat. Tämän jälkeen käydään läpi Steinin menetelmä aloittaen Steinin lemmasta, joka karakterisoi normaalijakauman Steinin operaattorin avulla siten, että operaattorin arvon ollessa nolla, on tarkasteltava jakauma normaali. Seuraavaksi esitetään Steinin yhtälöt, joiden ratkaisujen avulla saadaan Steinin rajoitukset jokaiselle käytetylle kolmelle mitalle. Näiden rajoitusten avulla voidaan päätellä asymptoottinen normaalijakautuneisuus myös silloin, kun Steinin operaattorin arvo on lähellä nollaa. Berry-Esseen-lause on keskeinen raja-arvolause, johon on erityisesti lisätty suppenemisnopeus Kolmogorov-etäisyyden suhteen. Tämä suppenemisnopeus todistetaan tutkielmassa käyttäen hyväksi Steinin menetelmää. Lopuksi käsitellään vielä ylimalkaisesti Steinin menetelmää moniulotteisen jakauman tapauksessa. Huomataan sen olevan hyvin paljon samankaltaista kuin yksiulotteisessa tapauksessa.
  • Rimpeläinen, Juho (Helsingin yliopisto, 2018)
    Röntgentomografia on kuvantamismenetelmä, jolla pyritään selvittämään objektin sisärakenne eri suunnista otettujen röntgenkuvien perusteella. Kun käytettävissä on kuvia vain hyvin pienestä määrästä suuntia, tomografiaongelma on äärimmäisen huonosti asetettu ja sen ratkaisu vaatii regularisointia. Regularisointi koostuu sopivan regularisoijan ja regularisointiparametrin arvon valinnasta. Tämä tutkielma käsittelee tapausta, jossa halutaan regularisoida rekonstruktion harvuutta Haarin aallokekannan suhteen. Se johtaa minimisaatio-ongelmaan, joka ratkaistaan iteratiivisella pehmeää kynnystystä käyttävällä algoritmilla (iterative soft thresholding algorithm eli ISTA). Regularisointiparametri valitaan olettamalla että käytettävissä on a priori tunnettu harvuustaso, eli luku joka kertoo kuinka suuri osuus objektia kuvaavista aallokekertoimista on erisuuria kuin nolla, ja säätämällä regularisointiparametria iteraation aikana niin, että rekonstruktion harvuus saavuttaa kyseisen tason. Tätä varten käytämme variaatioita proportional-integral-derivative-säätimestä (PID-säädin). Jotta haluttu harvuustaso saavutetaan tulee säädin virittää sopivasti. Tutkimme eri virityksien vaikutusta rekonstruktioprosessiin ja erityisesti käsittelemme kahta adaptiivista säädinvarianttia parametrin valinnassa. Vertailemme näitä kahta varianttia, adaptiivista integraalisäädintä ja neuroverkkoihin perustuva PID-säädintä, toisiinsa. Lopuksi vielä vertaamme adaptiivisella integraalisäätimellä säädettyä ISTA:a kahteen klassiseen rekonstruktioalgoritmiin: suodatettuun takaisinprojektioon (filtered back projection, FBP) ja Tikhonov regularisointiin. Kokeissa käytetään sekä aitoa että simuloitua röntgendataa sekä verrattain tiheällä että harvemmalla mittauskulmien jakaumalla. Integraalisäätö on osoitettiin tärkeäksi regularisointiparametrin valinnassa, kun taas kahta muuta termiä voidaan hyödyntää tarpeen vaatiessa. Adaptiivisista säätimistä adaptiivinen integraalisäädin osoittautui kaikin kriteerein paremmaksi. Adaptiivisella integraalisäätimellä säädetty ISTA myös päihitti molemmat klassiset menetelmät sekä suhteellisen virheen että visuaalisen arvioinnin suhteen harvan datan tapauksessa. Tulokset osoittavat että eri PID-säädinvariantit voivat toimia regularisointiparametrin valinnassa. Adaptiiviset säätimet ovat hyvin käyttäjäystävällisiä, koska ne eivät vaadi manuaalista parametrien säätöä. Lisäksi säätimet ovat verrattain yksinkertaisia, joten niiden soveltaminen eri tilanteissa on helppoa. PID-säätimet mahdollistavat regularisointiparametrin valinnan algoritmin suorituksen aikana, tehden näin koko rekonstruktioprosessista verrattain nopean.
  • Haarala, Akseli (Helsingin yliopisto, 2018)
    Tämän tutkielman tavoitteena on esitellä isoperimetrinen epäyhtälö ja joitakin kvantitatiivisia isoperimetrisiä epäyhtälöitä. Tutkielma koostuu kahdesta osasta. Ensimmäinen osa on yleiskatsaus isoperimetriseen epäyhtälöön avaruudessa R^n ja joihinkin tunnettuihin kvantitatiivisiin isoperimetrisiin epäyhtälöihin. Ensimmäisessä luvussa esitellään isoperimetrinen epäyhtälö ja joitakin todistusmenetelmiä sekä tasossa että korkeammissa ulottuvuuksissa. Toisessa luvussa tutustutaan joihinkin tunnettuihin kvantitatiivisiin isoperimetrisiin epäyhtälöihin sekä niiden todistuksiin. Tutkielman toinen osa on tätä tutkielmaa varten kirjoitettu artikkeli, jossa todistetaan Bonnesenin epäyhtälö niin kutsutuille s-John alueille, s>1, avaruudessa R^n. Artikkelissa osoitetaan, että menetelmät, joita on kirjallisuudessa sovellettu John alueille, voidaan käyttää myös s-John alueiden tapauksessa. Tulos on uusi ja se antaa perheen Bonnesenin epäyhtälöitä, jotka riippuvat parametrista s>1. The goal of this thesis is to introduce the isoperimetric inequality and various quantitative isoperimetric inequalities. The thesis has two parts. The first one is an overview of the isoperimetric inequality in R^n and some of the known quantitative isoperimetric inequalities. In the first chapter we introduce the isoperimetric inequality and show some possible methods of proving the isoperimetric inequality in R^n for both n=2 and n≥3. In the second chapter we discuss some known quantitative isoperimetric inequalities as well as their proofs. The second part of the thesis is a paper. In this paper we prove a Bonnnesen type inequality for so called s-John domains, s>1, in R^n. We show that the methods that have been applied to John domains in the literature, suitably modified, can be applied to s-John domains. Our result is new and gives a family of Bonnesen type inequalities depending on the parameter s>1.
  • Tyvijärvi, Jaakko (Helsingin yliopisto, 2018)
    Työssä käsitellään neljää lukion pitkän matematiikan Derivaatta-kurssin oppikirjaa. Kirjoista kolme on suunnattu vuoden 2003 opetussuunnitelman perusteiden tueksi ja yksi vuoden 2015 opetussuunnitelman tueksi. Oppikirjoista käydään läpi funktion kulkuun edellytettävä opintopolku keskittyen tarkemmin loppuosaan eli funktion kulun tutkimiseen liittyvät osiot. Työssä tuodaan esiin oppikirjojen eroavaisuudet ja yhtäläisyydet, mutta mahdollisiin sähköisiin lisämateriaaleihin ei oteta kantaa. Oppikirjojen rakenteet vastaavat todella paljon toisiaan. Joitakin tarkempia määritelmiä löytyy etenkin kirjasta Matematiikan Taito 7. Työhön on koottu aiemmin saatua tutkimustietoa matematiikan oppimiseen liittyen, etenkin derivaatan ja funktion kulun ymmärtämiseen liiittyen. Erilaisten representaatioiden käyttöön ja niiden ymmärtämiseen pohjautuva oppiminen ja opetus on otettu huomioon työtä tehdessä. Erilaisten representaatioiden käyttö on havaittu auttavan opiskelijaa syventämään tietämystään, mutta toisaalta eri representaatioiden väliset yhteydet on vaikeampi oppia kuin yksittäiset representaatiot. Työn loppuosaan on koottu vuosien 2009-2016 pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tehtävistä funktion kulkuun liittyvien tehtävien määrä luokittain. Luokittelu on tehty muun muassa ääriarvojen tai funktion nollakohtien lukumäärää määrittämistä vaativiin tehtäviin. Tehtävien määrä on hiukan laskenut tuoreimmissa ylioppilaskokeissa, mutta samalla tehvävät ovat olleet soveltavampia kuin tutkitun välin alkuvaiheessa.
  • Ristiluoma, Milla (Helsingin yliopisto, 2018)
    Tutkimuksen tavoitteena on luoda toiminnallista materiaalia murtolukujen opetukseen ja testata sitä aidoissa opetustilanteissa alakoulussa. Materiaali on luotu käyttäen peltipizzamallia. Peltipizzamallilla havainnollistetaan suorakulmaisen alustan ja tussin avulla murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua sekä suuruusvertailua ja ekvivalenssiluokkia. Murtoluvut on yksi haasteellisimmista matematiikan aiheista alakoulussa. Murtolukujen opetuksessa tulisi kiinnittää huomiota käsitteenmuodostuksen prosessiin. Ymmärrykseen tähtäävään murtolukujen opetukseen kannattaa ottaa avuksi toiminta- ja havainnointimateriaaleja. Niillä oppilas saa itse kokeilla ja keksiä murtolukujen laskusäännöt. On tärkeää, että laskiessaan murtoluvuilla oppilas ymmärtää, miksi murtolukujen laskusäännöt toimivat ja osaa esittää laskutoimitukset myös havainnointimateriaaleilla ja sanallistaa laskutoimituksen.Toimintamateriaalia murtolukujen opetukseen on paljon saatavilla. Tutkimuksessa käytettävän peltipizzamallin etu on siinä, että se on helppo ja halpa malli valmistaa sekä sillä voidaan mallintaa kaikki aitojen murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto-, sekä jakolaskut. Harva toimintamateriaali pystyy tähän. Peltipizzamallia voi käyttää myös koetilanteessa, koska materiaaliksi riittää kynä ja paperia. Tutkimukseen osallistuvat oppilaat pitivät uudesta murtolukumallista ja kokivat sen pääosin hyödylliseksi. Otoskoko oli pieni, ja oppilaiden osaamistasoa ei mitattu, joten yleistyksiä on vaikea tehdä. Havaintojen ja palautteen perusteella peltipizzamallille olisi käyttöä murtolukujen opetuksessa.
  • Lehtomäki, Wille (Helsingin yliopisto, 2018)
    Työn päätavoitteena on osoittaa viidennen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaavan mahdottomuus. Ratkaisukaava on mahdollista muodostaa vain polynomeille, jotka ovat juurtamalla ratkeavia. Juurtamalla ratkeavan polynomin kukin juuri voidaan ilmaista kerroinkunnan alkioiden muodostamana päättyvänä lausekkeena, joka käyttää vain kunnan laskutoimituksia ja juurenottoa. Työn lähtökohdaksi otetaan kuntien laajennukset ja ennen kaikkea polynomin kerroinkunnan laajennukset polynomin juurilla. Kun kerroinkuntaa laajennetaan juuri kerrallaan, syntyy useiden sisäkkäisten kuntalaajennusten torni, jonka huipulla on polynomin kaikki juuret sisältävä polynomin juurikunta. Galois'n teorian keskeisimpiä työvälineitä ovat automorfismit eli kunnan isomorfismit itselleen. Sellaiset laajennuskunnan automorfismit, jotka kiinnittävät laajennuksen lähtökunnan, muodostavat laajennuksen Galois'n ryhmän. Myös polynomille on mahdollista määritellä Galois'n ryhmä: polynomin Galois'n ryhmä on sen juurikunnan Galois'n ryhmä polynomin kerroinkunnan suhteen. Osoittautuu, että kukin Galois'n ryhmän alkio on samaistettavissa jonkin polynomin juurten permutaation kanssa, joten Galois'n ryhmä on siis aina symmetrisen ryhmän aliryhmä. Työn loppupuolella keskiöön nousevat juurilaajennukset eli kunnan laajennukset kunnan alkioiden juurroksilla. Kun sopivaan juurilaajennukseen sovelletaan kuudennessa luvussa todistettavaa Galois'n teorian peruslausetta, osoittautuu, että juurtamalla ratkeavan polynomin Galois'n ryhmästä löytyy aina tietty sisäinen rakenne, jota kutsutaan ratkeavuudeksi. Viimeisessä luvussa osoitetaan, että polynomin Galois'n ryhmän ratkeavuus on välttämätön ja riittävä ehto polynomin juurtamalla ratkeavuudelle. Viiden ja sitä useamman alkion symmetrinen ryhmä ei kuitenkaan ole ratkeava, mutta on olemassa polynomeja, joiden Galois'n ryhmä se on. Näin ollen polynomeille, joiden aste on viisi tai sitä korkeampi, ei ole mahdollista muodostaa yleistä ratkaisukaavaa. Työn päättää esimerkki viidennen asteen polynomista, joka ei ole juurtamalla ratkeava.
  • Makkonen, Lauri (Helsingin yliopisto, 2018)
    Tutkielmassa esitellään Eulerin gammafunktio ja siihen liittyviä keskeisiä tuloksia. Gammafunktio on kertomafunktion yleistys reaaliluvuille lukuun ottamatta ei-positiivisia kokonaislukuja. Tutkielma liittyy matemaattisen analyysin alaan, joka käsittelee reaaliarvoisia funktioita. Tutkielmassa käytetään lauseita, jotka on todistettu matematiikan perusopinnoissa, joten ne oletetaan tunnetuiksi. Kertomafunktion yleistäminen oli 1600-luvulla merkittävä interpolaatio-ongelma, jota pohtivat monet suuret matemaatikot. Vuonna 1729 Euler ratkaisi ongelman esittämällä gammafunktion äärettömänä tulona ja seuraavana vuonna esitti sen integraalimuodon. Tämä integraalimuoto esitellään nykyisin yleensä ensimmäisenä, kun puhutaan gammafunktiosta. Tutkielman alussa perustellaan, miksi gammafunktio on sellainen kuin se on. Gammafunktion eri esitysmuotoja esitellään kronologisessa järjestyksessä tukeutuen oivaltaviin näkökulmiin, minkä jälkeen gammafunktio määritellään tarkasti. Gammafunktioon liittyvät keskeiset lauseet todistetaan. Tärkeimpänä lauseena Bohrin-Mollerupin lause, jonka mukaan kaikista kertomafunktion yleistyksistä vain gammafunktio on logaritmisesti konveksi. Viidennessä luvussa todistetaan gammafunktiolle Weierstrassin tuloesitys, johon liittyy oleellisesti myös Eulerin-Mascheronin vakio. Weierstrassin tuloesitystä käytetään tutkielmassa muissa todistuksissa. Tämän jälkeen esitellään joitakin esimerkkejä ja sovelluksia. Gammafunktiota sovelletaan erittäin laajasti monilla aloilla. Se on keskeinen työkalu toki analyysissä, mutta myös tilastotieteessä, todennäköisyyslaskennassa ja lukuteoriassa. Tutkielmassa esitellään vain osa näistä sovelluksista. Gammafunktion avulla saadaan laskettua myös n-ulotteisen pallon tilavuus. Tutkielman lopuksi esitellään kompleksiarvoinen gammafunktio. Luvussa esitellään myös gammafunktion yhteys Riemannin zetafunktioon. Tämä analyyttisen lukuteorian sovellus on gammafunktion yksi tärkeimmistä sovelluksista.
  • Jokisalo, Misa Matias (Helsingin yliopisto, 2018)
    Tämä tutkielma käsittelee kierto- ja peilauskuvausten matemaattista taustaa. Tavoitteena on antaa lukijalle perustavanlaatuinen ymmärrys näiden kuvausten ominaisuuksista, sekä työkalut laskea vektorien kiertoja ja peilauksia. Työssä rajoitutaan tutkimaan äärellisulotteisia euklidisia avaruuksia R^n, eivätkä pohjatietovaatimukset täten ulotu lineaarialgebran perusteita pidemmälle. Ensimmäinen luku esittelee työn tarkoituksen ja rakenteen. Samalla luodaan katsaus siihen vaikeuteen, jonka ihminen kohtaa siirtyessään kolmea ulottuvuutta korkeampiin avaruuksiin. Toinen luku luo tutkielman perustan määrittelemällä vektoriavaruudet, niiden aliavaruudet ja kannat. Keskeiseksi käsitteeksi muodostuva projektiokuvaus määritellään aliavaruuksien suoran summan avulla. Lopuksi lasketaan esimerkki projektiokuvauksesta etsimällä annetulle R^2:n aliavaruudelle kohtisuora komplementti. Kolmannessa luvussa tarkastellaan vektorien välistä kulmaa, pituutta ja erityisesti isometrioita; etäisyydet säilyttäviä kuvauksia. Luvussa osoitetaan origon kiinnittävän isometrian säilyttävän pistetulon, jonka merkitys korostuu seuraavassa luvussa. Työn neljäs luku syventyy lineaarikuvauksiin. Kahden esimerkin avulla nähdään, miten lineaarikuvauksen matriisi muodustuu lähtöavaruuden kantavektorien kuvista. Keskeiseksi käsitteeksi nouseva ortogonaalinen kuvaus määritellään lineaarikuvauksena, jonka kuvausmatriisin A transpoosi A^T on sen inverssi A^T = A^(-1). Luvussa osoitetaan sekä ortogonaalisen kuvauksen olevan origon kiinnittävä isometria että origon kiinnittävän isometrian olevan ortogonaalinen kuvaus. Lopuksi johdetaan projektiokuvaukselle matriisiesitys, joka yksinkertaistaa projektioiden käytännön laskemista merkittävästi. Viidennessä luvussa määritellään kierto- ja peilauskuvaukset avaruudessa R^n. Perusteellinen esimerkki kiertokuvauksesta R^4:ssä yhdistää edellisten lukujen tuloksia. Työ huipentuu isometrian käsitteeseen perustuvaan yhtenevyyden määritelmään ja näyttöön siitä, että sekä kierto- että peilauskuvaukset säilyttävät yhtenevyyden.
  • Jokinen, Jaakko (Helsingin yliopisto, 2018)
    Tutkielma on selvitys suomalaisten matematiikan aineenopettajien todennäköisyyslaskennan osaamisen tasosta ja siinä myös esitellään kehitysehdotuksia aineenopettajan koulutukselle.
  • Korpua, Aki (Helsingfors universitet, 2008)
    Tässä työssä arvioidaan kenttätutkimusaineiston hyödyntämisen etuja käyttöliittymäsuunnittelussa. Tulokset perustuvat kahden samasta ohjelmasta eri tavalla suunnitellun käyttöliittymän arviointiin. Käytettävissä on aikaisemmin suunniteltu käyttöliittymä ja tässä työssä suunniteltava uusi käyttöliittymä, jonka suunnittelussa hyödynnetään kenttätutkimuksesta saatua aineistoa. Aluksi tässä työssä käydään läpi kenttätutkimuksen perusteet, tehdään suunnitelma kenttätutkimuksesta ja käydään tekemässä käyttäjien työtiloissa kenttätutkimusta kontekstuaalisen haastattelun menetelmän mukaisesti. Seuraavaksi käydään läpi käyttöliittymäsuunnittelun teoriaa, esitellään tässä työssä käytettävä GDDsuunnittelumenetelmä ja tehdään sen tarvitsemat tavoitepohjaiset käyttötapaukset kenttätutkimusaineiston pohjalta. Tämän jälkeen simuloidaan uusi käyttöliittymä käyttäen ainoastaan kenttätutkimuksesta saatua aineistoa. Lopuksi simuloitua ja aiemmin suunniteltua käyttöliittymää arvioidaan oikeilla käyttäjillä läpikäyntipalavereissa ja analysoidaan tulokset. Tuloksissa osoitetaan miten todellisten käyttötilanteiden simulointi tuottaa erilaisia käyttöliittymäratkaisuja verrattuna toimintojen toteuttamiseen. Käyttöliittymäratkaisujen ongelmien pohjalta todetaan, että on hyvin tärkeää ymmärtää käyttäjien todellinen työprosessi. Pelkästään kaikkien tarpeellisten toimintojen toteuttaminen ei takaa hyvää käyttöliittymää. On tärkeää miten toiminnot ja tietosisältö on aseteltu käyttöliittymään. Simuloinnissa ne suunnitellaan käyttöliittymään käyttäjien työn kannalta paremmassa järjestyksessä. Tämä nopeuttaa käyttäjien työskentelyä ja parantaa opittavuutta, koska tietoa ja toiminnallisuutta ei tarvitse etsiä käyttöliittymästä. Tekstin lopussa arvioidaan tässä työssä käytettyjen menetelmien soveltamista käytäntöön käyttöliittymäsuunnitteluprosessiin käytetyn ajan ja läpikäyntipalaverien analyysin perusteella.