Dirichlet problem at infinity for p-harmonic functions on negatively curved spaces

Abstract

The object of this dissertation is to study globally defined bounded p-harmonic functions on Cartan-Hadamard manifolds and Gromov hyperbolic metric measure spaces. Such functions are constructed by solving the so called Dirichlet problem at infinity. This problem is to find a p-harmonic function on the space that extends continuously to the boundary at inifinity and obtains given boundary values there. The dissertation consists of an overview and three published research articles.

In the first article the Dirichlet problem at infinity is considered for more general A-harmonic functions on Cartan-Hadamard manifolds. In the special case of two dimensions the Dirichlet problem at infinity is solved by only assuming that the sectional curvature has a certain upper bound. A sharpness result is proved for this upper bound.

In the second article the Dirichlet problem at infinity is solved for p-harmonic functions on Cartan-Hadamard manifolds under the assumption that the sectional curvature is bounded outside a compact set from above and from below by functions that depend on the distance to a fixed point. The curvature bounds allow examples of quadratic decay and examples of exponential growth.

In the final article a generalization of the Dirichlet problem at infinity for p-harmonic functions is considered on Gromov hyperbolic metric measure spaces. Existence and uniqueness results are proved and Cartan-Hadamard manifolds are considered as an application.

Väitöskirjassa tutkitaan rajoitettuja p-harmonisia funktioita Cartan-Hadamard monistoilla ja Gromov-hyperbolisilla metrisillä mitta-avaruuksilla. Tällaisia funktioita konstruoidaan ratkaisemalla Dirichlet'n ongelma äärettömyydessä eli löytämällä annettua jatkuvaa reunalla määriteltyä funktiota kohden rajoitettu p-harmoninen funktio avaruudessa, joka saavuttaa annetut reuna-arvot äärettömyydessä. Väitöskirja koostuu johdanto-osasta ja kolmesta julkaistusta artikkelista.

Ensimmäisessä artikkelissa tutkitaan Dirichlet'n ongelmaa äärettömyydessä yleisemmille A-harmonisille funktioille Cartan-Hadamard monistoilla. Dirichlet'n onglema äärettömyydessä ratkaistaan kaksiulotteisessa erikoistapauksessa olettamalla ainoastaan tietty yläraja leikkauskaarevuuksille. Tämä yläraja osoitetaan tietyssä mielessä tarkaksi.

Toisessa artikkelissa ratkaistaan Dirichlet'n ongelma äärettömyydessä p-harmonisille funktioille Cartan-Hadamard monistoilla sillä oletuksella, että leikkauskaarevuus on kompaktin joukon ulkopuolella rajoitettu ylhäältä ja alhaalta funktioilla, jotka riippuvat etäisyydestä kiinnitettyyn kantapisteeseen. Nämä kaarevuusrajat sallivat neliöllisen vähenemisen ja toisaalta myös eksponentiaalisen kasvun.

Viimeisessä artikkelissa tutkitaan p-harmonisten funktioiden asymptoottisen Dirichlet'n ongelman yleistystä Gromov-hyperbolisiin metrisiin mitta-avaruuksiin. Artikkelissa todistetaan olemassaolo- ja yksikäsitteisyystuloksia tässä tilanteessa. Näitä tuloksia sovelletaan Cartan-Hadamard monistoille.