Topological stability through tame retractions

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-41-1045-0
Title: Topological stability through tame retractions
Author: Feragen, Aasa
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2009-12-14
Language: en
Belongs to series: URN:ISSN:1798-2375
URI: http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-41-1045-0
http://hdl.handle.net/10138/21289
Thesis level: Doctoral dissertation (monograph)
Abstract: A smooth map is said to be stable if small perturbations of the map only differ from the original one by a smooth change of coordinates. Smoothly stable maps are generic among the proper maps between given source and target manifolds when the source and target dimensions belong to the so-called nice dimensions, but outside this range of dimensions, smooth maps cannot generally be approximated by stable maps. This leads to the definition of topologically stable maps, where the smooth coordinate changes are replaced with homeomorphisms. The topologically stable maps are generic among proper maps for any dimensions of source and target. The purpose of this thesis is to investigate methods for proving topological stability by constructing extremely tame (E-tame) retractions onto the map in question from one of its smoothly stable unfoldings. In particular, we investigate how to use E-tame retractions from stable unfoldings to find topologically ministable unfoldings for certain weighted homogeneous maps or germs. Our first results are concerned with the construction of E-tame retractions and their relation to topological stability. We study how to construct the E-tame retractions from partial or local information, and these results form our toolbox for the main constructions. In the next chapter we study the group of right-left equivalences leaving a given multigerm f invariant, and show that when the multigerm is finitely determined, the group has a maximal compact subgroup and that the corresponding quotient is contractible. This means, essentially, that the group can be replaced with a compact Lie group of symmetries without much loss of information. We also show how to split the group into a product whose components only depend on the monogerm components of f. In the final chapter we investigate representatives of the E- and Z-series of singularities, discuss their instability and use our tools to construct E-tame retractions for some of them. The construction is based on describing the geometry of the set of points where the map is not smoothly stable, discovering that by using induction and our constructional tools, we already know how to construct local E-tame retractions along the set. The local solutions can then be glued together using our knowledge about the symmetry group of the local germs. We also discuss how to generalize our method to the whole E- and Z- series.Stabilitet för en differentierbar avbildning beskriver hur dess egenskaper bevaras under små störningar. Enligt den klassiska definitionen av stabilitet är en avbildning stabil ifall dess differentialtopologiska egenskaper inte förändras om avbildningen utsätts för en tillräckligt liten störning det vill säga, den ursprungliga och slutgiltiga avbildningen skiljs endast av ett differentierbart koordinatbyte. Exempel på stabilitetsproblem hittar man bland annat i signalanalys, där avbildningen är en elektrisk signal som beskriver varierande spänning som en funktion av tid. När signalen skickas genom en ledning, mottar vi en störd version på andra sidan; vi vill gärna komma tillbaka till den ursprungliga signalen. Andra praktiska användelser kunde vara robotkinematik eller bildanalys. Tyvärr kan klassisk stabilitet inte alltid användas. Avbildningar mellan kompakta datamängder vars dimensioner tillhör de goda dimensionerna kan approximeras godtyckligt nära av en avbildning som är stabil. Men utanför de goda dimensionerna gäller inte detta. Konkret kan man få problem när man analyserar problem med många variabler och många utdata. Då kan man i stället använda topologisk stabilitet, som är temat för denna avhandling. En topologiskt stabil avbildning är en differentierbar avbildning, vars topologiska egenskaper bibehålls under små störningar. Topologiskt stabila avbildningar approximerar avbildningar i alla dimensioner, och kan därför användas där klassisk stabilitet inte sträcker till. Avhandlingens huvudresultat är en metod för att påvisa topologisk stabilitet hos vissa familjer av singulariteter. Metoden går ut på att konstruera så kallade extremt tama retraktioner från en större, stabil avbildning, som innehåller den topologiskt stabila. Vi diskuterar extremt tama retraktioner och presenterar resultat angående hur man kan konstruera dem. Dessa metoder är viktiga delar av vår verktygslåda. Därefter studerar vi gruppen av differentierbara koordinatbyten som lämnar ett givet multikim oförändrat, och bevisar en rad teorem angående hur man kan dela upp gruppen i mindre komponenter och ersätta den med en kompakt Lie-grupp av låg dimension. Vi undersöker en serie av singulariteter, diskuterar deras instabilitet och använder de verktyg vi utvecklat för att konstruera tama retraktioner för några av dem. Till sist diskuterar vi hur metoden kan generaliseras till en större mängd exempel.
Subject: matematiikka
Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
topologi.pdf 1.087Mb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record