Dirichlet problems for mean curvature and p-harmonic equations on Cartan-Hadamard manifolds

Show full item record

Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-3664-0
Title: Dirichlet problems for mean curvature and p-harmonic equations on Cartan-Hadamard manifolds
Author: Heinonen, Esko
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Thesis level: Doctoral dissertation (article-based)
Abstract: This dissertation consists of four research articles whose unifying theme is the existence and non-existence of continuous entire non-constant solutions for nonlinear differential operators on Riemannian manifolds. The existence of such solutions depends heavily on the geometry of the manifold and, in the case of complete and simply connected Riemannian manifolds, we prove the existence under assumptions on the sectional curvature. In the first and fourth article we study the existence of minimal graphic functions by solving the asymptotic Dirichlet problem. Here the idea is to compactify the Cartan-Hadamard manifold by adding an asymptotic boundary and equipping the resulting space with the cone topology. Then one can solve the asymptotic Dirichlet problem i.e. prove the existence of entire solutions with prescribed continuous boundary values on the asymptotic boundary. In the fourth article we prove also a non-existence result by showing that asymptotically non-negative sectional curvature implies uniform gradient estimate for minimal graphic functions with at most linear growth. The second article deals with the existence of A-harmonic functions and the third article with the existence of f-minimal graphs. In the case of A-harmonic functions, we improve an earlier result of A. Vähäkangas by relaxing the assumption on the curvature upper bound. Here, again, we solve the asymptotic Dirichlet problem in order to get the existence result. We solve the asymptotic Dirichlet problem also for the f-minimal equation, but differing from the other papers, here we consider also the existence in the case of bounded domains.Bernsteinin lauseen nojalla koko Euklidisessa avaruudessa määritellyt jatkuvat ja rajoitetut minimipintayhtälön ratkaisut ovat vakioita. Vastaava tulos pätee myös harmonisille, tai yleisemmin A-harmonisille, funktioille globaalin Harnackin epäyhtälön perusteella. Jos Euklidinen avaruus korvataan negatiivisesti kaareutuneella Riemannin monistolla, tilanne muuttuu oleellisesti. Tässä väitöskirjassa tarkastellaan, mitä geometrisia oletuksia avaruudelle tarvitaan ratkaisufunktioiden olemassaolon takaamiseksi. Minimipintayhtälön ratkaisujen olemassaoloa tutkitaan ensimmäisessä ja neljännessä artikkelissa, joista jälkimmäisessä todistetaan myös olemassaolon kannalta kriittinen kaarevuuden yläraja. Minimipintayhtälön ratkaisujen lisäksi neljännessä artikkelissa osoitetaan myös p-harmonisten funktioiden olemassaolo optimaalisen kaarevuuden ylärajan tapauksessa. Väitöskirjan toisessa artikkelissa tarkastellaan A-harmonisia funktioita ja todistetaan, että ehto kaarevuuden alarajalle voidaan korvata tietynlaisella pisteittäisellä kaarevuusoletuksella. Kolmannessa artikkelissa puolestaan todistetaan niin sanottujen f-minimipintojen olemassaolo sekä rajoitetuissa alueissa että koko monistolla. Nämä f-minimipinnat yleistävät perinteisiä minimipintoja, sillä funktio f määrää pinnan keskikaarevuuden ja vakiofunktion tapauksessa yhtälö palautuu minimipintayhtälöksi.
URI: URN:ISBN:978-951-51-3664-0
http://hdl.handle.net/10138/224177
Date: 2017-10-07
Subject:
Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
Dirichle.pdf 493.5Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record