Takaperäiset stokastiset differentiaaliyhtälöt, niiden rahoitusteoreettisia sovelluskohteita ja johdatus Itô-analyysiin

Show full item record

Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201801101007
Title: Takaperäiset stokastiset differentiaaliyhtälöt, niiden rahoitusteoreettisia sovelluskohteita ja johdatus Itô-analyysiin
Author: Tolonen, Topias
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Thesis level: master's thesis
Abstract: Tutkielma kertoo takaperäisistä stokastisista differentiaaliyhtälöistä, joiden tutkimus käynnistyi laajamittaisesti vasta 1990-luvulla matemaatikkojen Etienne Pardoux ja Peng Shige toimesta. Mielenkiinto näitä yhtälöitä kohtaan on kasvanut nopeasti sen jälkeen, kun myös takaperäisillä stokastisilla differentiaaliyhtälöillä nähtiin rahoitusteoreettisia sovelluskohteita esimerkiksi optioiden suojausstrategioissa. Tutkielman painopiste on teoreettinen, ja tutkielman suuressa osassa on lukijan johdattelu niin kutsutun Itô-analyysin maailmaan. Todistamme lähteisiin nojautuen useita tuloksia, joista keskeisimpänä on yleisen Itôn integraalin olemassaolo, takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause sekä näiden yhtälöiden yhteys eurooppalaisen osto-option hinnoitteluun. Aloitamme tutkielman Anders Haldin kirjoihin perustuen kertaamalla todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen historiaa, ja nykypäivää lähentyessä motivoimme lukijan ensiksi Itô-analyysin ja sitten stokastisten differentiaaliyhtälöiden maailmaan. Toisessa luvussa määrittelemme yleisen todennäköisyysavaruuden ja alamme rakentamaan todennäköisyyslaskennallista maailmaa tämän pohjalta. Luvun aikana luomme pala palalta tarpeen erilaisille todennäköisyyslaskennan käsitteille, määrittelemme Lebesguen integraalin ja odotusarvon ja tarkastelemme satunnaismuuttujajonojen raja-arvoja. Siirrymme nopeasti stokastisten prosessien käsittelyssä tarvittaviin työkaluihin, kuten martingaaleihin ja filtraatioihin. Lopuksi siirrymme käsittelemään Brownin liikettä, jonka määrittelemme kolmella eri tavalla. Kolmannessa luvussa esittelemme Itôn integraalin ja perustelemme sen tarpeen ja esittelemme neliöheilahtelun käsitteen yhdessä Itôn lemman kanssa. Näiden jälkeen siirrymme luontevasti kohti moniulotteista Itô-integraalia, kunnes lopulta perustelemme integraalin määritelmän yleisille integrandeille. Luvun lopussa alamme käsittelemään stokastisia differentiaaliyhtälöitä diffuusioprosessien lähtökohdista. Yhtälön esittelyn jälkeen pääsemme stokastisten differentiaaliyhtälöiden tärkeiden tuloksien – olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden – piiriin. Ratkaisun olemassaolon todistamisen jälkeen käymme läpi ominaisuuksia näille yhtälöille, ennen kuin siirrymme kohti takaperäisiä yhtälöitä. Takaperäiset stokastiset differentiaaliyhtälöt (lyhennetään TSDY) astuvat kuvaan luvussa neljä. Tarkastelemme luvussa tavanomaista takaperäistä stokastista differentiaaliyhtälöä. Tarkastelemme ongelman mielekkyyttä ja perustelemme yhtälöiden tarvetta. Nopeasti siirrymme tarkastelemaan, miten generaattorin muoto vaikuttaa yhtälöön ja sen ratkaisuihin. Tämän jälkeen esittelemme Pardoux'n ja Pengin kuuluisan tuloksen näiden yhtälöiden ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen jälkeen esittelemme takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden vertailulauseen, ja lopulla tarkastelemme yhtälöiden ratkaisuja löyhemmillä oletuksilla. Viimeisessä luvussa siirrymme tarkastelemaan erästä takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden tärkeintä sovelluskohdetta: rahoitusteoriaa. Esittelemme klassisen rahoitusteorian Black ja Scholes -markkinamallin ja avaamme tämän maailman stokastisten differentiaaliyhtälöiden silmin. Todistamme tuloksen, missä yhdistetään eurooppalaisen option arvo takaperäisen stokastisen differentiaaliyhtälön ratkaisuihin ja mallinnamme hintatiheysprosessin. Lopuksi osoitamme, että tällaisen eurooppalaisen option arvo tulee takaperäisten stokastisten differentiaaliyhtälöiden avulla täsmällisesti samaan hintaan kuin Black ja Scholes -artikkelissa osoitettiin.
URI: URN:NBN:fi:hulib-201801101007
http://hdl.handle.net/10138/230945
Date: 2018
Discipline: Applied Mathematics
Soveltava matematiikka
Tillämpad matematik


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
gradu_TopiasTolonen_final.pdf 681.5Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record