Kompaktien pintojen luokittelulause

Show full item record

Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201801241103
Title: Kompaktien pintojen luokittelulause
Author: Marttila, Ville
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science
Thesis level: master's thesis
Abstract: Pro Gradu tutkielman aiheena on käsitellä kompakteja pintoja. Työn lopputuloksena on näyttää,että jokainen kompakti pinta on homeomorfinen pallon, torusten, eli munkkirinkilöiden, yhtenäisensumman kanssa tai projektiivisten tasojen yhtenäisen summan kanssa. Lisäksi todistetaan, että toruksen ja projektiivisen tason yhtenäinen summa on homeomorfinen kolmen projektiivisen tason yhtenäisen summan kanssa. Tämä lause tunnetaan nimellä Kompaktien pintojen luokittelulause ja se on esitetty ja todistettu kirjassa W.S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction. Työ on laadittu niin, että siinä oletetaan lukijan tuntevan kurssin Topologia II asiat. Alussa tulee luku, jossa kerrataan kurssilta Topologia II tutuksi tulleita asioita ja kerrotaan muutamia tarvittavia tuloksia. Joukkojen yhtenäinen summa on operaatio, jolla kaksi pintaa liitetään toisiinsa leikkaamalla niistä samankokoiset kiekot pois ja liittämällä ne toisiinsa leikkauskohtien reunoista. Tarkemmin yhtenäinen summa määritellään tekijäavaruutena, jossa joukoista leikattujen kiekkojen reunojen pisteet samastetaan. Joukkojen yhtenäiselle summalle annetaan "kanoninen muoto", jota käytetään kompaktien pintojen esitysmuotona. Tätä käytetään kyseisen lauseen todistuksessa. Eräs keskeisiä asioita lauseen todistuksessa on kompaktien pintojen kolmiointi. Tällä tarkoitetaan sitä, että kompakti pinta jaetaan äärellisen moneen suljettuun osajoukkoon, joista jokainen on homeomorfinen reaalitasossa olevan, suorilla rajatun kolmion kanssa. Tätä tulosta ei todisteta työssä,mutta viittaus todistukseen annetaan. Kompaktien pintojen luokittelulauseen todistus on jaettu viiteen vaiheeseen ja erilliseen tulokseen. Ensimmäisessä vaiheessa käsitellään kompaktien pintojen kolmiointia tarkemmin kuin mitä määritelmän yhteydessä on tullut vastaan. Ensiksi näytetään, että kompaktin pinnan kolmiointi voidaanmuodostaa tason kiekon kanssa homeomorfisesta monikulmiosta samastamalla sen kylkiä. Seuraavassa vaiheessa käsitellään pinnan monikulmion kanonisessa muodossa olevien kylkien eliminointia. Tietyntyyppiset kyljet voidaan eliminoida ja näin saadaan tuloksena yksinkertaisempialkuperäisen joukon kanssa homeomorfinen joukko. Kolmannessa vaiheessa käsitellään monikulmion kärkien samastamista ja monikulmion muokkaustaniin, että kaikki monikulmion kärjet samastuvat lopulta yhdelle kärjelle. Neljäs ja viides vaihe käsittelee monikulmion muokkausta niin, että tulokseksi muodostuu monikulmio,jonka kanoninen summa on sama kuin torusten yhtenäisellä summalla tai projektiivisten tasojen yhtenäisellä summalla. Lopuksi todistetaan, että toruksen ja projektiivisen tason yhtenäinen summa on homeomorfinen kolmen projektiivisen tason yhtenäisen summan kanssa. Tämä todistus käsittelee aikaisempien muokkausten ulkopuolelle jäänyttä tilannetta.
URI: URN:NBN:fi:hulib-201801241103
http://hdl.handle.net/10138/231487
Date: 2018-01-24
Discipline: Matematiikka


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
villemarttila.pdf 27.15Mb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record