Exponential Sums Related to Maass Cusp Forms

Näytä kaikki kuvailutiedot

Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-4324-2
Julkaisun nimi: Exponential Sums Related to Maass Cusp Forms
Tekijä: Jääsaari, Jesse
Muu tekijä: Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta
Matematiikan ja tilastotieteen tohtoriohjelma
Opinnäytteen taso: Väitöskirja (artikkeli)
Tiivistelmä: Fourier coefficients of cusp forms are interesting objects due to their arithmetic significance but we know very little about them in general. For instance, it is an interesting question, for a fixed form, to ask how these coefficients are distributed or how large their order of magnitude can be. Such coefficients are hard to study individually and therefore it is useful to have some other ways to study them. A classical theme in analytic number theory is to understand highly oscillatory objects, such as Fourier coefficients of cusp forms, by studying their sums and their correlations against other oscillating objects over certain intervals. Knowledge of sizes of above mentioned correlation sums can improve understanding of the nature of Fourier coefficients we are interested in. For example, if such a sum is large, this means that the Fourier coefficients and the test sequence oscillate similarly. This naturally leads to the exponential sums considered in this work. We study weighted sums of Fourier coefficients of Maass cusp forms against various oscillatory exponential phases. More specifically, we consider linear exponential phases. The sums over both long and short intervals are studied. The classical theory of Maass cusp forms (in which the underlying group is GL(2,R)) can be generalised to higher rank groups. In this thesis we consider both exponential sums involving Fourier coefficients of classical Maass cusp forms as well as Fourier coefficients of GL(n) Maass cusp forms with n>2. The thesis contains four scientific articles on the subject. The first and fourth article deal with short sums involving Fourier coefficients GL(n) Maass cusp forms. In the second article the size of rationally additively twisted sums involving Fourier coefficients of GL(3) Maass cusp forms is studied on average. To achieve this, a truncated Voronoi summation formula for such sums is established. In the third article various bounds for both long and short sums involving Fourier coefficients of GL(2) Maass cusp forms is proved.Väitöskirjassa tutkitaan Maassin kärkimuotojen Fourier-kertoimilla painotettuja lineaarisia eksponenttisummia. Työssä todistetaan erinäisiä arvioita sekä pitikille että lyhyille summille. Lisäksi summien keskimääräistä suuruutta on tarkasteltu. Klassiset Maassin kärkimuodot ovat kompleksitason ylämmässä puolitasossa määriteltyjä funktioita jotka ovat hyperbolisen Laplace-operaattorin ominaisfunktioita ja toteuttavat lisäksi tietyt säännöllisyysehdot. Nämä funktiot voidaan esittää ns. Fourier-sarjana, jossa on vain nollasta poikkeavia kokonaislukuja vastaavat kertoimet. Tämä sarja on äärettömän pitkä ja näistä Fourier-kertoimista tiedetään erittäin vähän. Yksi tapa saada informaatiota näistä kertoimista on tarkastella työssä käsiteltäviä eksponenttisummia. Lisäksi nämä summat nousevat esiin erinäisissä automorfimuotoihin liittyvissä ongelmissa. Klassinen Maassin kärkimuotojen teoria voidaan myös yleistää korkeamman rankin ryhmille. Väitöskirjassa tarkastellaankin klassisten Maassin kärkimuotojen lisäksi niiden yleistyksiä ryhmälle GL(n), missä n>2. Ensimmäisessä ja neljännessä artikkelissa tarkastellaan GL(n) Maassin muotojen Fourier-kertoimilla painotettuja lyhyitä summia. Toisessa artikkelissa tutkitaan GL(3) Maassin kärkimuodon Fourier-kertoimilla painotetun rationaalitwistatun pitkän eksponenttisumman keskimääräistä kokoa. Kolmannessa artikkelissa puolestaan todistetaan mm. ylärajoja klassisten Maassin kärkimuotojen Fourier-kertoimia sisältäville eksponenttisummille.
URI: URN:ISBN:978-951-51-4324-2
http://hdl.handle.net/10138/235368
Päiväys: 2018-06-15
Avainsanat:
Tekijänoikeustiedot: Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.


Tiedostot

Latausmäärä yhteensä: Ladataan...

Tiedosto(t) Koko Formaatti Näytä
Exponent.pdf 580.7KB PDF Avaa tiedosto

Viite kuuluu kokoelmiin:

Näytä kaikki kuvailutiedot