# Exponential Sums Related to Maass Cusp Forms

 dc.contributor Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta fi dc.contributor Helsingfors universitet, matematisk-naturvetenskapliga fakulteten sv dc.contributor University of Helsinki, Faculty of Science en dc.contributor Matematiikan ja tilastotieteen tohtoriohjelma fi dc.contributor Doktorandprogrammet i matematik och statistik sv dc.contributor Doctoral Programme in Mathematics and Statistics en dc.contributor.author Jääsaari, Jesse fi dc.date.accessioned 2018-05-28T05:03:54Z dc.date.available 2018-06-05 fi dc.date.available 2018-05-28T05:03:54Z dc.date.issued 2018-06-15 fi dc.identifier.uri URN:ISBN:978-951-51-4324-2 fi dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/10138/235368 dc.description.abstract Fourier coefficients of cusp forms are interesting objects due to their arithmetic significance but we know very little about them in general. For instance, it is an interesting question, for a fixed form, to ask how these coefficients are distributed or how large their order of magnitude can be. Such coefficients are hard to study individually and therefore it is useful to have some other ways to study them. A classical theme in analytic number theory is to understand highly oscillatory objects, such as Fourier coefficients of cusp forms, by studying their sums and their correlations against other oscillating objects over certain intervals. Knowledge of sizes of above mentioned correlation sums can improve understanding of the nature of Fourier coefficients we are interested in. For example, if such a sum is large, this means that the Fourier coefficients and the test sequence oscillate similarly. This naturally leads to the exponential sums considered in this work. We study weighted sums of Fourier coefficients of Maass cusp forms against various oscillatory exponential phases. More specifically, we consider linear exponential phases. The sums over both long and short intervals are studied. The classical theory of Maass cusp forms (in which the underlying group is GL(2,R)) can be generalised to higher rank groups. In this thesis we consider both exponential sums involving Fourier coefficients of classical Maass cusp forms as well as Fourier coefficients of GL(n) Maass cusp forms with n>2. The thesis contains four scientific articles on the subject. The first and fourth article deal with short sums involving Fourier coefficients GL(n) Maass cusp forms. In the second article the size of rationally additively twisted sums involving Fourier coefficients of GL(3) Maass cusp forms is studied on average. To achieve this, a truncated Voronoi summation formula for such sums is established. In the third article various bounds for both long and short sums involving Fourier coefficients of GL(2) Maass cusp forms is proved. en dc.description.abstract Väitöskirjassa tutkitaan Maassin kärkimuotojen Fourier-kertoimilla painotettuja lineaarisia eksponenttisummia. Työssä todistetaan erinäisiä arvioita sekä pitikille että lyhyille summille. Lisäksi summien keskimääräistä suuruutta on tarkasteltu. Klassiset Maassin kärkimuodot ovat kompleksitason ylämmässä puolitasossa määriteltyjä funktioita jotka ovat hyperbolisen Laplace-operaattorin ominaisfunktioita ja toteuttavat lisäksi tietyt säännöllisyysehdot. Nämä funktiot voidaan esittää ns. Fourier-sarjana, jossa on vain nollasta poikkeavia kokonaislukuja vastaavat kertoimet. Tämä sarja on äärettömän pitkä ja näistä Fourier-kertoimista tiedetään erittäin vähän. Yksi tapa saada informaatiota näistä kertoimista on tarkastella työssä käsiteltäviä eksponenttisummia. Lisäksi nämä summat nousevat esiin erinäisissä automorfimuotoihin liittyvissä ongelmissa. Klassinen Maassin kärkimuotojen teoria voidaan myös yleistää korkeamman rankin ryhmille. Väitöskirjassa tarkastellaankin klassisten Maassin kärkimuotojen lisäksi niiden yleistyksiä ryhmälle GL(n), missä n>2. Ensimmäisessä ja neljännessä artikkelissa tarkastellaan GL(n) Maassin muotojen Fourier-kertoimilla painotettuja lyhyitä summia. Toisessa artikkelissa tutkitaan GL(3) Maassin kärkimuodon Fourier-kertoimilla painotetun rationaalitwistatun pitkän eksponenttisumman keskimääräistä kokoa. Kolmannessa artikkelissa puolestaan todistetaan mm. ylärajoja klassisten Maassin kärkimuotojen Fourier-kertoimia sisältäville eksponenttisummille. fi dc.format.mimetype application/pdf fi dc.language.iso en fi dc.publisher Helsingin yliopisto fi dc.publisher Helsingfors universitet sv dc.publisher University of Helsinki en dc.relation.isformatof URN:ISBN:978-951-51-4323-5 fi dc.relation.isformatof Unigrafia Oy: 2018 fi dc.rights Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty. fi dc.rights This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited. en dc.rights Publikationen är skyddad av upphovsrätten. Den får läsas och skrivas ut för personligt bruk. Användning i kommersiellt syfte är förbjuden. sv dc.subject fi dc.title Exponential Sums Related to Maass Cusp Forms en dc.type.ontasot Väitöskirja (artikkeli) fi dc.type.ontasot Doctoral dissertation (article-based) en dc.type.ontasot Doktorsavhandling (sammanläggning) sv dc.ths Ernvall-Hytönen, Anne-Maria fi dc.opn Steuding, Jörn fi dc.type.dcmitype Text fi