Contributions to the theory of multiplicative chaos

Näytä kaikki kuvailutiedot

Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-4514-7
Julkaisun nimi: Contributions to the theory of multiplicative chaos
Tekijä: Junnila, Janne
Muu tekijä: Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta
Matematiikan ja tilastotieteen tohtoriohjelma
Opinnäytteen taso: Väitöskirja (artikkeli)
Tiivistelmä: This thesis discusses various aspects of multiplicative chaos of log-correlated fields. It consists of an introduction and three papers. The introduction contains an overview of multiplicative chaos in general and is written in a somewhat pedagogical style. In addition, it highlights some of the results that appear in the three research articles. Topics that are discussed include distribution valued Gaussian fields (in particular log-correlated ones), various variants of renormalized exponentials of these fields (Gaussian multiplicative chaos), and multiplicative chaos of non-Gaussian fields. Gaussian multiplicative chaos is typically constructed by taking the limit of suitable approximations of the final object, and the first paper "Uniqueness of critical Gaussian chaos" studies whether different approximation schemes yield the same result. We prove a general theorem that shows that different sequences of approximating Gaussian fields lead to the same chaos measure, as long as the covariances of the two sequences stay close enough and their difference tends to 0 uniformly on compact subsets outside of the diagonal. The result applies whenever the limiting chaos measure is non-atomic, thus especially in the case of the so-called critical chaos. The second paper "On the Multiplicative Chaos of Non-Gaussian Log-Correlated Fields" introduces a non-Gaussian variant of multiplicative chaos and shows its existence as well as analyticity in the inverse temperature. We consider a class of log-correlated non-Gaussian fields that admit a representation as a sum of regular independent fields and satisfy some technical regularity assumptions. In this setting, we are able to show that one gets a non-trivial limit in the whole real subcritical range of the inverse temperature, and that this range is essentially optimal. In the third paper "Imaginary multiplicative chaos: Moments, regularity and connections to the Ising model" we study the regularity properties of purely imaginary Gaussian chaos and its connections to the critical 2d Ising model. In particular, we derive bounds showing that all the positive moments of the purely imaginary chaos are finite and determine its distribution. Using these results we study which Besov spaces the purely imaginary chaos belongs to. We also establish the convergence of the critical planar XOR-Ising model (product of two independent Ising models) to purely imaginary chaos in the scaling limit.Väitöskirja käsittelee multiplikatiivisen kaaoksen teoriaa useamman eri ongelman kautta ja se koostuu johdannosta ja kolmesta artikkelista. Johdannossa esitellään multiplikatiivisen kaaoksen yleisteoriaa ja artikkeleiden esitietoja, sekä joitain artikkeleissa todistettuja tuloksia. Sana multiplikatiivinen kaaos viittaa siihen, että multiplikatiivista kaaosmittaa voi ajatella äärettömänä tulona riippumattomista satunnaisista funktioista. Näillä kaaosmitoilla on yhteyksiä mm. tilastollisen fysiikan malleihin, satunnaismatriiseihin ja lukuteoriaan. Yleisimmin tutkitussa tapauksessa kerrottavat funktiot ovat eksponentiaaleja riippumattomista Gaussisista kentistä, normalisoituna siten, että kunkin tulontekijän odotusarvo on 1. Tällöin kaaosmittaa voi myös ajatella normalisoituna eksponentiaalina kyseisten kenttien summasta. Se, suppeneeko tällainen tulo johonkin nollasta eroavaan mittaan, riippuu vahvasti siitä, millainen ym. summakenttä on. Mielenkiintoisimmassa tapauksessa summakenttä on logaritmisesti korreloitunut, mikä tarkoittaa karkeasti ottaen sitä, että kentän arvojen korrelaatio kahdessa pisteessä riippuu logaritmisesti pisteiden välisestä etäisyydestä. Tällöin tulo suppenee nollaan, mikäli kerromme summakenttää tarpeeksi suurella vakiolla, mutta tarpeeksi pienillä positiivisilla vakioilla saadaan aikaiseksi epätriviaali kaaosmitta. Yllä kuvailtu tulokonstruktio perustuu kaaosmitan approksimointiin käyttämällä eksponentiaaleja summakentän äärellisistä osasummista. Osasummien sijasta voidaan myös käyttää muunlaisia tapoja approksimoida summakenttää, ja luonnollinen kysymys on, voidaanko kaaosmitta rakentaa ottamalla raja-arvo näiden approksimaatioiden eksponentiaaleista, ja että riippuuko saatu kaaosmitta käytetystä approksimaatiosta. Tätä kysymystä käsitellään väitöskirjan ensimmäisessä artikkelissa "Uniqueness of critical Gaussian chaos". Väitöskirjan toisessa artikkelissa "On the Multiplicative Chaos of Non-Gaussian Log-Correlated Fields" luovutaan oletuksesta, että eksponentioitava kenttä olisi Gaussinen, ja tutkitaan epätriviaalin kaaosmitan olemassa oloa tässä tilanteessa. Kolmannessa artikkelissa "Imaginary multiplicative chaos: Moments, regularity and connections to the Ising model" tutkitaan tilannetta, jossa summakenttää kerrotaan puhtaasti imaginäärisellä tekijällä. Tällöin rajaobjektina ei enää ole mitta, vaan satunnainen distribuutio eli yleistetty funktio. Artikkelissa tutkitaan kaaosdistribuution säännöllisyyttä, sekä näytetään, että kahden riippumattoman Ising-mallin tulon skaalausrajana saadaan puhtaasti imaginäärinen kaaosdistribuutio.
URI: URN:ISBN:978-951-51-4514-7
http://hdl.handle.net/10138/241798
Päiväys: 2018-10-06
Avainsanat:
Tekijänoikeustiedot: Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.


Tiedostot

Latausmäärä yhteensä: Ladataan...

Tiedosto(t) Koko Formaatti Näytä
CONTRIBU.pdf 1.375MB PDF Avaa tiedosto

Viite kuuluu kokoelmiin:

Näytä kaikki kuvailutiedot