Embracing Integrability in Stellar and Planetary Dynamics

Abstract

Hamiltonian systems in stellar and planetary dynamics are typically near integrable. For example, Solar System planets are almost in two-body orbits, and in simulations of the Galaxy, the orbits of stars seem regular. For such systems, sophisticated numerical methods can be developed through integrable approximations. Following this theme, we discuss three distinct problems.

We start by considering numerical integration techniques for planetary systems. Perturbation methods (that utilize the integrability of the two-body motion) are preferred over conventional "blind" integration schemes. We introduce perturbation methods formulated with Cartesian variables. In our numerical comparisons, these are superior to their conventional counterparts, but, by definition, lack the energy-preserving properties of symplectic integrators. However, they are exceptionally well suited for relatively short-term integrations in which moderately high positional accuracy is required.

The next exercise falls into the category of stability questions in solar systems. Traditionally, the interest has been on the orbital stability of planets, which have been quantified, e.g., by Liapunov exponents. We offer a complementary aspect by considering the protective effect that massive gas giants, like Jupiter, can offer to Earth-like planets inside the habitable zone of a planetary system. Our method produces a single quantity, called the escape rate, which characterizes the system of giant planets. We obtain some interesting results by computing escape rates for the Solar System.

Galaxy modelling is our third and final topic. Because of the sheer number of stars (about 10^11 in Milky Way) galaxies are often modelled as smooth potentials hosting distributions of stars. Unfortunately, only a handful of suitable potentials are integrable (harmonic oscillator, isochrone and Stäckel potential). This severely limits the possibilities of finding an integrable approximation for an observed galaxy. A solution to this problem is torus construction; a method for numerically creating a foliation of invariant phase-space tori corresponding to a given target Hamiltonian. Canonically, the invariant tori are constructed by deforming the tori of some existing integrable toy Hamiltonian. Our contribution is to demonstrate how this can be accomplished by using a Stäckel toy Hamiltonian in ellipsoidal coordinates.

Aurinkokuntien ja galaksien dynaamiseen mallintamiseen käytetyt systeemit ovat tyypillisesti lähi-integroituvia. Integroituvuudella tarkoitetaan tässä yhteydessä sitä, että systeemin tila on tunnettu kaikilla ajanhetkillä, eikä liikeyhtälöitä tarvitse ratkaista numeerisesti. Esim. planettojen radat Aurinkokunnassa ovat lähellä kahden kappaleen ongelman ratkaisuja, ja toisaalta numeerisissa simulaatioissa Linnunrata käyttäytyy lähi-integroituvan systeemin tavoin.

Tässä väitöskirjassa esitellään kolme galaksi- ja planeettadynamiikan menetelmää, joissa periaatteena on hyödyntää lähi-integroituvuutta. Menetelmien tarve pyritään perustelemaan matemaattisesti; tämän pohjalta muotoillaan eksplisiittiset ratkaisualgoritmit, ja näiden toimivuus osoitetaan numeerisin esimerkein.

Aurinkokuntiin liittyvästä kahdesta sovelluksesta ensimmäisessä muotoillaan menetelmä planeettojen ratojen integroimiseksi. Tämä nojaa jo Lagrangen aikana tunnettuihin periaatteisiin, mutta karteesisia rataelementtejä käyttäen tuloksena on tehokkaita algoritmeja, jotka ovat parhaimmillaan haluttaessa tarkkoja tuloksia lyhyillä aikaväleillä. Toisessa sovelluksessa tutkitaan, miten Jupiterin kaltainen massiivinen kaasuplaneetta suojaa aurinkokunnan elämänvyöhykettä pienkappaleiden pommitukselta. Tarkoitusta varten esitellään suure, joka muistuttaa Liapunov-eksponenttia. Viimeinen väitöskirjan aiheista käsittelee galaksien dynaamista mallintamista. Käytössä on menetelmä, jolla lähi-integroituvan systeemin faasiavaruuteen voidaan keinotekoisesti luoda invariantteja toruksia käyttäen lähtökohtana jotain integroituvaa potentiaalia; tässä tapauksessa ellipsoidaalista Stäckel-potentiaalia.