Playing Games on Sets and Models

Show simple item record

dc.contributor Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, matematiikan ja tilastotieteen laitos fi
dc.contributor Helsingfors universitet, matematisk-naturvetenskapliga fakulteten, institutionen för matematik och statistik sv
dc.contributor University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics en
dc.contributor Mittag-Leffler Institute (Stockholm) en
dc.contributor Centre de Recerca Matemàtica (Barcelona) en
dc.contributor.author Kulikov, Vadim
dc.date.accessioned 2011-10-07T11:15:42Z
dc.date.available 2011-11-09 fi
dc.date.available 2011-10-07T11:15:42Z
dc.date.issued 2011-11-19
dc.identifier.uri URN:ISBN:978-952-10-7299-4 fi
dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/10138/27891
dc.description.abstract The most prominent objective of the thesis is the development of the generalized descriptive set theory, as we call it. There, we study the space of all functions from a fixed uncountable cardinal to itself, or to a finite set of size two. These correspond to generalized notions of the universal Baire space (functions from natural numbers to themselves with the product topology) and the Cantor space (functions from natural numbers to the {0,1}-set) respectively. We generalize the notion of Borel sets in three different ways and study the corresponding Borel structures with the aims of generalizing classical theorems of descriptive set theory or providing counter examples. In particular we are interested in equivalence relations on these spaces and their Borel reducibility to each other. The last chapter shows, using game-theoretic techniques, that the order of Borel equivalence relations under Borel reduciblity has very high complexity. The techniques in the above described set theoretical side of the thesis include forcing, general topological notions such as meager sets and combinatorial games of infinite length. By coding uncountable models to functions, we are able to apply the understanding of the generalized descriptive set theory to the model theory of uncountable models. The links between the theorems of model theory (including Shelah's classification theory) and the theorems in pure set theory are provided using game theoretic techniques from Ehrenfeucht-Fraïssé games in model theory to cub-games in set theory. The bottom line of the research declairs that the descriptive (set theoretic) complexity of an isomorphism relation of a first-order definable model class goes in synch with the stability theoretical complexity of the corresponding first-order theory. The first chapter of the thesis has slightly different focus and is purely concerned with a certain modification of the well known Ehrenfeucht-Fraïssé games. There we (me and my supervisor Tapani Hyttinen) answer some natural questions about that game mainly concerning determinacy and its relation to the standard EF-game en
dc.description.abstract Reaalilukuja on paljon: ylinumeroituvasti. Reaalilukujen osajoukkoja on yksinkertaisen laskutoimituksen mukaan sitäkin enemmän. Millaisia niitä on? Miten ne voi luokitella? Eräs lähestymistapa on luokitella ne monimutkaisuudensa mukaan. Jos joukko on helposti kuvailtavissa (avoimet, suljetut ja puoliavoimeet välit, Cantorin joukko, irrationaaliluvut jne..), niin se on monimutkaisuushierarkiassa matalalla tasolla ja jos sen kuvaileminen on vaikea (jatkuvien funktioiden kuvajoukot, epämitalliset joukot,..) on se korkealla. Iso osa matemaattisia ongelmia voidaan palauttaa kysymykseen "Kuuluuko x joukkoon A?". Joissakin onnekkaissa tapauksissa, tämä ongelma palautuu tilanteeseen, jossa A on reaalilukujen osajoukko ja x on reaaliluku. Silloin y.o. kysymykseen vastaaminen riippuu siitä, kuinka korkealla monimutkaisuushierarkiassa A on... Vai onko?! Jos on, niin tällä tavalla voidaan analysoida matemaattisten ongelmien vaativuutta (jo ennen kuin niitä lähdetään ratkaisemaan!). Tätä teoriaa kutsutaan deskriptiiviseksi (kuvailevaksi) joukko-opiksi. Entä jos matemaattinen ongelma ei palaudukkaan muotoon "Kuuluuko x joukkoon A?", missä A on reaalilukujen joukko? Väitöskirjassa sama asetelma on siirretty pois reaaliluvuista ja reaalilukujen tilalla on niiden yleistyksiä: siinä missä reaaliluvut voidaan ilmaista numeroituvina binäärijonoina, voidaan meidän objektit kuvata ylinumeroituvina binäärijonoina. Väitöskirjan keskeinen aihe on kehittää yllä mainittua monimutkaisuushierarkian teoriaa näille yleistetyille reaaliluvuille, jotta voitaisiin tutkia tiettyjen matemaattisten ongelmien (lähinnä malliteorian alalta) vaativuutta silloinkin, kun y.o. A ei voi olla reaalilukujen osajoukko. fi
dc.format.mimetype application/pdf fi
dc.language.iso en
dc.publisher Helsingin yliopisto fi
dc.publisher Helsingfors universitet sv
dc.publisher University of Helsinki en
dc.relation.isformatof URN:ISBN:978-952-10-7298-7 fi
dc.relation.isformatof Unigrafia: 2011 fi
dc.rights Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty. fi
dc.rights This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited. en
dc.rights Publikationen är skyddad av upphovsrätten. Den får läsas och skrivas ut för personligt bruk. Användning i kommersiellt syfte är förbjuden. sv
dc.subject matematiikka fi
dc.title Playing Games on Sets and Models en
dc.type.ontasot Väitöskirja (monografia) fi
dc.type.ontasot Doctoral dissertation (monograph) en
dc.type.ontasot Doktorsavhandling (monografi) sv
dc.ths Hyttinen, Tapani
dc.opn Welch, Philip
dc.type.dcmitype Text

Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
playingg.pdf 1.375Mb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record