Inverse problem for the wave equation : partial data and novel boundary sources

Abstract

An inverse problem for the wave equation is a mathematical formulation of the problem to convert measurements of sound waves to information about the wave speed governing the propagation of the waves. This doctoral thesis extends the theory on the inverse problems for the wave equation in cases with partial measurement data and also considers detection of discontinuous interfaces in the wave speed. A possible application of the theory is obstetric sonography in which ultrasound measurements are transformed into an image of the fetus in its mother's uterus. The wave speed inside the body can not be directly observed but sound waves can be produced outside the body and their echoes from the body can be recorded.

The present work contains five research articles. In the first and the fifth articles we show that it is possible to determine the wave speed uniquely by using far apart sound sources and receivers. This extends a previously known result which requires the sound waves to be produced and recorded in the same place. Our result is motivated by a possible application to reflection seismology which seeks to create an image of the Earth s crust from recording of echoes stimulated for example by explosions. For this purpose, the receivers can not typically lie near the powerful sound sources.

In the second article we present a sound source that allows us to recover many essential features of the wave speed from the echo produced by the source. Moreover, these features are known to determine the wave speed under certain geometric assumptions. Previously known results permitted the same features to be recovered only by sequential measurement of echoes produced by multiple different sources. The reduced number of measurements could increase the number possible applications of acoustic probing.

In the third and fourth articles we develop an acoustic probing method to locate discontinuous interfaces in the wave speed. These interfaces typically correspond to interfaces between different materials and their locations are of interest in many applications. There are many previous approaches to this problem but none of them exploits sound sources varying freely in time. Our use of more variable sources could allow more robust implementation of the probing.

Väitöskirjassa tutkitaan aalloilla kuvantamisen matematiikkaa, erityisesti seuraavaa ongelmaa: mitä äänilähteiden kaiut kertovat aallonnopeudesta kappaleessa, jonka pinnalla kaiut mitattiin. Mahdollinen sovelluskohde työssä esitetylle teorialle on ultraäänikuvantaminen, jossa kaiut muutetaan kuvaksi sikiöstä äitinsä kohdussa. Eri kudostyypeistä riippuva aallonnopeus ruumiissa ei ole suoraan havainnoitavissa, mutta ultraääniaaltoja voidaan tuottaa ruumiin ulkopuolella ja niiden kaiut voidaan nauhoittaa.

Väitöskirja laajentaa aalloilla kuvantamisen matemaattista teoriaa tapauksiin, joissa äänilähteet eivät sijaitse samassa paikassa vastaanottimien kanssa. Lisäksi väitöskirjassa tarkastellaan aallonnopeuden selvittämiseksi tarvittavien mittausten lukumäärän vähentämistä ja aallonnopeudessa esiintyvien rajapintojen paikantamista. Väitöskirja sisältää viisi tutkimusartikkelia.

Ensimmäisessä ja viidennessä artikkelissa osoitetaan, että aallonnopeus voidaan tunnistaa myös tilanteissa, joissa vastaanottimia ei voida käyttää lähellä äänilähteitä. Tämä tutkimus on seismiseen kuvantamiseen liittyvien mahdollisten sovellusten motivoimaa. Seismisessä kuvantamisessa tavoitteena on muodostaa kuva maankuoresta esimerkiksi maanjäristysaaltojen mittausten perusteella. Tässä sovelluksessa vastaanottimet eivät tyypillisesti voi olla samassa paikassa voimakkaiden lähteiden kanssa.

Toisessa artikkelissa esitellään äänilähde, jonka kaiusta voidaan päätellä monia aallonnopeuden olennaisia piirteitä. Aallonnopeus voidaan tunnistaa näiden piirteiden perusteella tietyissä tilanteissa. Tämä tutkimus liittyy mittausten lukumäärän vähentämiseen ja sitä kautta uusien kuvantamissovellutusten mahdollistamiseen.

Kolmannessa ja neljännessä artikkelissa kehitetään uusi menetelmä aallonnopeudessa esiintyvien rajapintojen paikantamiseen. Esimerkiksi ultraäänikuvantamisessa rajapinnat aallonnopeudessa vastaavat rajapintoja eri kudostyyppien välillä, ja näin ollen niiden sijainnit ovat usein olennaista tietoa.