Yksiulotteinen lämpöyhtälö ja sen ratkaisemismenetelmiä

Näytä kaikki kuvailutiedot



Pysyväisosoite

http://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2019040911681
Julkaisun nimi: Yksiulotteinen lämpöyhtälö ja sen ratkaisemismenetelmiä
Tekijä: Laurila, Teemu
Muu tekijä: Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta
Julkaisija: Helsingin yliopisto
Päiväys: 2019
Kieli: fin
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2019040911681
http://hdl.handle.net/10138/300761
Opinnäytteen taso: pro gradu -tutkielmat
Oppiaine: Matematiikan opettajan koulutus
Tiivistelmä: Tässä työssä tutkitaan yksiulotteista lämpöyhtälöä. Työn tavoitteena on syventää lukion lämpöoppia opettavan käsityksiä lämmönjohtumisesta ja antaa uusia näkökulmia aiheen käsittelyyn. Työssä osoitetaan yksiulotteisen lämpöyhtälön todenperäisyys ja selvitetään sen ratkaisu eri menetelmiä käyttämällä. Lämpöyhtälö on tärkeä osittaisdifferentiaaliyhtälö, jota käytetään fysiikan lisäksi myös lukuisissa muissakin tieteissä. Sen avulla voidaan mm. ennustaa kappaleen minkä tahansa pisteen lämpötila tulevaisuudessa, kunhan alkutilanteen lämpötilaa kuvaava funktio tunnetaan. Työ lähtee liikkeelle lämpöyhtälön johtamisesta. Tutkimalla äärellisen pituista, homogeenista sauvaa, lämpöyhtälölle saadaan fysiikasta tuttujen lämpöenergian virtausta koskevien sääntöjen pohjalta johdettua matemaattinen malli. Johtamisessa on tehty tiettyjä sauvaa koskevia yksinkertaistuksia ja approksimaatioita, jotta voidaan keskittyä päämäärän kannalta olennaiseen. Seuraavaksi työssä siirrytään lämpöyhtälön ratkaisemiseen tutkimalla reunaarvo-ongelmaa. Reuna-arvo-ongelman toteuttava ratkaisu on avain lämpötilan ennustamiseen tulevaisuudessa. Ratkaisu johdetaan lämpöyhtälön 1800-luvulla esitelleen Joseph Fourier’n menetelmää käyttäen. Saman luvun loppupuolella ratkaisun yksikäsitteisyys osoitetaan energiaperiaatteen nojalla, sekä näytetään reuna-arvo-ongelma stabiiliksi ja hyvin määritellyksi. Työn neljännessä luvussa lämpöyhtälön ratkaisu johdetaan äärettömän pitkälle yksiulotteiselle sauvalle. Tämä fysikaalisesti mahdoton tilanne on mielenkiintoinen, koska tällöin saadaan tietoa tilanteista, jolloin sauvan päiden vaikutus on olematon. Ratkaisemiseen käytetään Fourier’n muunnosta. Viimeisessä luvussa lämpöyhtälö ratkaistaan numeerisesti differenssimenetelmällä. Numeeriset menetelmät perustuvat aika- ja paikkamuuttujien diskretointiin, jolloin voidaan approksimoida lämpöyhtälöä. Approksimaation virhe otetaan huomioon ja sen tarkkuuteen voidaan vaikuttaa pisteiden lukumäärää muuttamalla. Ratkaisu esitetään luvussa myös matriisimuodossa, jota hyödynnetään Matlab-ohjelmalla mallinnettavassa numeerisessa ratkaisussa. Ohjelman avulla saadaan kuvattua, kuinka sauvan lämpötilafunktio muuttuu ajan myötä. Tämän graafinen ratkaisu on toisista ratkaisuista poiketen helposti ymmärrettävissä ilman syvällisiä matematiikan opintojakin ja sovellettavissa sellaisenaan opetuksen tukimateriaaliksi.


Tiedostot

Tiedosto(t) Koko Formaatti Näytä

Tähän julkaisuun ei ole liitetty tiedostoja

Viite kuuluu kokoelmiin:

Näytä kaikki kuvailutiedot