Yksiulotteinen lämpöyhtälö ja sen ratkaisemismenetelmiä

Show simple item record

dc.contributor Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta fi
dc.contributor University of Helsinki, Faculty of Science en
dc.contributor Helsingfors universitet, Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten sv
dc.contributor.author Laurila, Teemu
dc.date.issued 2019
dc.identifier.uri URN:NBN:fi-fe2019040911681
dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/10138/300761
dc.description.abstract Tässä työssä tutkitaan yksiulotteista lämpöyhtälöä. Työn tavoitteena on syventää lukion lämpöoppia opettavan käsityksiä lämmönjohtumisesta ja antaa uusia näkökulmia aiheen käsittelyyn. Työssä osoitetaan yksiulotteisen lämpöyhtälön todenperäisyys ja selvitetään sen ratkaisu eri menetelmiä käyttämällä. Lämpöyhtälö on tärkeä osittaisdifferentiaaliyhtälö, jota käytetään fysiikan lisäksi myös lukuisissa muissakin tieteissä. Sen avulla voidaan mm. ennustaa kappaleen minkä tahansa pisteen lämpötila tulevaisuudessa, kunhan alkutilanteen lämpötilaa kuvaava funktio tunnetaan. Työ lähtee liikkeelle lämpöyhtälön johtamisesta. Tutkimalla äärellisen pituista, homogeenista sauvaa, lämpöyhtälölle saadaan fysiikasta tuttujen lämpöenergian virtausta koskevien sääntöjen pohjalta johdettua matemaattinen malli. Johtamisessa on tehty tiettyjä sauvaa koskevia yksinkertaistuksia ja approksimaatioita, jotta voidaan keskittyä päämäärän kannalta olennaiseen. Seuraavaksi työssä siirrytään lämpöyhtälön ratkaisemiseen tutkimalla reunaarvo-ongelmaa. Reuna-arvo-ongelman toteuttava ratkaisu on avain lämpötilan ennustamiseen tulevaisuudessa. Ratkaisu johdetaan lämpöyhtälön 1800-luvulla esitelleen Joseph Fourier’n menetelmää käyttäen. Saman luvun loppupuolella ratkaisun yksikäsitteisyys osoitetaan energiaperiaatteen nojalla, sekä näytetään reuna-arvo-ongelma stabiiliksi ja hyvin määritellyksi. Työn neljännessä luvussa lämpöyhtälön ratkaisu johdetaan äärettömän pitkälle yksiulotteiselle sauvalle. Tämä fysikaalisesti mahdoton tilanne on mielenkiintoinen, koska tällöin saadaan tietoa tilanteista, jolloin sauvan päiden vaikutus on olematon. Ratkaisemiseen käytetään Fourier’n muunnosta. Viimeisessä luvussa lämpöyhtälö ratkaistaan numeerisesti differenssimenetelmällä. Numeeriset menetelmät perustuvat aika- ja paikkamuuttujien diskretointiin, jolloin voidaan approksimoida lämpöyhtälöä. Approksimaation virhe otetaan huomioon ja sen tarkkuuteen voidaan vaikuttaa pisteiden lukumäärää muuttamalla. Ratkaisu esitetään luvussa myös matriisimuodossa, jota hyödynnetään Matlab-ohjelmalla mallinnettavassa numeerisessa ratkaisussa. Ohjelman avulla saadaan kuvattua, kuinka sauvan lämpötilafunktio muuttuu ajan myötä. Tämän graafinen ratkaisu on toisista ratkaisuista poiketen helposti ymmärrettävissä ilman syvällisiä matematiikan opintojakin ja sovellettavissa sellaisenaan opetuksen tukimateriaaliksi. fi
dc.language.iso fin
dc.publisher Helsingin yliopisto fi
dc.publisher University of Helsinki en
dc.publisher Helsingfors universitet sv
dc.title Yksiulotteinen lämpöyhtälö ja sen ratkaisemismenetelmiä fi
dc.type.ontasot pro gradu -tutkielmat fi
dc.type.ontasot master's thesis en
dc.type.ontasot pro gradu-avhandlingar sv
dc.subject.discipline Matematiikan opettajan koulutus und
dct.identifier.urn URN:NBN:fi-fe2019040911681

Files in this item

Files Size Format View
Laurila_Teemu_Pro_gradu_2019.pdf 630.4Kb application/pdf View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record