Explaining Chaos : Discovering Lorenz System’s Extreme Sensitivity to Initial Conditions

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201910163684
Title: Explaining Chaos : Discovering Lorenz System’s Extreme Sensitivity to Initial Conditions
Author: Lahtela, Tuomo
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2019
Language: eng
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201910163684
http://hdl.handle.net/10138/306123
Thesis level: master's thesis
Discipline: Matematiikan opettajan koulutus
Abstract: Tutkielmassa pyritään kertomaan lyhyt tarinanomainen esitys kaaosteoriasta. Esitys tarkastelee ja selittää kaaosteoriaan olennaisesti liittyviä käsitteitä kuten deterministisyys ja alkuarvoherkkyys. Oleellisesti tutkielma kertoo kaaosteorian isänäkin pidetyn Edward Norton Lorenzin tarinan maailman ensimmäisen kaaottisen systeemin löytymisestä ja sitä myötä alkuarvoherkkyyden käsitteen syntymisestä. Tutkielman tarkoitus on näyttää aiheeseen perehtymättömällekin lukijalle mistä kaaosteoriassa on kyse sekä miksi se on merkityksellistä. Johdantokappaleen jälkeinen luku on jaettu kolmeen osaan, jotka käsittelevät kaaosteorian asettumista tieteenhistorian jatkumoon, käsitettä deterministisyys ja tapahtumaketjua, jonka seurauksena Edward Norton Lorenz teki tieteellisen löytönsä. Kolmas luku selittää helposti lähestyttävin esimerkein käsitteen alkuarvoherkkyys, joka tunnetaan paremmin myös nimellä perhosvaikutus. Neljännessä luvussa esitellään dynaamisen systeemin käsite selittäen sen olennaisuuden maailman tapahtumia esitettäessä ja formuloitaessa matemaattisesti. Luvussa paneututaan myös matemaattisemmin käsitteeseen deterministisyys. Luku 5 tutustuttaa lukijan tutkielman tärkeimpien lukujen 6,7 ja 8 ymmärtämiseen tarvittaviin matemaattisiin menetelmiin kuten Taylorin sarjateoriaan useammassa ulottuvuudessa, Jacobiaaniin sekä linearisaatioon. Luku 6 esittelee tutkielman pääaiheen, Lorenz-systeemin, määritellen sen matemaattisesti sekä kuvaillen sen ominaisuuksia yksinkertaista sääsysteemiä mallintavana systeeminä. Luvussa käydään läpi myös Lorenz-systeemin ymmärtäminen vektorikentän käsitteen kautta ja systeemin ratkaisupolun geometrinen representaatio. Luvussa tutkitaan myös onko Lorenz-systeemi alkuarvoherkkä kaikkialla lähtöavaruudessa. Luvun lopussa näytetään myös erittäin kuvaannollisti kuinka Lorenz-systeemin käyttäytymisen ennustaminen on käytännössä mahdotonta. Luvussa 7 Lorenz-systeemi osoitetaan alkuarvoherkäksi seuraamalla systeemin aikakehitystä. Oleellisesti kahden alkuarvoiltaan miltein identtisten ratojen välistä etäisyyttä mittaavan vektorin aikakehitystä seuraamalla näytetään, että radat erkanevat toisistaan erittäin nopeasti. Viimeinen luku esittää lyhyen yleisanalyysin alkuarvoherkkien systeemien aikakehityksestä. Luku esittelee myös kaaosteoriaan olennaisesti liittyvät käsitteet attraktori ja outo attraktori. Luvun loppuun on vielä tiivistetty tutkielman otsikkoa kunnioittaen kaaoksen suppea selitys listaten kolme päätekijää kaaoksen käsitettä matemaattisesti määrittämään.
Subject: kaaosteoria
Lorenzin systeemi
alkuarvoherkkyys
perhosvaikutus
outo attraktori


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
Lahtela_Tuomo_Pro_gradu_2019.pdf 9.771Mb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record