Jatkuvuusmetodi topologisten kiintopistelauseiden sovelluksena

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202002251396
Title: Jatkuvuusmetodi topologisten kiintopistelauseiden sovelluksena
Author: Holopainen, Markus
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2019
Language: fin
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202002251396
http://hdl.handle.net/10138/312293
Thesis level: master's thesis
Discipline: Matematiikka
Abstract: Tämä Pro gradu käsittelee jatkuvuusmetodia, jonka avulla voidaan ratkaista esimerkiksi osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Jatkuvuusmetodin avulla voidaan todistaa ratkaisun olemassaolo tietyssä parametrijoukossa, jos pystytään näyttämään kolme tämän parametrijoukon ominaisuutta: se sisältää pisteen, jolla ratkaisu on olemassa, se on avoin joukko ja se on suljettu joukko. Jatkuvuusmetodi voidaan nähdä sovelluksena erilaisista topologisista kiintopistelauseista, joista tässä työssä esitellään Banachin kiintopistelause ja Leray-Schauderin kiintopistelause. Ensimmäisessä kappaleessa käydään lapi normiavaruuden ja lineaaristen operaattoreiden peruskäsitteitä. Differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä voidaan kuvata operaattorilla sopivassa normiavaruudessa. Käymme läpi myös kompaktiuden käsitettä ja siihen liittyviä perustuloksia topologisen tarkastelun mahdollistamiseksi. Toisessa kappaleessa johdetaan Banachin kiintopistelause, jonka sovelluksena saadaan tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisu kuvaamalla yhtälö operaattorilla, jonka kiintopiste vastaa yhtälön ratkaisua. Tämän jälkeen ratkaisua voidaan jatkaa jatkamisperiaatteen avulla. Tässä kappaleessa esitelllään myös lineaarinen jatkuvuusmetodi, jota käytetään toisen kertaluvun lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön Dirichlet-ongelman ratkaisemiseksi kun tiedetään, että Laplace-yhtälön Dirichlet-ongelmalle on olemassa ratkaisu. Kolmannessa kappaleessa käsitellään topologisia kiintopistelauseita, joista päätulos Leray-Schauder-kiintopistelause voidaan nähdä eräänlaisena epälineaarisena jatkuvuusmetodina, joka soveltuu epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Tässä yhteydessä ratkaisun olemassaolo tietyssä parametrijoukossa näytetään käyttämällä implisiittikuvauslausetta, sekä kompaktiutta ja ratkaisujen a priori-estimointia. Nämä elementit yhdistetään Leray-Schauder-olemassaololauseessa, jonka avulla voidaan todistaa ratkaisujen olemassaolo kvasilineaariselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Lopuksi jatkuvuusmetodi pyritään muotoilemaan yleisellä tasolla, mutta matemaattisesti muotoiltuna.


Files in this item

Files Size Format View

There are no files associated with this item.

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record