Gödel on intuitionism and constructive foundations of mathematics

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-5923-6
Title: Gödel on intuitionism and constructive foundations of mathematics
Author: Hämeen-Anttila, Maria
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Arts
Doctoral Programme in Philosophy, Arts and Society
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2020-03-28
URI: http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-5923-6
http://hdl.handle.net/10138/312779
Thesis level: Doctoral dissertation (monograph)
Abstract: Kurt Gödel's early views on intuitionism and constructive foundations of mathematics became publicly known in his three posthumously published lectures: "The present situation in the foundations of mathematics" (1933), "Lecture at Zilsel's" (1938), and "In what sense is intuitionistic logic constructive?" (1941). The aim of the study is to examine these works in light of Gödel's unpublished notes to construct a more detailed picture of his views. A wide selection of materials, including so far unpublished lecture notes as well as shorthand notes on mathematics and philosophy primarily from 1940-1941, was studied for this purpose. The analysis shows three phases in the development of Gödel's foundational views. Gödel's earliest studies in intuitionistic logic focused on its classical interpretations, and these shaped his belief that the found interconnections between intuitionistic and classical logics revealed something suspicious about intuitionism. The second phase, comprised of the 1933 and 1938 lectures, is shown to be characterised by a firm belief in formalisation and the Hilbert Programme. There is a strong parallelism between Gödel's and Hilbert's critique of intuitionism, and Gödel also agreed with Hilbert on the need for constructive consistency proofs for mathematical systems. In the 1938 lecture, it is suggested that a system based on functionals of finite types could fulfil this purpose while remaining properly finitary. The third phase begins with the lecture course in Princeton, where the functional system is finally introduced. However, it is now presented as an interpretation and a proof of constructivity of intuitionistic arithmetic, not as a finitistic consistency proof. In his notes written around the same time, Gödel started to reconsider the relationship between classical and intuitionistic systems, considering intuitionistic interpretations of classical logic as well as interpretations of intuitionism in its own terms. This gradual resignation of the formalistic viewpoint coincides with several failed formal endeavours and a slow turn towards philosophy.Konstruktivististen suuntausten mukaan matematiikan tulisi perustua ihmiskokemukselle. Tietomme rajat ovat äärelliset, joten äärettömyyksien tutkiminen on rajattava tiedollisesti vastuullisiin metodeihin. Konstruktivismi sai 1900-luvun alussa useita kasvoja. Intuitionismin perustaja L.E.J. Brouwer vaati matematiikan rajaamista konstruktiivisiin metodeihin; David Hilbert halusi käyttää vielä tiukempia "finitistisiä" metodeja klassisen matematiikan ristiriidattomuuden todistamiseen. Väitöskirjani käsittelee Kurt Gödelin aikaisia kontribuutioita konstruktivismiin. 1930- ja 1940-luvulta ollaan tähän mennessä tunnettu vain kourallinen lähteitä ja valtaosa muistiinpanoista on jäänyt tutkimatta Gödelin käyttämän pikakirjoitustekniikan vuoksi. Työssäni tulkitsen Gödelin kolmea tunnettua luentoa konstruktiivisista perusteista vuosilta 1933-1941 julkaisemattomien lähteiden perusteella. Gödelin työssä näkyy kolme vaihetta. Vuosien 1931-1932 loogiset työt keskittyivät intuitionistisen logiikan klassisiin, ei-konstruktiivisiin tulkintoihin, joiden pohjalta Gödel kritisoi intuitionismia liian sallivaksi vuosien 1933 ja 1938 luennoissa. Gödelin oma ohjelma matematiikan perustamiseen muistuttaa Hilbertin formalistista näkökulmaa: vuonna 1938 hän ehdottaa klassisen matematiikan ristiriidattomuuden todistamista nk. funktionaaleilla, joiden tarkoitus on laajentaa Hilbertin finitististä matematiikkaa. Kevään 1941 luentoa, jossa Gödel esittelee funktionaalitulkintansa, pidetään usein aiemman luennon jatkona. Muistiinpanot samana keväänä pidettyä luentosarjaa varten kuitenkin osoittavat, että Gödelin huomio oli siirtynyt Hilbertin ohjelmasta intuitionismiin itseensä, ja että tulkinnan päätarkoitus oli toimia intuitionistisen aritmetiikan käännöksenä. Vuosien 1941-1942 aikana hän tuotti satoja sivuja muistiinpanoja funktionaalijärjestelmästä sekä intuitionistisesta matematiikasta; mikään yrityksistä ei kuitenkaan johtanut varmoihin tuloksiin, ja ohjelma sai äkillisen lopun keväällä 1942. Viimeisissä muistiinpanoissa näkyy Gödelin muuttunut asenne intuitionismia vastaan: epätyydyttävien perusteiden sijaan hän näki intuitionismissa mahdollisuuden matematiikan aspektien käsittelemiseen formalismista riippumattomasti sekä metodin sellaisten kysymysten tarkastelemiseen, jotka eivät antautuneet klassisille tekniikoille.
Subject: teoreettinen filosofia
Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.


Files in this item

Files Size Format View

There are no files associated with this item.

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record