Wave Equations in R^n and in Basic Control Theory

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202003251660
Title: Wave Equations in R^n and in Basic Control Theory
Author: Haataja, Anna
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2020
Language: eng
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202003251660
http://hdl.handle.net/10138/313629
Thesis level: master's thesis
Discipline: Matematiikka
Abstract: Tutkielmassa esitellään aaltoyhtälöiden teoriaa käsitellen niitä sekä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alku- tai reuna-arvo-ongelmina että kontrolliteorian avulla. Aluksi käydään lävitse heikon derivaatan ja Sobolev-avaruuksien määritelmät, sekä tutustutaan lyhyesti keskeisiin tuloksiin Sobolev-funktioiden approksimoinnista, jatkamisesta ja upotuksista. Tutkielman keskeisin osio on omistettu aaltoyhtälön reuna- ja alkuarvo-ongelmien heikkojen ratkaisujen määrittelylle ja niiden olemassaolon sekä yksikäsitteisyyden todistamiselle yleisinä hyperbolisina osittaisdifferentiaaliyhtälöinä. Tutkielman viimeisessä osiossa määritellään joukko kontrolliteorian peruskäsitteitä ja erityisesti tarkastellaan lineaarisen systeemin reunakontrolliongelmaa tavoitteena todistaa, että tämä systeemi on kontrolloituva. Lopuksi tutkitaan, kuinka aaltoyhtälön reunakontrolliongelman voi muuntaa lineaariseksi systeemiksi, minkä seurauksena voidaan todeta myös yksinkertaistetun aaltoyhtälön olevan kontrolloituva.The purpose of this thesis is to look from two different perspectives how wave equations can be solved. These are the forward problem of wave equations as partial differential equations of the initial or boundary-value type, and later in the framework of control theory. First, to provide a meaningful solution space, the basics of the theory of weak derivatives and Sobolev spaces are discussed along with some approximation, extension, and embedding theorems. Then, the initial or boundary value problem of the wave equation is defined, its weak solutions are constructed based on general hyperbolic partial differential equations, and the existence and uniqueness of said solutions is proved. The last part of this thesis concentrates on linear control theory: controllability of a linear system, and especially how it can be defined and proven form the first half of the last chapter. The other half is reserved for wave equations in control theory and why it is possible to reduce a wave control problem to solving the control problem of the aforementioned linear system.


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
Haataja_Anna_Pro_gradu_2020.pdf 813.7Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record