Cauchy-Eulerin yhtälö

Show simple item record

dc.contributor Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta fi
dc.contributor University of Helsinki, Faculty of Science en
dc.contributor Helsingfors universitet, Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten sv
dc.contributor.author Rautaoja, Jukka
dc.date.issued 2020
dc.identifier.uri URN:NBN:fi:hulib-202012094876
dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/10138/322619
dc.description.abstract Tässä tutkielmassa esitetään Cauchy-Eulerin yhtälö, sen ratkaisu ja kaksi sovellusta sen monista sovelluksista. Cauchy-Eulerin yhtälö on homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on muuttujakertoimet. Ensimmäisessä luvussa perustellaan aiheen valinta sekä kerrotaan perustietoja lineaarisista differentiaaliyhtälöistä ja Cauchy-Eulerin yhtälön historiasta. Toisessa luvussa esitetään Cauchy-Eulerin yhtälö ja osa yhtälön ratkaisun todistukseen tarvittavista aputuloksista. Kolmannessa luvussa todistetaan sekä toisen kertaluvun että n:nnen kertaluvun ratkaisu yhtälölle. Molempia todistuksia ennen esitetään todistuksien kannalta merkittävimmät aputulokset. Tärkeimpänä esimerkkinä mainittakoon Laplace-muunnos. Toisen kertaluvun ratkaisu todistetaan, koska se on helpompi ymmärtää, sitä tarvitaan molempiin sovelluksiin, ja koska se auttaa ymmärtämään n:nnen kertaluvun ratkaisua. Neljännessä luvussa yhtälölle esitetään kaksi sovellusta: Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen ratkaisu ja Black-Scholesin yhtälön ratkaisu. Laplacen yhtälöä hyödynnetään kuvaamaan fysiikassa ajasta riippumattomissa tilanteissa tapahtuvia muutoksia esimerkiksi sähkömagneettisissa potentiaaleissa, tasaisissa lämpötiloissa ja hydrodynamiikassa. Yhtälön napakoordinaattiesitystä käytetään sellaisissa tilanteissa, joissa ympäristö on ympyrän rajaama kiekko. Black-Scholesin yhtälöä käytetään finanssimatematiikassa kuvaamaan osakeoptioiden arvonmuutosta. Siten molempia yhtälöitä käytetään paljon, ja ne ovat CauchyEulerin yhtälön tärkeitä sovelluksia. Viidennessä luvussa esitellään tutkielman tulokset. Tuloksina esitetään Cauchy-Eulerin yhtälön n:nnen kertaluvun ratkaisu, Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen ratkaisu ja Black-Scholesin yhtälön ratkaisu. Sekä Laplacen yhtälön napakoordinaattiesityksen että Black-Scholesin yhtälön ratkaisu saadaan muuttujien separoinnin avulla, jolloin saadaan kaksi eri yhtälöä, joista toinen on toisen kertaluvun Cauchy-Eulerin yhtälö, jonka ratkaisu aiemmin todistettiin. fi
dc.language.iso fin
dc.publisher Helsingin yliopisto fi
dc.publisher University of Helsinki en
dc.publisher Helsingfors universitet sv
dc.title Cauchy-Eulerin yhtälö fi
dc.type.ontasot pro gradu -tutkielmat fi
dc.type.ontasot master's thesis en
dc.type.ontasot pro gradu-avhandlingar sv
dc.subject.discipline none und
dct.identifier.urn URN:NBN:fi:hulib-202012094876
dc.subject.specialization Matematiikan opettaja fi
dc.subject.specialization Teacher in Mathematics en
dc.subject.specialization Lärare i matematik sv
dc.subject.degreeprogram Matematiikan, fysiikan ja kemian opettajan maisteriohjelma fi
dc.subject.degreeprogram Master's Programme for Teachers of Mathematics, Physics and Chemistry en
dc.subject.degreeprogram Magisterprogrammet för ämneslärare i matematik, fysik och kemi sv

Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
Rautaoja_Jukka_Maisterintutkielma_2020.pdf 727.7Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record