On analytic and geometric regularity of mappings of finite distortion

Abstract

This dissertation contains three articles on regularity properties of quasiconformal mappings and mappings of finite distortion. Quasiconformal mappings have bounded distortion, and we examine several ways to generalize the known regularity results for them to the case where the distortion is no longer uniformly bounded.

In the first article, we study the analytic regularity of mappings with exponentially integrable distortion. In particular, our main theorem is that in the borderline case where the derivative is not square-integrable, we can find a weight function that is logarithmic to the distortion function such that the derivative is square-integrable in the weighted space. We also provide a better weight for radial functions and find regularity results for the case with the distortion function having better than exponential integrability.

In the second article, we consider the geometric regularity when a line is mapped quasiconformally. Local stretching is understood by investigating the modulus of continuity for both the mapping and its inverse, while the local rotation is measured by comparing the image of a segment to logarithmic spirals. These two properties can be studied jointly as complex powers. Almost everywhere on the line, we prove a bound for the possible complex exponents that improves the earlier, more general bound for 1-dimensional subsets of the plane.

In the third article, our focus is on mappings of finite distortion that are quasiconformal inside a disk. We give an example of a planar domain that cannot be the image of the disk under such a mapping, with boundary satisfying three point condition with a tighter control function than earlier examples. We also prove a modulus of continuity estimate for the inverse mapping, and establish optimal integrability for the derivative under additional assumption on the singularities.

Tämän väitöskirjan kolme artikkelia käsittelevät kvasikonformikuvausten ja äärellisen distortion kuvausten säännöllisyysominaisuuksia. Kvasikonformikuvausten distortio on rajoitettu, ja tarkastelemme tapoja yleistää niiden tunnettuja säännöllisyystuloksia tapaukseen, jossa distortio ei ole tasaisesti rajoitettu.

Ensimmäisessä artikkelissa tutkimme eksponentiaalisesti integroivan distortion kuvausten analyyttistä säännöllisyyttä. Erityisesti keskeisen lauseemme mukaan rajatapauksessa, jossa derivaatta ei ole neliöintegroituva, löydämme painofunktion, joka riippuu logaritmisesti distortiosta ja jota vastaavassa painotetussa avaruudessa derivaatta on neliöintegroituva. Annamme myös paremman painofunktion radiaalisille funktioille ja osoitamme säännöllisyystuloksia tapauksiin, joissa distortiofunktion integroituvuus on parempaa kuin eksponentiaalinen.

Toisessa artikkelissa tarkastelemme geometristä säännöllisyyttä, kun suora kuvataan kvasikonformaalisesti. Jatkuvuusmoduuli vastaa lokaalia venytystä, kun taas lokaalia kiertoa voi mitata vertaamalla janan kuvaa logaritmisiin spiraaleihin. Näitä kahta ominaisuutta voi tutkia samanaikaisesti kompleksilukupotensseina. Todistamme melkein kaikissa suoran pisteissä rajan mahdollisille kompleksieksponenteille, joka parantaa aiempaa rajaa tason yleisille 1-ulotteisille osajoukoille.

Kolmannessa artikkelissa keskitymme äärellisen distortion kuvauksiin, jotka ovat kvasikonformaalisia kiekossa. Annamme esimerkin tasoalueesta, joka ei voi olla kiekon kuva tuollaisessa kuvauksessa, ja tämän alueen reuna toteuttaa kolmen pisteen ehdon rajatummalla kontrollifunktiolla kuin aiemmissa esimerkeissä. Todistamme myös jatkuvuusmoduliarvion käänteiskuvaukselle ja saamme osoitettua optimaalisen derivaatan integroituvuuden lisäoletuksella singulariteeteistä.