# Regularization strategy and focusing energy with a wave equation for an inverse problem

﻿

 Title: Regularization strategy and focusing energy with a wave equation for an inverse problem Author: Korpela, Jussi Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Ma­te­ma­tiik­ka ja ti­las­to­tie­deDoctoral Programme in Mathematics and Statistics Publisher: Helsingin yliopisto Date: 2021-11-12 Language: en URI: http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-51-7660-8 http://hdl.handle.net/10138/335570 Thesis level: Doctoral dissertation (article-based) Abstract: his thesis is about inverse problem. Inverse problems have rich mathematical theory that employs modern methods in partial differential equations, numerical analysis, probability theory, harmonic analysis, and differential geometry. Inverse problems research lies at the intersection of pure and applied mathematics. Traditionally, inverse problems are application oriented, although there are also pure mathematical problems that are considered to be inverse problems. In this study, the wave equation is the physical model for analysis. The wave equation basically tells us how disturbances travel through a medium, transporting energy from one location to another location without transporting matter. It is a mathematical model that describes many physical phenomena in a reasonably manner. In many situations, the initial and boundary value problem for the wave equation is a quite convenient structure when solving inverse problems. Thus it is the central framework for analysis here, added to with the concept of measurements on the boundary, a so-called Neumann-to-Dirichlet map. This dissertation consists of three publications. In Publication I, an inverse boundary value problem for a 1+1-dimensional wave equation with wave speed $c(x)$ is considered. We give a regularization strategy for inverting the map $\mathcal A:c\mapsto \Lambda,$ where $\Lambda$ is the hyperbolic Neumann-to-Dirichlet map corresponding to the wave speed $c$. In Publication II, an inverse boundary value problem for the 1+1-dimensional wave equation $(\p_t^2 - c(x)^2 \p_x^2)u(x,t)=0,\quad x\in\R_+$ is considered. We give a discrete regularization strategy recovering the wave speed $c(x)$ when we are given the boundary value of the wave, $u(0,t)$, that is produced by a single pulse-like source. The regularization strategy gives an approximative wave speed $\wtilde c$, satisfying a H\"older type estimate $\| \wtilde c-c\|\leq C \epsilon^{\gamma}$, where $\epsilon$ is the noise level. In Publication III, We studied the wave equation on a bounded domain of $\R^m$ and on a compact Riemannian manifold $M$ with a boundary. We assumed, that the coefficients of the wave equation are unknown but that we are given the hyperbolic Neumann-to-Dirichlet map $\Lambda$ that corresponds to the physical measurements on the boundary. With the knowledge of $\Lambda$ we construct a sequence of Neumann boundary values so that, at a time $T$, the corresponding waves converge to zero while the time derivative of the waves converges to a delta distribution. Such waves are called \textit{artificial point sources}. The convergence of a wave takes place in the function spaces naturally related to the energy of the wave. We apply the results for inverse problems and demonstrate the focusing of the waves numerically in the one-dimensional case.Tämä opinnäytetyö koskee käänteisongelmaa. Käänteisongelmilla on rikas matemaattinen teoria, joka hyödyntää muun muassa osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, numeerista analyysiä, todennäköisyysteoriaa, harmonista analyysiä sekä ja differentiaaligeometriaa. Käänteisten ongelmien tutkimus on puhtaan ja sovelletun matematiikan leikkauspisteessä. Perinteisesti käänteisongelmat ovat sovelluslähtöisiä, vaikka myöskin puhtaita matemaattisia ongelmia käsitellään tutkimuksessa. Tässä tutkimuksessa aaltoyhtälö on analyysin fyysinen malli. Pohjimmiltaan aaltoyhtälö kertoo kuinka häiriöt kulkevat väliaineen läpi ja kuljettavat energiaa paikasta toiseen sijainti ilman kuljetusmateriaalia. Se on matemaattinen malli, joka kuvaa monia fysikaalisia ilmiöitä kohtuullisella tavalla. Monissa tilanteissa aaltoyhtälön alkuarvo-ongelma on varsin toimiva ratkaisu käänteisten ongelmien tutkimuksessa. Tämä väitöskirja koostuu kolmesta julkaisusta. Julkaisussa I, käänteinen raja-arvo-ongelma 1+1-ulotteiselle aaltoyhtälölle aallonopeudella $c (x)$ pidetään. Annamme säännönmukaistamisen strategia kartan kääntämiseksi $\ mathcal A: c \ mapsto \ Lambda,$ where $\ Lambda$ on hyperbolinen Neumann-Dirichlet-kartta, joka vastaa aallonopeutta $c$. Julkaisussa II käänteinen raja-arvo-ongelma 1+1-ulotteiselle aaltoyhtälölle $(\ p_t^2 - c (x)^2 \ p_x^2) u (x, t) = 0, \ quad x \ in \ R _+$ otetaan huomioon. Annamme erillisen säännöstön strategia aallonopeuden $c (x)$ palauttamiseksi, kun meille annetaan aallon raja -arvo, $u (0, t)$, jonka tuottaa yksi pulssimainen lähde. Sääntelystrategia antaa likimääräinen aallonopeus $\ wtilde c$, joka täyttää vanhemman tyypin H \ "-arvion $\ | \ wtilde c-c \ | \ leq C \ epsilon^{\ gamma}$, jossa $\ epsilon$ on melutaso. Julkaisussa III tutkimme aaltoyhtälöä $\ R^m$ rajoitetulla verkkotunnuksella ja kompaktilla Riemannian jakotukki $M$, jossa on raja. Oletimme, että aaltoyhtälön kertoimet ovat tuntematon, mutta meille annetaan hyperbolinen Neumann-Dirichlet-kartta $\ Lambda$ joka vastaa rajan fyysisiä mittauksia. Tietojen $\ Lambda$ tietämyksellä rakennamme Neumannin raja -arvojen sarjan siten, että $T$ vastaavat aallot lähentyvät nollaan, kun taas aaltojen aikajohdannainen lähenee deltajakaumaa. Tällaisia aaltoja kutsutaan \ textit {keinotekoisiksi pistelähteiksi}. Aallon lähentyminen tapahtuu funktiossa tilat, jotka liittyvät luonnollisesti aallon energiaan. Käytämme tuloksia käänteisiin ongelmiin ja osoittavat aaltojen tarkennuksen numeerisesti yksiulotteisessa tapauksessa. Subject: matematiikka Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.