Birkhoffin-Kakutanin teoreema

Näytä kaikki kuvailutiedot



Pysyväisosoite

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202111184067
Julkaisun nimi: Birkhoffin-Kakutanin teoreema
Tekijä: Pentti, Toni
Muu tekijä: Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta
University of Helsinki, Faculty of Science
Helsingfors universitet, Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten
Julkaisija: Helsingin yliopisto
Päiväys: 2021
Kieli: fin
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202111184067
http://hdl.handle.net/10138/336485
Opinnäytteen taso: pro gradu -tutkielmat
Koulutusohjelma: Matematiikan, fysiikan ja kemian opettajan maisteriohjelma
Master 's Programme for Teachers of Mathematics, Physics and Chemistry
Magisterprogrammet för ämneslärare i matematik, fysik och kemi
Opintosuunta: Matematiikan opettaja
Teacher in Mathematics
Lärare i matematik
Tiivistelmä: Tämän tutkielman tarkoitus on esitellä ja todistaa eräs topologisiin ryhmiin liittyvä lause. Lause kertoo topologisen ryhmän oleva metristyvä avaruus, mikäli ryhmän neutraalialkiolla on numeroituva ympäristökanta. Tutkielmassa käsitellään tarkemmin topologisiin ryhmiin liittyviä tuloksia ja niiden seurauksia. Ensimmäinen kappale on varattu johdannolle. Heti alussa käydään läpi miksi tutkielman tulos on merkittävä ja miksi siihen on järkevää paneutua. Tutkielmassa esitellään oleelliset lähtötiedot, jotta lukijan on helpompi tutustua varsinaiseen aiheeseen. Toisessa kappaleessa kerrotaan tärkeimmät käsitteet ja ne yritetään mahdollisimman selvästi selittää lukijalle. Tässä kappaleessa käydään myös läpi tutkielmassa käytettyjä merkintätapoja. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Kappaleessa on lyhyesti esiteltynä topologisen ryhmän määritelmä, pohjaten algebran määrittelemään ryhmän käsitteeseen ja yleisen topologian määräämiin ehtoihin. Topologisille ryhmille johdetaan kaksi lausetta, jotka ovat tutkielman päätuloksen todistusta varten oleellisia. Ensimmäinen lauseista kertoo, että neutraalialkiolle voidaan rakentaa symmetrisiä ympäristöjä niin, että niiden tulo kuuluu aina johonkin toiseen ympäristöön. Toinen lauseista taas antaa tiedon siitä kuinka neutraalialkiolle löytyy ympäristöjä johon jokin toinen alkio ei kuulu. Nämä lauseet antavat työkalut rakentamaan ryhmän alkioille avoimia ympäristöjä, joita käytetään taas edelleen sopivia ympäristökantoja rakennettaessa. Tässä kappaleessa käydään läpi kaikki tarvittava päätulosta varten. Tutkielman varsinainen päätulos esitellään lyhyesti kappaleen neljä alussa. Kappaleessa todistetaan vaihe vaiheelta topologisen ryhmän neutraalialkiolle rakennetun numeroituvan ympäristökannan avulla, että löydetään metriikka joka määrittää avoimet joukot siten, että ne ovat samoja kuin topologian määräämät avoimet joukot. Tulos on merkittävä siksi, että se antaa työkalun tarkastella topologisten ja metristen avaruuksien yhteyksiä. Lähtökohta työlle oli kirjoittajan oma kiinnostus topologisiin ryhmiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Tavoitteena oli todistaa tärkeä tulos topologian alalta, joka auttaa linkittämään topologiset ja metriset avaruudet toisiinsa.


Tiedostot

Latausmäärä yhteensä: Ladataan...

Tiedosto(t) Koko Formaatti Näytä
Pentti_Toni_tutkielma_2021.pdf 732.4KB PDF Avaa tiedosto

Viite kuuluu kokoelmiin:

Näytä kaikki kuvailutiedot