Periodic nonlinear Schrödinger equation

Abstract

Epälineaarinen Schrödinger-yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla on sovelluksia optiikkaan ja plasmafysiikkaan. Se mallintaa aaltojen kulkeutumista huomioiden dispersion. Tässä tutkielmassa esitetään yhtälön ratkaisuteoria ympyrällä Jean Bourgainin 1990-luvulla julkaisemiin tuloksiin nojaten. Samoja työkaluja voidaan soveltaa korkeammissa ulottuvuuksissa sekä muissa samankaltaisissa yhtälöissä.

Yhtälö saadaan ratkaistua samalla kiintopistemenetelmällä kuin muutkin tyypilliset evoluutioyhtälöt. Samalla nähdään, että ongelma on hyvin asetettu, ja saadaan rajat ratkaisun kasvulle sekä L^2-avaruudessa että tietyissä Sobolev-avaruuksissa, joiden sileysaste ei ole kokonaisluku. Epälineaarisen termin riittävä rajoittaminen on tämän tehtävän vaikein osuus. Tarvittavat Strichartz-estimaatit vaativat tarkkaa Fourier-analyysin käyttöä dyadisten hajotelmien ja kerroinestimaattien muodossa.

Ennen ratkaisuteoriaan syventymistä tutkielmassa esitellään tarvittavat analyysin työkalut, joista valtaosa liittyy Fourier-muunnokseen. Samassa luvussa myös kuvataan täydellinen ratkaisuteoria lineaariselle yhtälölle sekä havainnollistetaan rajoittamattoman ja jaksollisen määrittelyjoukon välistä eroa.

Lopuksi tässä tutkielmassa kehitetään yhtälölle invariantti mitta. Invariantit mitat ovat kiinnostavia tilastollisen fysiikan alalla, sillä niistä saadaan johdettua hyödyllisiä keskiarvo-ominaisuuksia. Viimeisessä luvussa näytetään, että yhtälöön liittyvä Gibbsin mitta on invariantti. Tämä mitta pohjautuu sopivassa funktioavaruudessa määriteltyyn Gaussin mittaan, jonka konstruktio ja perusominaisuudet käydään läpi lyhyesti.

The nonlinear Schrödinger equation is a partial differential equation with applications in optics and plasma physics. It models the propagation of waves in presence of dispersion. In this thesis, we will present the solution theory of the equation on a circle, following Jean Bourgain’s work in the 1990s. The same techniques can be applied in higher dimensions and with other similar equations.

The NLS equation can be solved in the general framework of evolution equations using a fixed-point method. This method yields well-posedness and growth bounds both in the usual L^2 space and certain fractional-order Sobolev spaces. The difficult part is achieving good enough bounds on the nonlinear term. These so-called Strichartz estimates involve precise Fourier analysis in the form of dyadic decompositions and multiplier estimates.

Before delving into the solution theory, we will present the required analytical tools, chiefly related to the Fourier transform. This chapter also describes the complete solution theory of the linear equation and illustrates differences between unbounded and periodic domains.

Additionally, we develop an invariant measure for the equation. Invariant measures are relevant in statistical physics as they lead to useful averaging properties. We prove that the Gibbs measure related to the equation is invariant. This measure is based on a Gaussian measure on the relevant function space, the construction and properties of which we briefly explain.