Integral and integro-differential equations with measure-valued solutions describing the evolution of structured populations

Abstract

In this thesis we analyse the solutions of two different types of integral and integro-differential equations modelling structured populations. More precisely, we study a linear renewal equation that models the dynamics of physiologically structured populations, as well as an extension of the Smoluchowski coagulation equation: the coagulation equation with a constant flux of particles from the origin. The focus is on measure-valued solutions, i.e., solutions that, evaluated in time, are measures. Two different assumptions on the kernel characterizing the linear renewal equation are proven to guarantee asynchronous exponential growth/decline or convergence to a stable distribution for the unique solution of the renewal equation. If the kernel is factorizable, then the proof is based on Feller’s classical Renewal Theorem. If, instead the kernel is regularizing the proof is based on the theory of positive operators and on Laplace transform methods. The third main result of this thesis is related with the asymptotic behaviour of the coagulation equation with source. Indeed, the existence of self-similar solutions for the coagulation equation with a constant flux of particles from the origin is proven under the assumption that the kernel satisfies a polynomial bound that also prevents gelation. These self-similar solutions are expected to describe the long term behaviour of the solutions of the coagulation equation with source.

Väitöskirjassa analysoidaan kahden erityyppisen evoluutioyhtälön ratkaisuja. Käsiteltävät yhtälöt mallintavat populaatioiden muutosta. Populaatioiden oletetaan koostuvan yksilöistä, joilla on ominaisuuksia. Yksilöt voivat olla esimerkiksi soluja tai aerosoleja. Ensimmäinen yhtälö on uusiutumisyhtälö, joka kuvaa fysiologisia systeemejä. Yhtälöstä voidaan päätellä systeemin pitkän ajan kehitys. Yhtälön ominaisuudet riippuvat siinä esiintyvän integraalioperaattorin ytimestä. Väitöskirjassa tarkastellaan kahta eri ydintyyppiä, joiden tutkimiseen tarvitaan eri menetelmiä.

Toinen väitöskirjassa tarkasteltava evoluutioyhtälö on koagulaatioyhtälö, joka mallintaa ilmakehän hiukkasten hyytelöitymistä. Yhtälöiden ratkaisujen sallitaan olevan karkeita, tarkemmin ottaen ne voivat olla Radonin mittoja. Väitöskirjassa osoitetaan, että tilanteessa jossa pieniä hiukkasia syntyy tasaiseen tahtiin, yhtälöllä on olemassa itseäänmuistuttava ratkaisu. Itseään muistuttava ratkaisu on kaikilla ajanhetkillä skaalattu versio sen alkutilasta. Näiden itseäänmuistuttavien ratkaisuiden otaksutaan kuvaavan lähteellisen koagulaatioyhtälön ratkaisuiden pitkän aikavälin käytöstä. Tällaisia yhtälöitä sovelletaan ilmakehän aerosolien kuvaamiseen.