Two-weight commutator estimates : multi-parameter and multilinear frameworks

Abstract

Commutators have been a trending research topic in harmonic analysis for a long time. This dissertation focuses on the two-weight commutator estimates in various multi-parameter frameworks. The commutator operators discussed here are formed by the commutation of the singular integral and the pointwise multiplication by a function. These singular integrals and the study of their boundedness, meaning in this context norm inequalities, are at the heart of this work. Singular integrals and commutator estimates also appear in other fields of mathematics, with partial differential equations being a particular example. This dissertation consists of an introduction part and four scientific articles.

In all of the articles, we consider the boundedness of a multi-parameter Calderón-Zygmund commutator in the two-weight Bloom setting - a specific setup with two individual weights and a function belonging to a weighted BMO space (bounded mean oscillation), where the weight is formed by the other two.

In the first article, we develop a general and explicit multi-parameter framework for the two-weight commutator theory. Presenting the study in the full multi-parameter language is rare in the literature and hence, is one of the most important motivations for the article.

In the second article, a well-known practical property of BMO functions is proved in the multi-parameter framework and applied to commutator estimates completing the classical two-weight commutator theory in the multi-parameter framework, which had some slight technical reduction in the generality in the previous article.

In the third article, we consider the multi-parameter singular integrals with mild kernel regularity. These operators appear in the study of rough singular integrals and have been studied in the more standard one-parameter commutator framework. We prove a representation theorem for the operators with weaker regularity since these theorems are essential in the product space scheme as no other methods are known.

In the last article, we combine multi-parameter commutator theory with multilinear operators. The multilinear weighted analysis is significantly more demanding than linear since we do not require as much control over the individual weights. Moreover, the boundedness of multilinear operators exceeds the standard range and is handled via the new multilinear extrapolation theory suitable in the Bloom-type setting. We also prove the lower bound for the commutator estimates.

Väitöskirja käsittelee kahden painon kvantitatiivisia arvioita kommutaattorioperaattoreilla, jotka ovat olleet eräitä harmonisen analyysin pitkäaikaisia tutkimuskohteita.

Kommutaattorioperaattorit tässä teoksessa ovat singulaarisen integraalin ja funktion pisteittäisen tulon kommutoinnin muodostamia operaattoreita. Singulaariset integraalioperaattorit sekä niiden rajoittuneisuuden tutkiminen, joka kiteytyy normiepäyhtälöihin, ovat tämän työn ytimessä. Singulaariset integraalit ja niiden kommutaattorit ilmaantuvat myös muilla matematiikan aloilla, joista erityisenä esimerkkinä ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöt. Väitöskirja koostuu johdannosta ja neljästä tieteellisestä artikkelista.

Kaikissa neljässä artikkelissa tutkitaan monen parametrin Calderón-Zygmund kommutaattorien rajoittuneisuutta kahden painon Bloomin epäyhtälönä. Tähän erityiseen asetelmaan kuuluu kaksi erillistä painoa sekä funktio painotetussa BMO -avaruudessa (eng. bounded mean oscillation), missä paino muodostuu kahdesta edellä mainitusta painosta.

Ensimmäisessä artikkelissa luodaan yleinen ja eksplisiittinen monen parametrin kehys kahden painon kommutaattoriteoriaan. Tutkimukset monen parametrin yleisyydellä ovat harvinaisia, siten eräs päämotivaatio artikkelille. Toisessa artikkelissa todistetaan eräs tunnettu BMO -funktioiden ominaisuus tuloavaruuden funktioille. Tämän avulla täydennämme kahden painon klassisen teorian tuloavaruuden kommutaattorille, joka oli jäänyt teknisen rajoituksen takia vajaaksi edellisessä artikkelissa.

Kolmas artikkeli käsittelee monen parametrin singulaarisia integraaleja, joiden integraaliesityksessä esiintyvän ytimen säännöllisyys on heikompi. Artikkelissa todistetaan esityslause operaattorille, joka on oleellinen työkalu tuloavaruuden kommutaattoreille, sillä muita menetelmiä ei tunneta.

Viimeisessä artikkelissa monen parametrin teoria yhdistetään monilineaaristen operaattorien kanssa. Erityisiä haasteita tuottavat monilineaarisen tapauksen painot, joille ei vaadita yhtä vahvoja erillisiä ominaisuuksia. Muita erityisiä huomioita ovat monilineaaristen operaattorien laajempi rajoittuneisuus, joka onnistutaan osoittamaan uuden ekstrapolaatio tuloksen avulla. Artikkelissa osoitamme myös kommutaattoriepäyhtälölle vastaavan alarajan.