Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta

 

Recent Submissions

  • Halmekoski, Päivi (2016)
    Kirjoitus käsittelee kartioleikkauksia projektiivisessa geometriassa erityisesti steinerpedagogisen näkökulman kautta. Pääpaino on lukioon sopivien aihepiirien käsittelyllä, koska projektiivista geometriaa opetetaan steinerkouluissa yleensä lukiossa. Kirjoituksen alkupuolella kuvaillaan kokonaiskuvan muodostumiseksi steinerpedagogisen matematiikan opetuksen erityispiirteitä sekä käydään lyhyesti läpi steinerpedagogiikalle tyypillisiä matematiikan aihepiirejä ja tarkastelutapoja alakoulusta lukioon. Steinerkoulun alempien luokkien taiteellinen työskentely esimerkiksi varjojen piirtämisen ja perspektiivipiirustuksen parissa on oleellista myös siltä kannalta, että se valmistelee myöhempää lukion projektiivisen geometrian ymmärtämistä. Kirjoituksessa lähestytään projektiivisen geometrian kartioleikkauksia aluksi pallon varjojen kautta. Pallon varjoksi voi syntyä ympyrä, ellipsi, paraabeli tai hyperbeli riippuen valonlähteen sijoittelusta. Samalla huomataan, että kartioleikkauksissa ei ole kyse vain teoreettisista käsitteistä, vaan ne esiintyvät fyysisessä ympäristössä. Projektiivisen geometrian käsittely jatkuu lukioikäisille sopivilla piirustusharjoituksilla, käsitteiden määrittelyillä, projektiivisen geometrian peruslauseiden käsittelyllä ja äärettömyyden tarkastelulla. Steinerpedagogiikassa usein tarkastellut vähittäiset muodonmuutokset tulevat esiin esimerkiksi pistekartioleikkauksen muuntumisen yhteydessä. Kirjoituksessa ei ole pyritty aksiomaattiseen järjestelmään, vaan käsittelemään aihetta tavalla, joka tekisi siitä elävää ja lähestyttävää. Steinerpedagogiikalle tyypillinen pyrkimys on lähestyä aiheita monitahoisesti ja kokemuksellisesti, eri oppiaineita yhdistäen. Tässä kirjoituksessa se tulee esiin esimerkiksi siinä, miten kartioleikkauksia voidaan tarkastella ympäristössä varjojen ja perspektiivitarkastelujen kanssa yhdistäen geometriaa, kuvataidetta ja fysiikkaa.
  • Kujanpää, Antti (2016)
    In this master’s thesis we explore the mathematical model of classical Lagrangian mechanics with constraints. The main focus is on the nonholonomic case which is obtained by letting the constraint distribution to be nonintegrable. Motivation for the study arises from various physical examples, such as a rolling rigid body or a snakeboard. In Chapter 2, we introduce the model and derive the associated equations of motion in several different forms while using the Lagrangian variational principle as a basis for the kinematics. We also show how nonintegrability of the constraint distribution is linked to some external forces via the Frobenius theorem. Symmetric mechanical systems are discussed in Chapter 3. We define the concept for a Lagrangian system with constraints and show how any free and proper Lie group action induces an intrinsic vertical structure to the tangent bundle of the configuration manifold. The associated bundle is used to define the nonholonomic momentum which is a constrained version of the form that appears in the modern formulation of the classical Noether’s theorem. One applies the classical Noether’s theorem to a symmetric system with integrable constraints by restricting observation to an integral submanifold. This procedure, however, is not always possible. In nonholonomic mechanics, a Lie group symmetry implies only an additional equation of motion rather than actual conservation law. In Chapter 4, we introduce a coordinate free technique to split the Lagrangian variational principle in two equations, based on the Lie group invariance. The equations are intrinsic, that is to say, independent of the choice of connections, related parallel transports and covariant differentiation. The vertical projection, associated to the symmetry, may be varied to alter the representation and shift balance between the two equations. In Chapter 5, the results are applied to the rattleback which is a Lagrangian model for a rigid, convex object that rolls without sliding on a plane. We calculate the nonholonomic momentum and state the equations of motion for a pair of simple connections. One of the equation is also solved with respect to a given solution for the other one. The thesis is mainly based on the articles ”Nonholonomic Mechanical Systems with Symmetry” (A.M. Bloch, P.S. Krishnaprasad, J.E. Marsden, and R M. Murray, 1996), ”Lagrangian reduction by stages” (H. Cendra, J.E. Marsden, and T.S. Ratiu, 2001), ”Geometric Mechanics, Lagrangian Reduction and Nonholonomic Systems” (H. Cendra, J.E. Marsden, and T.S. Ratiu, 2001) and the book ”Nonholonomic mechanics and control” (A.M. Bloch, 2003).
  • Koivisto, Timo (2016)
    This thesis is a review of bandit algorithms in information retrieval. In information retrieval a result list should include the most relevant documents and the results should also be non-redundant and diverse. To achieve this, some form of feedback is required. This document describes implicit feedback collected from user interactions by using interleaving methods that allow alternative rankings of documents to be presented in result lists. Bandit algorithms can then be used to learn from user interactions in a principled way. The reviewed algorithms include dueling bandits, contextual bandits, and contextual dueling bandits. Additionally coactive learning and preference learning are described. Finally algorithms are summarized by using regret as a performance measure.
  • Savolainen, Anu (2016)
    Julkisen sektorin palveluiden siirtäminen verkkoon erilaisiksi sähköisiksi palveluiksi etenee vähitellen. Eräänlaisena missiona voidaan julkisen hallinnon sähköisten asiointipalvelujen osalta pitää niiden yhdenvertaista tarjoamista eri kuntien asukkaille saatavuuden, käytettävyyden ja laadun suhteen. Palvelut olisi aiheellista suunnitella ja toteuttaa sellaisiksi, että ne olisivat mahdollisimman suuren käyttäjäkunnan ulottuvilla. Lisäksi olisi syytä huomioida, etteivät esimerkiksi ikä tai koulutustausta rajoita palveluiden käyttöä. Tutkielmassa selvitetään minkä tyyppisiä sähköisiä asiointipalveluita julkishallinnolla on tarjolla ja miten niitä voi luokitella esimerkiksi niiden tarkoituksen, sisällön tai kehitystason mukaan. Samalla kartoitetaan millaisia käytettävyysongelmia sähköisissä asiointipalveluissa ilmenee ja millainen käyttäjäkokemus palveluiden käytöstä muodostuu. Käytettävyysongelmien kartoittamiseksi ja käyttäjäkokemuksen selvittämiseksi toteutetaan pienimuotoinen käytettävyystesti tämän tutkielman esimerkkipalveluna toimivalle Palkka.fipalvelulle. Löytyneitä käytettävyysongelmia, käyttäjäkokemusta sekä palvelun kehitystasoa analysoidaan suhteessa kirjallisuuteen. Tutkielman tulosten perusteella voidaan todeta, että Palkka.fi-palvelu on kehitystasoltaan hyvä. Käytettävyystestissä esiin tulleet palvelun kipupisteet käyttäjän kannalta ovat sellaisia, että ne kannattaa huomioida myös muiden sähköisten asiointipalveluiden suunnittelussa ja toteutuksessa. ACM Computing Classification System (CSS): Software and its engineering Æ Extra-functional properties Human centered computing Æ HCI design and evaluation methods
  • Kärnä, Hannu (2016)
    Automaattista hahmontunnistusta käytetään yhä useammassa tilanteessa niin kannettavan tietokoneen lukituksen poistoon kuin ihmisten tunnistamiseen valvontakameran kuvista. Tehtävä on vaativa, sillä tunnistettava on usein kolmiulotteinen objekti, josta on käytettävissä vain kaksiulotteinen projektio tuntemattomasta kuvakulmasta. Tai sitten hahmot muuten poikkeavat monin tavoin aiemmin nähdyistä, kuten käsin kirjoitetut merkit. Tutkielmassa kuvaillaan tunnettuja pistejoukkojen etäisyysmittoja ja ehdotetaan joitakin uusia mittoja. Empiirisessä kokeessa numeroiden hahmoja käsiteltiin pistejoukkoina. Niitä luokiteltiin k:n lähimmän naapurin menetelmällä käyttäen eri etäisyysmittoja samankaltaisuuden mittana. Koeaineistona toimi käsin kirjoittuja numeroita sisältävä MNIST-tietokanta, jota on käytetty paljon luokittelumenetelmien testaamiseen. Luokittelussa saavutettiin 97,5%:n tarkkuus, joka on monessa tapauksessa riittävä, vaikka tarkempia luokittelumenetelmiä on olemassa. Erityisesti havaittiin, että pistejoukkojen etäisyysmittoja käyttäen voidaan luokitella tyydyttävästi hyvinkin puutteellista dataa. Kun tunnistettavien hahmojen pisteistä poistettiin 83%, vaikutti luokittelutulos kilpailukykyiseltä jopa ihmisen tekemään tunnistukseen verrattuna.
  • NIU, YIMENG (2016)
    While health establishes the basis of our life, at times we need to visit doctors or hospitals. On that, patients may be faced with inequalities, for example, due to distances to the healthcare resources. With the development of telecommunications and the internet of things, telemedicine may assist in such cases, saving travel time and cost. This thesis suggests a telemedicine monitoring solution for both hospital based and personal users. The focus is on the architecture of the system, the role of wireless sensors in telemedicine and telemedicine key technologies (such as: Bluetooth and ZigBee). Further, the software structure for monitoring the patients’ physiological state remotely at hospital and at home is suggested. This involves also the choice of suitable hardware for data acquisition and wireless transmission. In the end, other related scientific researches are discussed. Comparisons are made between the proposed solution and other similar designs in different angles depending on the focuses of other research work, such as processing performance, connectivity, usability, unit price, data security and decision making.
  • Raatikainen, Annamari (2016)
    Sosiaali- ja terveydenhuolto koostuu hyvin erilaisista ja laeilla voimakkaasti säädellyistä palveluista. Toimintakäytännöt ovat kehittymässä nykyisistä pääasiassa erillisistä sosiaali- ja terveydenhuollon toimintaprosesseja ja niitä palvelevista tietojärjestelmistä kohti sosissli- ja terveydenhuollon yhteisiä palveluita ja prosesseja. Tulevan sosiaali- ja terveydenhuollon sote- uudistuksen sekä sote-palvelujen integroitumisen myötä jatkossa vaaditaan myös tietojärjestelmiltä tiiviimpää yhteentoimivuutta ja integraatiota. Terveydenhuollossa yleisesti käytetyt kansainväliset Health Level 7 -integraatioratkaisut on otettu osaksi myös kansallisen terveydenhuollon arkiston standardisalkkua. Kun kansallinen Kanta-arkisto laajennetaan lähivuosina kattamaan myös sosiaalihuollon asiakirjat, on syntynyt kiinnostus hyödyntää terveydenhuollon arkiston ratkaisuja myös sosiaalihuollon tiedonvälitykseen. Työssäni kuvaan lyhyesti suomalaisen sosiaali- ja terveydenhuollon toimintaympäristöä ja toimialalla käytettyjen asiakas- ja potilastietojärjestelmien nykyhetken ja kehittämisen tilannetta. Esittelen terveydenhuollon tietojenvälityksessä kansainvälisesti laajasti käytössä olevan ja Suomen kansallisen terveydenhuollon arkiston standardisalkuun otetun Health Level 7 (HL7) standardin historiaa sekä maailmanlaajuisesti käytetymmät viestinvälitysstandardit HL7 v2 ja v3 MR sekä HL7 CDA dokumenttistandardin. Esittelen myös vielä kokeilukäytössä olevan seuraavan sukupolven HL7 FHIR-standardin, joka tulee olemaan mukana kansallisen sosiaalihuollon arkiston standardisalkussa ja jota on ehdotettu myös kansalaisen Omakanta-palvelun viestiratkaisuksi. Esittelen Suomessa tehtyjä selvityksiä HL7 standardiperheen soveltuvuudesta sosiaalihuollon tietojen välitykseen sekä arvioin terveydenhuollon arkiston tarpeisiin tehtyjen ratkaisujen siirrettävyyttä sosiaali-huollon arkistopalveluun. Työn lopussa pohdin sosiaali- ja terveydenhuollon kasvavan kansallisen ohjauksen vaikutuksia toimialojen tietojärjestelmäkehitykseen.
  • Terkki, Eeva (2016)
    Free mobile applications (apps) available on app marketplaces are largely monetized through mobile advertising. The number of clicks received on the advertisements (ads) and thus the revenue gained from them can be increased by showing targeted ads to users. Mobile advertising networks collect a variety of privacy sensitive information about users and use it to build advertising profiles. To target ads at individual users based on their interests, these advertising profiles are typically linked with the users’ unique device identifiers, such as the advertising ID used in Android. Advertising profiles may contain a large amount of privacy sensitive information about users, which can attract adversaries to attempt gaining access to this information. Mobile devices are known to leak privacy sensitive information such as device identifiers in clear text. This poses a potential privacy risk, since an adversary might exploit the leaked identifiers to learn privacy sensitive details about a victim by sampling personalized ads targeted at the victim. This thesis explores the behavior of mobile ad networks regarding data collection and ad targeting, as well as the possibility of an attack where leaked device identifiers are exploited to request ads targeted at a victim. We investigated these problems in the context of four popular Android ad libraries that support ad targeting, using a custom app and simulated user profiles designed for this purpose. Our findings indicate that it is possible to use sniffed identifiers to impersonate another user for requesting ads, and to some degree, this can result in receiving ads specific to the victim’s profile. In the case of some ad networks, the lack of ad targeting causes it to be infeasible to conduct an attack to request ads targeted at the victim.
  • Kruglaia, Anna (2016)
    Game design is a complicated, multifaceted creative process. While there are tools for developing computer games, tools that could assist with more abstract creative parts of the process are underrepresented in the domain. One of such parts is the generation of game ideas. Ideation (idea generation) is researched by the computational creativity community in the contexts of design, story and poetry generation, music, and others. Some of the existing techniques can be applied to ideation for games. The process of generating ideas was investigated by applying said techniques to actual themes from game jams. The possibility of using metaphors produced by Metaphor Magnet together with ConceptNet was tested and the results are presented as well.
  • Laurila, Anni (2016)
    Nykypäivän interaktiiviset ja asynkronisesti toimivat web-sovellukset ovat haaste sovellusten laadunvarmistukselle. Sovellusten testaaminen edellyttää sopivia menetelmiä, tekniikoita, työkaluja ja prosesseja. Manuaalinen testaus ei enää yksin riitä vastaamaan nopeasti kehittyvien ja monimutkaisten sovellusten testaustarpeisiin. Yksi ketterän kehityksen avainstrategioista on automaattinen testaus, jolla tarkoitetaan testaustoimintojen toteutusta ja suorittamista automaattisesti siihen tarkoitettujen työkalujen avulla. Yhä enenevässä määrin automaattista testausta hyödynnetään käyttöliittymätasolla tehtävässä järjestelmätestauksessa. Käyttöliittymätason testauksen automatisointiin on kehitetty työkaluja ja menetelmiä, joiden avulla voidaan toteuttaa automatisoituja toiminnallisia testitapauksia. Selenium on yksi web-sovellusten toiminnalliseen testaukseen kehitetyistä avoimen lähdekoodin testauskehyksistä, jonka avulla on mahdollista testata sovellusta käyttäjänäkökulmasta matkimalla käyttäjän selaimelle antamia komentoja. Olemassa olevien työkalujen käyttöönotto ja hyödyntäminen vaativat kuitenkin huolellista suunnittelua, jotta niistä saadaan parhaat hyödyt irti. Tässä tutkielmassa tarkastellaan nykypäivän web-sovellusten kehittämistä, testausta ja koodikatselmointeja, perehdytään tieteelliseen tutkimukseen automaattisen testauksen hyödyistä, haasteista ja kustannuksista sekä kootaan yhteen tutkimuksen ja ammattikirjallisuuden pohjalta löydetyt automatisoinnin parhaat käytännöt. Tämän jälkeen tutkitaan näiden parhaiden käytäntöjen soveltamista Tukisovellus-projektissa, ja kootaan yhteen koodikatselmointien tarkistuslista, jonka avulla testien toteutusta voidaan Tukisovellus-projektissa jatkossa evaluoida.
  • Guo, Haipeng (2016)
    Along with the proliferation of smartphones, smartphone context-aware applications are gaining more and more attention from manufactures and users. With the capability to infer user’s context information i.e., if the user is in a meeting, driving, running or at home, smartphone applications can react accordingly. However, limiting factors such as limited battery capacity, computing power and inaccuracy of inference caused by the in-accurate machine learning models and sensors hinder the large deployment of context-aware applications. In this master thesis, I develop CompleSense, a cooperative sensing framework designed for Android devices that facilitates the establishment and management of cooperation group so that developers can further exploit the potentials of cooper- ative sensing without worrying about the implementation of system monitoring, data throttling, aggregation and synchronization of data streams and wireless message passing via Wi-Fi. The system adopts Wi-Fi Direct technology for service advertisement and peer discovery. Once the cooperative group is formed, devices can share sensing and computing resources within short range via Wi-Fi connection. CompleSense allows developers to customize the system based on their own optimization needs, e.g., optimizing the trade-offs of cooperative sensing. System components are loosely coupled to ensure extensibility, resilience and scalability of the system, so that failure or change of a single component will not affect the remaining parts of the system. Developers can extend from the current system by adding customized data processing kernels, machine learning models and optimized sharing schemes. In addition to that, CompleSense abstracts the controlling logic of sensors, developers can easily integrate new sensors into the system by following a pre-defined a programming interface. The performance of CompleSense is evaluated by carrying out a cooperative audio similarity cal- culation task with varied number of clients which also confirms that CompleSense is feasible to be deployed for lower tier devices, such as Motorola Moto G.
  • Ukkonen, Jukka (2016)
    Ketterä ohjelmistokehitys on inkrementaalista ja iteratiivista eli ohjelmistoa toteutetaan pienissä sykleissä eli iteraatioissa, jolloin aina iteraation lopussa asiakkaalle toimitetaan toimiva versio ohjelmistosta. Ketterät ohjelmistokehitysmenetelmät ovat nousseet suureen suosioon ohjelmistokehityksessä. Ketterä kehitys eroaa perinteisestä vesiputousmallin mukaisesta ohjelmistokehityksestä ja tästä syystä ketterässä kehityksessä tarvitaan myös erilaisia mittareita, kuin perinteisessä vesiputousmallissa. Ketterässä ohjelmistokehityksessä tarvitaan erilaisia mittareita perinteisten mittareiden lisäksi, jotta niiden avulla saadaan tuettua ja vahvistettua ketterän ohjelmistokehityksen periaatteita. Yksi suurimmista eroista ketterän kehityksen ja perinteisen kehityksen mittaamisessa on, että perinteisissä menetelmissä edistymisen seurantaa verrataan aiemmin määriteltyyn suunnitelmaan, mikä on ristiriidassa ketterien menetelmien muutosten tukemisen periaatteen kanssa. Yksiä yleisimpiä ketterän ohjelmistokehityksen mittareita ovat edistymiskäyrät ja velositeetti. Edistymiskäyrien avulla esitetään kehitystyön edistymistä aikaan suhteutettuna ja velositeetti puolestaan kuvaa iteraation aikana valmiiksi saadun työn määrää. Esimerkiksi kehitystiimin velositeettiä käytetään ketterissä menetelmissä auttamaan oikean työmäärän valitsemiseen seuraavaan iteraatioon ja iteraation tarkempaan suunnitteluun. Perinteisissä menetelmissä suunnittelun yhteydessä asetettaisiin kehitystiimille tuottavuuden tavoite ja seurattaisiin kehitystiimin suorituskykyä asetettuun tavoitteeseen nähden. Tutkielman tavoitteena on tutkia ketterän ohjelmistokehityksen mittareita. Tarkemmin tutkielman tavoitteena on selvittää mittareiden tarpeellisuutta, kohteita ja käyttöä seuraavien tutkimuskysymysten avulla: miksi ketterissä ohjelmistokehitysmenetelmissä mitataan, mitä ketterissä ohjelmistokehitysmenetelmissä mitataan, miten mittareita käytetään ketterissä ohjelmistokehitysmenetelmissä ja mitä mittareita ketterissä ohjelmistokehitysmenetelmissä käytetään? Näiden tutkimuskysymysten vastausten perusteella voidaan todeta, että ketterissä ohjelmistokehitysmenetelmissä mitataan tuotteita, prosesseja ja resursseja. Näitä mittauksen kohteita mitataan yleisimmin iteraation ja projektin rajaamiseksi, laadun tason ymmärtämiseksi ja kehitysprosessin ongelmien korjaamiseksi. Mittauksessa käytetään useimmin seuraavia mittareita: edistymiskäyrät, velositeetti, kumulatiivinen vuokaavio, asiakastyytyväisyys, vikatiheys, vikojen lukumäärä, ansaittu liiketoiminta-arvo, työmääräarviointi, koodirivien määrä, testien lukumäärä, testauskattavuus, meneillään oleva työ, kaikkien tuotteen kehitysjonon tehtävien tarinapisteiden summa ja läpäistyjen testien määrä suhteessa kaikkiin testeihin.
  • Suhonen, Heli (2016)
    Tämän Pro gradu – tutkielman aiheena ovat lapsiperheiden asuminen ja muuttotoiveet kantakaupungissa. Tutkielman tavoitteena on selvittää, mitkä tekijät selittäisivät lasten määrän lisääntymistä Helsingin kantakaupungissa viime vuosien aikana. Kansallisissa keskusteluissa on pohdittu, onko lapsiperheiden jääminen asumaan kantakaupunkiin seurausta maailmanlaajuista urbaanin asumisen suosion noususta vai talouden taantumasta. Tässä tutkimuksessa näitä tekijöitä tarkastellaan rakenteellisten ja kulttuuristen arvojen kautta. Rakenteellisiksi tekijöiksi luokitellaan lapsiperheiden taloudellisten resurssien vaikutukset sekä alueen sijainnin ja palveluiden merkitys. Kulttuurisiksi tekijöiksi luokitellaan lapsiperheiden asumisen arvot ja asenteet, suhteet naapurustoon sekä kulttuuri ja vapaa-aika. Tutkimuksessa tuodaan esiin lapsiperheiden toiveita hyvästä asuinympäristöstä sekä siitä millainen elinympäristö vastaisi lasten tarpeita ja miten se voitaisiin suunnittelun keinoin toteuttaa. Arabianranta on uusi lapsiperheiden suosima asuinalue itäisessä kantakaupungissa. Arabianrannan asukkaat ovat keskituloisia ja hyvin koulutettuja. Tutkimuksessa on teemahaastattelujen avulla perehdytty 17 Arabianrannassa asuvan lapsiperheen asumisvalintoihin, asumistyytyväisyyteen ja muuttotoiveisiin. Arabianrannan asuinalueelle perheitä ovat houkutelleet uudet kohtuuhintaiset perheasunnot ja luonnonläheinen ympäristö sekä alueen lapsiystävällisyys. Tämän tutkimuksen perusteella lapsiperheet ovat tyytyväisiä asumiseen Arabianrannassa. Tutkimukseen osallistuneet perheet jaettiin tutkimustulosten perusteella kolmeen ryhmään: urbaaneihin omistusasujiin (47%), urbaaneihin vuokra-asujiin (36%) ja muualle kantakaupungista muuttoa suunnitteleviin (17%). Urbaanit perheet (83%) haluavat jäädä asumaan kantakaupunkiin jatkossa. He ovat valmiita tinkimään asunnon koosta ennemmin kuin sijainnista. Tutkimustulosten perusteella voidaan todeta, että urbaanit perheet kokevat arjen sujuvuuden ja työmatkojen lyhyyden olevan tärkein syy keskusta-asumisen suosimiseen. Heille on tärkeää, ettei lasten hoitopäivä tule liian pitkäksi ja perheelle jää iltaisin yhteistä aikaa. Tämän tutkimuksen perusteella lapsiperheiden lisääntyvää määrää keskusta-alueilla parhaiten selittäisi keskusta-alueiden vetovoima ja urbaanin asumistyylin suosio. Kantakaupunki koetaan hyvin vetovoimaisena lapsiperheiden keskuudessa, eikä sieltä muuteta mielellään pois, jos taloudellinen pääoma mahdollistaa asumisen alueella.
  • Koivusalo, Anssi (2016)
    Tässä tutkielmassa käyn läpi Nashin tasapainoteorian. Työn karkea rakenne etenee seuraavassa järjestyksessä. Ensimmäinen kappale on johdanto. Toisessa kappaleessa käyn lävitse spernerin lemman, jonka avulla todistan Brouwerin kiintopistelauseen. Brouwerin kiintopistelauseella todistan Kakutanin kiintopistelauseen, jonka avulla todistetaan Nashin lause. Tutkielmassa pyrin esittelemään tarvittavat määritelmät ja todistamaan tulokset, jotka vaaditaan yllä mainittujen lauseiden ymmärtämiseen. Suurin osa keskittyy kuitenkin lukuun 3, jossa aloitetaan tutkielman peliteoreettinen osuus. Tämän kappaleen aluksi käydään pintapuolisesti lävitse mitä peliteoria pitää sisällään. Esittelen yleisesti hyväksytyt Von neumannin ja morgensternin aksioomat, jotka pohjustavat minkälaisia oletuksia ihmisten päätöksentekokyvyistä ja käyttäytymisestä peliteoriassa voidaan ja pitää tehdä. Tällaisia käyttäytymiseen ja päätöksentekoon liittyviä käsitteitä ovat muunmoassa rationaalisuus ja jatkuvuus. Tuloksena aksioomeista saadaan hyvin määritelty tulosfunktio, jolla pystytään määrittämään eri pelitilanteiden "mielekkyys"yksittäiselle pelaajalle. Tämän jälkeen keskityn esittelemään käsitteitä kuten Tulosfunktioon liittyvä tuloksen maksimoiva funktio. Pyrin esittelemään Nashin Tasapainoa erilaisten esimerkkien kautta ja demonstroimaan, että Nashin tasapainon olemassaolo on yhtäpitävää sen kanssa, että tuloksen maksimoivalla funktiolla on kiintopiste. Kaksi tärkeää konseptia ovat, puhdas strategia ja sekastrategia. Ensimmäinen on pelityyppi, jossa strategiat ovat valittavissa, toisessa strategioihin liittyy painotus, jolle voidaan antaa erilaisia tulkintoja riippuen kontekstista. Nashin lause sanoo, että kaikilla normaalimuotoisilla peleillä on olemassa sekastrategiapro ile, joka on Nashin tasapaino. Tämän todistamiseksi käytämme kakutanin kiintopistelausetta.
  • Pekkanen, Antti Emil (2016)
    Kompleksiluvut jakautuvat algebrallisiin lukuihin ja transkendenttilukuihin. Algebralliset luvut ovat näistä lukujoukoista tutumpi, mutta itse asiassa lähes kaikki kompleksiluvut ovat transkendenttilukuja. Transkendenttilukujen löytäminen ja niiden todistaminen transkendenttisiksi on hyvin vaikeaa, mistä syystä transkendenttilukuja tunnetaan vain harvoja erikoistapauksia, tunnetuimpina pii ja Neperin luku. Transkendenttilukuihin liittyvistä teknisistä vaikeuksista johtuen myös transkendenttilukujen historia on suhteellisen lyhyt. Tämän tutkielman tarkoituksena on antaa lyhyt yleiskuva aiheesta. Ensin tutkielmassa esitellään lyhyesti lukukäsitteen ja transkendenttilukujen historiaa. Tämän jälkeen määritellään ensin transkendenttiluvut, esitetään Liouvillen ja Cantorin olemassaolotodistukset transkendenttiluvuille sekä ensimmäinen esimerkki transkendenttiluvusta, Liouvillen luku. Tämän jälkeen esitetään todistus Lindemannin-Weierstrassin lauseelle, joiden avulla on ollut mahdollista todistaa useita lukuja transkendenttisiksi. Näiden lukujen joukossa ovat muiden muassa pii ja Neperin luku, joiden transkendenttisuustodistukset esitetään lauseen korollaareina. Lopuksi esitellään ilman todistusta Gelfondin-Schneiderin lause sekä esitellään hyvin lyhyesti joitakin transkendenttilukujen teoriaa eteenpäin vieneitä tuloksia sekä transkendenttilukuihin liittyviä avoimia kysymyksiä.