Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta

 

Recent Submissions

  • Koivusalo, Anssi (2016)
    Tässä tutkielmassa käyn läpi Nashin tasapainoteorian. Työn karkea rakenne etenee seuraavassa järjestyksessä. Ensimmäinen kappale on johdanto. Toisessa kappaleessa käyn lävitse spernerin lemman, jonka avulla todistan Brouwerin kiintopistelauseen. Brouwerin kiintopistelauseella todistan Kakutanin kiintopistelauseen, jonka avulla todistetaan Nashin lause. Tutkielmassa pyrin esittelemään tarvittavat määritelmät ja todistamaan tulokset, jotka vaaditaan yllä mainittujen lauseiden ymmärtämiseen. Suurin osa keskittyy kuitenkin lukuun 3, jossa aloitetaan tutkielman peliteoreettinen osuus. Tämän kappaleen aluksi käydään pintapuolisesti lävitse mitä peliteoria pitää sisällään. Esittelen yleisesti hyväksytyt Von neumannin ja morgensternin aksioomat, jotka pohjustavat minkälaisia oletuksia ihmisten päätöksentekokyvyistä ja käyttäytymisestä peliteoriassa voidaan ja pitää tehdä. Tällaisia käyttäytymiseen ja päätöksentekoon liittyviä käsitteitä ovat muunmoassa rationaalisuus ja jatkuvuus. Tuloksena aksioomeista saadaan hyvin määritelty tulosfunktio, jolla pystytään määrittämään eri pelitilanteiden "mielekkyys"yksittäiselle pelaajalle. Tämän jälkeen keskityn esittelemään käsitteitä kuten Tulosfunktioon liittyvä tuloksen maksimoiva funktio. Pyrin esittelemään Nashin Tasapainoa erilaisten esimerkkien kautta ja demonstroimaan, että Nashin tasapainon olemassaolo on yhtäpitävää sen kanssa, että tuloksen maksimoivalla funktiolla on kiintopiste. Kaksi tärkeää konseptia ovat, puhdas strategia ja sekastrategia. Ensimmäinen on pelityyppi, jossa strategiat ovat valittavissa, toisessa strategioihin liittyy painotus, jolle voidaan antaa erilaisia tulkintoja riippuen kontekstista. Nashin lause sanoo, että kaikilla normaalimuotoisilla peleillä on olemassa sekastrategiapro ile, joka on Nashin tasapaino. Tämän todistamiseksi käytämme kakutanin kiintopistelausetta.
  • Pekkanen, Antti Emil (2016)
    Kompleksiluvut jakautuvat algebrallisiin lukuihin ja transkendenttilukuihin. Algebralliset luvut ovat näistä lukujoukoista tutumpi, mutta itse asiassa lähes kaikki kompleksiluvut ovat transkendenttilukuja. Transkendenttilukujen löytäminen ja niiden todistaminen transkendenttisiksi on hyvin vaikeaa, mistä syystä transkendenttilukuja tunnetaan vain harvoja erikoistapauksia, tunnetuimpina pii ja Neperin luku. Transkendenttilukuihin liittyvistä teknisistä vaikeuksista johtuen myös transkendenttilukujen historia on suhteellisen lyhyt. Tämän tutkielman tarkoituksena on antaa lyhyt yleiskuva aiheesta. Ensin tutkielmassa esitellään lyhyesti lukukäsitteen ja transkendenttilukujen historiaa. Tämän jälkeen määritellään ensin transkendenttiluvut, esitetään Liouvillen ja Cantorin olemassaolotodistukset transkendenttiluvuille sekä ensimmäinen esimerkki transkendenttiluvusta, Liouvillen luku. Tämän jälkeen esitetään todistus Lindemannin-Weierstrassin lauseelle, joiden avulla on ollut mahdollista todistaa useita lukuja transkendenttisiksi. Näiden lukujen joukossa ovat muiden muassa pii ja Neperin luku, joiden transkendenttisuustodistukset esitetään lauseen korollaareina. Lopuksi esitellään ilman todistusta Gelfondin-Schneiderin lause sekä esitellään hyvin lyhyesti joitakin transkendenttilukujen teoriaa eteenpäin vieneitä tuloksia sekä transkendenttilukuihin liittyviä avoimia kysymyksiä.
  • Rusanen, Anton (2016)
    I modelled the contribution of extremely low volatility organic compounds, ELVOC, to particle growth in simple conditions. This included a background aerosol particles that were allowed to develop with the gas phase for 7 hours and particles injected and grown for 8 subsequent hours. The composition and size of the injected particles was analysed. The model used to do this was MALTE- BOX with MCM 3.3 chemistry for α-pinene and inorganic molecules and an ELVOC generation mechanism developed in the group. The density, saturation vapour pressure and diffusion coefficient for these vapours were estimated using several methods from literature. The estimation shows that 21 of the 37 stable molecules in the generating mechanism, would be classified as ELVOC at 293.15 K. The resulting particle growth and composition shows similarities to already published results, where ELVOC contribution is large at early stages of particle growth and diminishes as less volatile compounds are able to condense. The contribution of ELVOC also reacts sensibly to changes in ambient conditions and remains important for early particle growth in all cases studied.
  • Hannula, Anne (2016)
    Tämän tutkimuksen tavoite on selvittää kirjallisuuteen perehtyen, millaisia virhekäsityksiä yläkouluikäisillä oppilailla on yhtälön ratkaisuun liittyen. Kirjallisuuden pohjalta muodostetaan näkemys siitä, mistä erilaiset virheelliset käsitykset johtuvat ja millä tavoin virheelliset käsitykset ovat selitettävissä. Kerätyn aineiston pohjalta muodostetaan ajatus siitä, mitä yhtälöiden opetuksessa tulisi ottaa huomioon, jotta virheellisiä käsityksiä voitaisiin välttää ja yhtälöiden opiskelu olisi menestyksekästä. Laajan aineiston keruun perusteella tarkasteltavat virhekäsitykset on jaettu viiteen eri luokkaan. Näitä ovat algebralliset kirjaimet, yhtäsuuruusmerkki, erilaiset luvut, operaatiomerkit ja yhtälön ratkaisuun liittyvät perusperiaatteet. Virhekäsityksien syitä selitetään ja analysoidaan pääosin didaktisen katkoksen, matemaattisen käsitteen duaaliluonteen ja matematiikan kolmen maailman avulla. Yhtälön ratkaisussa ilmenevät virhekäsitykset johtuvat usein keskeisten käsitteiden puutteellisesta ymmärryksestä. Näitä ovat muuttuja, yhtäsuuruusmerkki ja negatiiviset luvut. Oppilaiden aiemmat kokemukset aritmetiikasta aiheuttavat virheellisiä tulkintoja yhtälön ratkaisussa. Virhekäsitykset näyttävät johtuvan rakenteellisen ja konseptuaalisen tiedon puutteesta sekä ruumiillisen ja symbolisen maailman välisestä kuilusta. Yhtäsuuruusmerkki, negatiiviset luvut ja murtoluvut ymmärretään proseduraalisesti. Muuttujia ei ymmärretä objekteina, joilla on merkitys sinänsä. Yhtälön ratkaisu nähdään oppilaiden, mutta myös opettajien näkökulmasta, proseduraalisena ja symbolisena toimintana, jolloin rakenteellisiin piirteisiin ei kiinnitetä riittävästi huomiota. Yhtälön ratkaisuun liittyville perusperiaatteille ei osata antaa merkityksiä, vaan ne painetaan mieleen muistisääntöinä. Yhtälöiden opetuksessa tulisi keskittyä proseduraalisen suorittamisen sijaan rakenteelliseen ja käsittelliseen ymmärtämiseen. Uusi asia tulee rakentaa aiempien kokemusten varaan, jotta käsitekuva yhtälöön liittyvistä keskeisistä käsitteistä voi laajentua. Yhtälön ratkaisussa tulee erityisesti huomioida oppilaiden aritmeettisen taustan vaikutukset keskeisten käsitteiden tulkintoihin. Muuttujaan, yhtäsuuruusmerkkiin ja negatiivisiin lukuihin liittyvät ennakkokäsitykset on hyvä selvittää ennen yhtälöihin siirtymistä. Kirjain tulee ymmärtää määrällisenä muuttujana, yhtäsuuruusmerkki kahden lausekkeen suhteen ilmaisijana ja negatiivinen luku objektina, jossa miinusmerkki on olennainen osa lukua. Symbolisen ja havainnollistavan esitysmuodon välille tulee rakentaa mielekkäitä siltoja. Yhtälön ratkaisussa käytettyjä menetelmiä tulee arvioida kriittisesti ja eri opetusmenetelmien rajoitukset on hyvä tiedostaa.
  • Väänänen, Erika Kristiina (2016)
    Tässä pro gradu -tutkielmassa tutustutaan matriisin singulaariarvohajotelmaan ja sen tärkeimpiin ominaisuuksiin ja sovelluksiin. Tutkielman alkupuoli käsittelee tarvittavia esitietoja ja matriisin singulaariarvohajotelmaa ja loppupuolella tutustutaan singulariarvohajotelman moniin sovelluksiin. Ensin käydään läpi tarvittavia esitietoja kuitenkin olettaen, että lukija hallitsee lineaarialgebran perusasiat. Tutustutaan myös erilaisiin matriiseihin johdatteluna singulaariarvojen ja singulaariarvohajotelman käsitteisiin. Seuraavaksi käydään lyhyesti läpi singulaariarvot ja siirrytään sitten itse singulaariarvohajotelmaan. Todistetaan hajotelma ja opitaan myös muodostamaan singulaariarvohajotelma mielivaltaiselle matriisille. Tutustutaan vielä hajotelmaan liittyviin singulaarivektoreihin, jotka ovat tärkeässä roolissa lukuisissa sovelluksissa. Seuraavaksi käydään läpi singulaariarvohajotelman ominaisuuksia. Käydään läpi useissa sovelluksissa käytettävä vähennetty singulaariarvohajotelma ja singulaariarvohajotelman geometrinen tulkinta, sekä keskeisten aliavaruuksien kannat. Viimeisissä kahdessa luvussa tutustutaan singulaariarvohajotelman sovelluksiin lineaarialgebrassa, tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja kuvankäsittelyssä. Käsittelyssä ovat matriisin asteen määrittäminen, häiriäalttius, pienimmän neliösumman ratkaisu, pääkomponenttianalyysi, datan pakkaus ja kohinan poisto.
  • Kiiskinen, Olli (2016)
    Tutkielmassa käsitellään tason symmetriakuvauksia ja symmetriaryhmiä. Symmetriakuvaus on isometriakuvaus, joka kuvaa tason pistejoukon tai kuvion itselleen. Symmetriakuvaukset muodostavat ryhmän, jonka laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Tutkielmassa osoitetaan, että tason symmetriaryhmät voidaan jakaa kolmeen eri luokkaan: Äärellisiin symmetriaryhmiin, Frieze-ryhmiin ja kristallografisiin symmetriaryhmiin. Tutkielman alussa aiheeseen paneudutaan geometrisin menetelmin. Luvussa 2 osoitetaan tunnettu tulos, jonka mukaan jokainen tason isometriakuvaus on joko kierto, siirto, peilaus tai siirtopeilaus. Luvussa esiteltyjä isometriakuvausten tuloksia käytetään myöhemmin symmetriaryhmiin liittyvien lauseiden todistuksissa. Kolmannessa luvussa määritellään muutamia ryhmäteorian peruskäsitteitä. Yksi aliluku on omistettu vapaille ryhmille sekä ryhmien määrittelemiseen ryhmän virittäjien ja virittäjien relaatioiden kautta. Kolmannen luvun päätulos kertoo, että jokainen tason äärellinen symmetriaryhmä on isomorfinen joko syklisen ryhmän tai diedriryhmän kanssa. Luvussa 4 määritellään puolisuora tulo, jonka avulla ryhmä voidaan ilmoittaa kahden sen aliryhmän tulon ja konjugoivan toiminnan avulla. Lisäksi isometriakuvauksille esitetään algebrallisia tulkintoja ja katsotaan, miten ne konjugoivat toisiaan. Lopuksi esitellään symmetriaryhmien keskeinen aliryhmä siirtoryhmä, joka koostuu pelkistä siirroista. Siirtoryhmät määritellään siten, että ne ovat diskreettejä eli niissä ei voi olla mielivaltaisen lyhyitä siirtoja. Diskreettisyydestä seuraa, että jokaisen tason symmetriaryhmän siirtoryhmä on isomorfinen joko triviaalin aliryhmän, kokonaislukujen ryhmän tai kokonaislukujen ryhmän karteesisen tulon itsensä kanssa. Luvussa 5 paneudutaan syvemmin jälkimmäiseen tapaukseen ja luetellaan kaikki 17 erilaista kristallografista symmetriaryhmää. Luvussa on todistettu kristallografinen ehto, joka rajaa kristallografisten symmetriaryhmien kierrot tarkasti. Luettelointi on toteutettu jakamalla ryhmät puolisuoraksi tuloksi ja tutkimalla, miten kierrot ja peilaukset tai siirtopeilaukset konjugoivat ryhmän virittäviä siirtoja. Jokaiselle ryhmälle on annettu myös geometrinen tulkinta.
  • Oksama, Markus (2016)
    Tässä tutkielmassa tarkastellaan intensiteettiprosesseja ja näihin liittyvää estimointiteoriaa. Tarkastelu keskittyy erityisesti moniulotteisiin laskuriprosesseihin ja niiden tulomuotoa $\lambda(t)=\alpha (t)Y(t)$ oleviin intensiteettiprosesseihin.\newline Tutkielma aloitetaan käymällä läpi todennäköisyyslaskennan perusmääritelmiä ja -tuloksia. Tämän jälkeen määritellään martingaalit ja kompensaattorit. Martingaaleja ja kompensaattoreita käsittelevässä luvussa esitellään joitain estimointiteoriassa hyödynnettäviä tuloksia.\newline Seuraavaksi siirrytään estimointiin. Aluksi tarkastelun kohteena on funktion $$A(t)=\int_0^t\alpha(s)\mathrm{d}s$$ estimointi. Tätä varten määritellään Nelson-Aalen -estimaattori ja osoitetaan estimaattorin asymptoottiseen käyttäytymiseen liittyviä tuloksia. Lopuksi tarkastellaan parametrista riippuvia intensiteettiprosesseja. Estimoinnissa käytetään suurimman uskottavuuden menetelmää. Tämän luvun päätulokset käsittelevät suurimman uskottavuuden estimaattorin tarkentuvuutta ja asymptoottista jakaumaa.
  • Sliepen, Marjolein (2016)
    Self-assembled structures of poly(2-isopropyl-2-oxazoline) (PiPOx) and poly(L-lactide) (PLLA) block copolymers in water were studied by dynamic light scattering (DLS) and UV-VIS spectroscopy (UV-VIS). The block copolymers were prepared by azide-alkyne cycloaddition between PiPOx and PLLA homopolymers. The homopolymers were prepared via ring-opening polymerization (ROP) techniques. The kinetics of the cationic ROP of PiPOx was investigated. The self-assembled structures were prepared via four different methods: nanoprecipitation, solvent exchange, dialysis, and thin film rehydration. Self-assembled structures prepared from solvent exchange and dialysis had larger hydrodynamic radii than particles prepared from nanoprecipitation, due to a slower change in solvent quality. According to the Rg/Rh values, spherical structures were formed after nanoprecipitation. When the particles were heated to 50 °C, a sphere-to-rod transition took place. Self-assembled structures prepared via solvent exchange exhibited thermo-responsiveness when the PiPOx block was long enough. Surprisingly, the small structures prepared via nanoprecipitation did not show any thermo-responsiveness.
  • Kekäläinen, Pirkko; Kekäläinen, Pirkko (2016)
    The sampling was done in 2013 during the Integrated Ocean Drilling Program Expedition 347 on two sites in the river Ångermanälven estuary in Sweden. The area has had the highest rate of uplift in Fennoscandia since the last glaciation. The area was freed from ice 10 500 years before present, after which the shore displacement has been notable. The sedimentation environment has changed considerably from an ice proximal setting, through open sea to a less exposed estuary. The varve deposition is an ongoing process in the estuary since several thousands of years, and it has been correlated to annual discharge, which makes the estuary interesting for palaeoenvironmental studies. The aim of the study was to analyze the changes in the grainsize distribution and to link these changes to the environmental changes. The initial subsampling was made in Bremen in 2014 and the analysis in the laboratory of the Department of Geosciences and Geography of the University of Helsinki in 2015. A method, in compliance to the ISO 13320:2009 standard, was used in the laser diffraction particle size analysis. Also the water content and loss-on-ignition (LOI) was determined from selected samples. The results were processed with the statistics program GRADISTAT 8.0. The resulting figures were compared between the sites and displayed as a function of depth. The sediment consists of varying silt and sand deposits, in which both regular and irregular changes were seen. Interpretations of the sedimentation environments were made and compared with the results of earlier studies. At least three sedimentary units were recognized. Within the upper organic rich silt unit, the point of maximum salinity of the Baltic Sea was recognized. Also the effects of the shoreline displacement, as a coarsening of the sediment, with the decreasing distance to the source of the material, were noted. The unit was interpreted to the brackish Litorina Sea stage. The middle unit was more varied and the relationship between the two sites was more complex. A finer sample resolution would have been needed for an accurate interpretation of this unit. However the interpretation was the fresh water stage of the Ancylus Lake. The lower sandy unit showed indications of a glaciofluvial environment and also the change of distance to the source of the material. The interpretation was a fresh water lake and an ice proximal setting. This study utilized material from the CISU-project funded by the Academy of Finland (resolution 281143).
  • Jalas, Marika Emmy Margareta (2016)
    I över 30 år har man vid Olkiluoto undersökt platsens geologi och hydrogeologi för att kunna förutspå hur dessa eventuellt kommer att förändras i framtiden och påverka kärnavfallets slutplacering. En del historia om platsens hydrogeologi kan fås direkt från dagens grundvatten medan frakturmineraler återspeglar de äldre grundvatten de utfällts ifrån. Kalcit är den frakturmineral som mest används i paleohydrogeokemiska studier eftersom den lätt utfälls under många olika förhållanden, inkluderat svala klimat. Kalcit vid Olkiluoto har även tidigare analyserats och datering och gruppering av kalcit utförts. Målet med detta arbete var att närmare analysera spårämnessammansättningen i frakturkalcitprover från tidigare undersökningar, för att förstå grundvattnets inverkan. Speciellt intresse lades vid REE koncentrationer och eventuella anomalier inom dessa. 31 kalcitprover från ett djup på ca 12–660 m under markytan, från 20 olika borrhål analyserades. Kalciten hade utfällts vid pegmatitisk granit, glimmergnejs, migmatitisk glimmergnejs, kvartsgnejs och ådergnejs. Kalciten analyserades med ICP-AES (Agilent MP4100), ICP-MS (Agilent 7500ce/cx) och LA-ICP-MS (Coherent GeoLasPro MV och Agilent 7900s). Av dessa konstaterades ICP-AES vara olämplig för spårämnesanalysering av kalcit. Spårämneskoncentrationerna visade stora variationer. Senare kalcit uppvisade ofta större koncentrationer och mer variation vid ytan än djupare ner. REE koncentrationerna minskade med djup vilket kan ha ett samband med att Ca i grundvattnen ökar med djup. LREE hade större koncentrationer än HREE eftersom mer lösliga HREE lättare stannar kvar i vattnet vid kalcitutfällning medan LREE lägger sig i kalciten. Större LREE koncentrationer kan ha uppstått vid hydrotermiska förhållanden. Kalciten hade vanligtvis negativ Eu anomali men även positiva observerades. Reducerade förhållanden skapar negativa Eu anomalier då Eu3+ övergår till divalent form. De positiva Eu anomalierna kan ha uppstått under hydrotermiska förhållanden eller reflektera berggrundens plagioklas. Ingen direkt inverkan mellan berggrundens och kalcitens spårämnessammansättning kunde dock fastställas. Kalciten saknade oftast Ce anomali förutom närmare markytan var ett antal Ce anomalier hittades vilket kan bero på att Ce3+ vid oxiderande förhållanden övergår till lättlöslig Ce4+. De negativa Ce anomalierna i kalcit från meteoriskt grundvatten kan ha ärvt sin anomali från tidigare havsvatten. Ett färre antal La anomalier uppmättes. Negativa La anomalier kan ha orsakats av att La upptagits av andra mineraler. Kalciten saknade vanligtvis Y anomali förutom den äldsta kalciten som ofta hade positiv Y anomali. Syrliga förhållanden orsakar Fe oxihydroxering och minskar REE i förhållande till Y vilket kan ha orsakat positiva Y anomalier. Reducerande förhållanden kan även ha orsakat de högre Mn och Fe koncentrationer i kalciten medan oxidation kan ha skapat de högre U koncentrationerna. Bakterieaktivitet och lera vid kalcitutfällningen kan ha påverkat Mn koncentrationerna medan utfällning av sulfider kan ha påverkat Fe. U tenderar i grundvattnet att minska med djup samt vid högre salthalt vilket kan ha påverkat kalcitens U koncentration. Variationer av Mg kan ha påverkats av jonbyte. De höga Sr koncentrationerna kan återspegla hydrotermiska förhållanden medan de låga Sr värden kan reflektera låga temperaturer eller utfällning av andra mineraler.
  • Kurki, Eija (2016)
    A sediment core from Lake Svartvatnet, Svalbard, was analysed for the oxygen isotope composition preserved in the head capsules of subfossil chironomid larvae. This provided the basis for reconstructions of past oxygen isotope composition of lake water, past mean annual oxygen isotope composition of local precipitation and the past mean annual air temperature. The reconstructions were made according to calibrations previously established for coastal northeastern North America and continental Europe. The aims of the research were to study long-term natural climate variability in a climatically sensitive area in the Arctic, and to evaluate the utilisation of the aforementioned method in such research, in particular within the environmental parameters of the study location. The core spanned over 5000 years, and the reconstructions show environmental changes related to a relatively stable mid-Holocene period, Little Ice Age, and modern warming. The mean annual temperature results were also compared with reconstructed mean July temperatures from a chironomid assemblage study. The paleotemperature trends proved fairly similar, suggesting that both proxies were principally responding to changes in temperature. This study is part of the first research project to produce paleoecologically inferred Holocene climate data, spanning thousands of years, in southern Spitsbergen.
  • Hämäläinen, Heikki (2016)
    Tämä työ tutkii Clojure-ohjelmointikieltä, joka on erityisesti rinnakkaisohjelmointiin suunniteltu Lisp-kielen murre. Clojure tukee vahvaa liitosta Java-ympäristöön ja sillä kirjoitetut ohjelmat suoritetaan JVM-virtuaalikoneella. Tutkielmassa käydään läpi Lisp-kielten historia, rinnakkaisohjelmoinnin yleiset haasteet ja funktionaalisen ohjelmointiparadigman perusteet. Lisäksi käsitellään Java-kielen ja JVM-virtuaalikoneen ja Clojure-kielen rinnakkaisohjelmointipiirteet. Tutkielman analyysiosassa verrataan Clojuren ja Javan rinnakkaisuusratkaisuja muun muassa tehokkuuden ja käytettävyyden osalta. Clojuren rinnakkaisuusratkaisuista transaktiomuisti osoittautui laskennallisesti hyvin raskaaksi. Lisäksi rinnakkaisratkaisujen lukottomuudesta seuraa se, että tietyt rinnakkaisohjelmointiongelmat ovat hankalia toteuttaa ilman, että käytetään Javan rinnakkaisratkaisuja. Erityisesti synkronisten rinnakkaisratkaisujen osalta kielessä olisi kehittämisen varaa. Javaan verrattuna Clojuren rinnakkaisuusratkaisut ovat hieman yksinkertaisempia käyttää. Tämä johtuu kuitenkin pitkälle Clojuren dynaamisesta tyypityksestä ja funktionaalisesta perusrakenteesta.
  • Latva-Äijö, Salla-Maaria (2016)
    Optimization of contrast enhanced CT (computed tomography) of the intra-abdominal lymphatic system in the case of a chylous leakage is the subject of the study. The chylous leakage means a pathologic condition, where the lymphatic liquid (chyle) leaks out from the vessels of the lymphatic system in intra-abdominal space. The diagnose is rare. CT imaging is based on a different attenuation of the X-rays when they are penetrating through tissues of different kind. Tissues with greater density, like iodine, make the attenuation stronger and they can be used to improve the contrast in the image. Iodinated contrast enhancing agent Lipiodol was chosen for this study for increasing contrast in the CT images of the intestines. The right ratio of the Lipiodol–oil mixing was searched so that the agent would end up in the lymphatic system. The idea was to visualize the lymphatic system and spot the leakage point. This could be useful information when thinking about the follow-up treatment, especially in the case of surgical operation. The examinations were implemented by imaging plastic phantoms with CT device. The CT images were taken with head and torso phantoms, including different mixing ratios of Lipiodol–oil mixtures. The most suitable mixing ratio of Lipiodol and oil was then estimated from the taken phantom pictures. After that, the results were taken in use with two chylous leakage patients, a 70-yearold male patient and a pediatric patient. The CT images of the patients were analysed with ImageJ program. The contrast enhancement when using the Lipiodol contrast enhancing agent was excellent, about 300-400 HU with 120 kV tube voltage. The suitable mixing ratio of the Lipiodol–oil mixture was estimated to be 1:8 with the adult patient and 1:10 with the pediatric patient. The leakage point could not be localized from the CT images. Reason for that might have been the image timing with the pediatric patient. She might have an exceptional rate of fat metabolism, because of her inborn malformations of the intestines. The biokinetical variations and variability of the mixing ratio in the different parts of the intestines also increase the uncertainty of the results of the study. The basic principle of Lipiodol as the contrast enhancing agent has now been tested and the properties of it have been found suitable for similar visualization examinations. The protocol for chylous leakage imaging can be developed and tested further when suitable patients will appear.
  • Nissinen, Antti (2016)
    Tutkielmassa tarkastelen avoimia matemaattisia tehtäviä sekä matematiikan opettamista ja arviointia peruskoulun yläluokilla avoimia tehtäviä käyttämällä. Tehtävä on avoin, kun sen alku- tai lopputilanne ei ole tarkasti määritelty. Ratkaisija joutuu tekemään prosessin aikana valintoja saadakseen tehtävän ratkaistua. Avoimella ongelmatehtävällä voi olla useita oikeita ratkaisuja. Tutkielman alussa kerron avoimista tehtävistä ja esittelen erilaisia avoimia tehtävätyyppejä. Seuraavaksi esittelen oppimiskäsitysten teoriaa ja perustelen avoimien ongelmien käyttöä peruskoulun matematiikan opetuksen osana. Avoimen ongelman ratkaisija käyttää hyväkseen aiemmin oppimaansa tietoa ja kokemuksiaan samantyyppisistä ongelmista. Ratkaisut ovat tekijän näkökulmasta ainutlaatuisia. Avoimet ongelmat mahdollistavat oivaltamisen hetkiä, ja niiden tekeminen tukee oppijan matemaattista minäkuvaa ja kokemusta hyväksynnästä. Neljäs luku sisältää teoriaa ja pohdintaa ongelmanratkaisun ja avoimilla ongelmilla opettamisen keinoista sekä ohjeita avoimien tehtävien laatimiseen. Ongelmanratkaisu on käytännön taito, jossa kehittyminen vaatii runsasta harjoittelua. Opettajan rooli monimutkaistuu avointa ongelmanratkaisua opetettaessa, koska oikeita ratkaisuja ja ratkaisukeinoja on useita. Opetustilanteista tulee vähemmän ennustettavia. Lisäksi kerron opetuskokemuksistani avoimien ongelmien parissa. Lopuksi pohdin oppimisen arviointia muun muassa avoimien ongelmien näkökulmasta ja Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014 huomioiden. Kuvailen myös joitakin tutkielman aiheeseen liittyviä haasteita.
  • Nykänen, Annika (2016)
    Tämän tutkielman tavoitteena on käydä läpi Riemannin integraali sekä Riemann-Stieltjesin integraali määritelmineen ja perusominaisuuksineen. Tutkielma on rakennettu siten, että ensimmäinen luku on johdantoluku, jossa lukija johdatetaan aiheeseen ja esitellään tutkielmassa käytetyt lähteet. Toisessa luvussa muistutetaan lukijaa Riemannin integraalin määritelmästä, jonka jälkeen esitellään Riemannin integraaliin liittyviä muutamia perusominaisuuksia. Tutkielman ensimmäinen pääluku on kolmas luku, jossa määritellään Riemann-Stieltjesin integraali Riemann-tyyppisten summien avulla. Lisäksi kolmannessa luvussa esitellään lineaariominaisuuksia summille sekä Riemann-Stieltjesin integraalin kaksi hyödyllistä laskumenetelmää; osittaisintegrointi sekä muuttujanvaihto. Neljännessä luvussa esitellään yksi keskeisimmistä funktioiden luokista, kun on kyse RiemannStieltjesin integraalista, nimittäin porrasfunktiot. Porrasfunktioihin liittyy läheisesti Eulerin summalause, joka käydään myös läpi luvussa. Tutkielman viidennessä luvussa palataan taas Riemann-Stieltjesin integraalin vaihtoehtoisiin määritelmiin, mutta tällä kertaa ylä- ja alaintegraalien avulla. Tässä luvussa käsitellään myös Riemann-Stieltjesin integraalin erikoistapaus, joka lopulta johtaa reduktioon Riemannin integraaliin. Luvun lopussa käsitellään funktioiden rajoitettua heilahtelevuutta ja sen yhteyttä Riemann-Stieltjesin integraaliin. Kuudennessa luvussa esitellään riittävät ja välttämättömät ehdot Riemann-Stieltjesin integraalin olemassaololle. Tutkielman viimeisessä luvussa esitellään muutamia esimerkkejä Riemannin integraalin käytöstä ja esimerkkejä funktioista, joissa Riemannin integraalia ei voida käyttää, mutta Riemann-Stieltjesin integraalia voi. Tällaisia funktioita ovat muun muassa neljännessä luvussa esitellyt porrasfunktiot.