# Fine structure of measures

 dc.contributor Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, matematiikan ja tilastotieteen laitos fi dc.contributor Helsingfors universitet, matematisk-naturvetenskapliga fakulteten, institutionen för matematik och statistik sv dc.contributor University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics en dc.contributor.author Sahlsten, Tuomas fi dc.date.accessioned 2012-09-28T11:18:08Z dc.date.available 2012-10-10 fi dc.date.available 2012-09-28T11:18:08Z dc.date.issued 2012-10-20 fi dc.identifier.uri URN:ISBN:978-952-10-8273-3 fi dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/10138/36969 dc.description.abstract The main goal of this dissertation is to study the local distribution and irregularities of measures in mostly Euclidean setting. The research belongs to the field of Geometric Measure Theory. The thesis consists of an overview and three refereed research articles. The first article concerns the relationship between Hausdorff- and packing dimensions of measures and the local distribution of measures. There are many ways to quantify local distribution and here we consider local homogeneity, conical densities and porosity. Historically, there have already been many results for these notions of local distribution, but our contribution is to generalize and simplify many of the earlier results, and most importantly, provide a unified framework where such results could be proved. This framework is based on local entropy averages, a recently introduced way to calculate dimensions of measures inspired by dynamical systems. In the second and third articles we consider another notion that describes the local irregularities of measures: tangent measures. Tangent measures were rigorously defined and studied by D. Preiss in 1987 and they provided a powerful tool in the study of rectifiability. In this thesis we consider the possible relationship between tangent measures and the original measure. Our motivation is to strengthen the heuristics that it is not in general possible to deduce information from just the tangent measures of the underlying measure without further assumptions from the measure. In the second paper we construct a highly singular measure, a non-doubling measure, for which every tangent measure is equivalent to Lebesgue measure. The existence of such a measure provides a natural extension to a previous result by Preiss and it also provides a direct counterexample to the characterisation of porosity with tangent measures for general measures, which was previously unknown. In the third paper we prove that for a typical measure in the Euclidean space, in the sense of Baire category, the set of tangent measures consists of all non-zero measures at almost every point with respect to the underlying measure. This result was already proved by T. O'Neil in this PhD thesis from 1994, but we provide another self-contained proof using different techniques. Moreover, we record previously unknown corollaries and sharpen the result by T. O'Neil. Furthermore, we are able to use similar ideas in the setting of micromeasures, which are a symbolic way to define tangent measures in trees, and prove an analogous result in this setting. en dc.description.abstract Mitat ovat modernin matematiikan yksi keskeisimmistä työkaluista. Niiden avulla voidaan luonnollisesti kuvailla massan jakautumista joukoissa ja ne ovat mahdollistaneet matemaattisen analyysin ja todennäköisyysteorian muovautumisen nykyiseen muotoonsa. Näin mitat ovat myös keskeisessä roolissa monissa sovelluksissa, kuten fysiikassa, biologiassa, tilastotieteissä ja taloustieteissä. Väitöskirjassa tarkastellaan erityisesti mittojen geometrisia ominaisuuksia. Päätulokset koskevat mittojen hienorakennetta ja eri tapoja liittää mittojen paikallinen käyttäytyminen niiden globaaliin rakenteeseen. Väitöskirja koostuu yleistajuisesta johdannosta ja kolmesta vertaisarvioidusta tieteellisestä artikkelista. Ensimmäinen artikkeli käsittelee mittojen dimensioiden ja massan jakautumisen yhteyksiä. Massan jakautumista voidaan kuvailla monilla eri tavoilla ja tässä väitöskirjassa käytämme jakautumista kuvailemaan lokaalia homogeenisuutta, kartiotiheyksiä ja huokoisuutta. Jo pitkään ennen väitöskirjan laatimista on ollut tiedossa monia tuloksia liittyen dimensioiden ja massan jakautumisen yhteyksiin mutta tässä väitöskirjassa yleistämme ja yksinkertaistamme monia aikaisempia tuloksia. Lisäksi ehkä tärkein panoksemme on rakentaa uusi yhtenäinen työympäristö, jota käytimme kaikkien tuloksiemme todistamiseen. Tämä työympäristö perustuu niin sanottuihin lokaaleihin entropiakeskiarvoihin, jotka ovat saaneet inspiraationsa dynaamisten systeemien teoriasta. Toisessa ja kolmannessa artikkelissa käsittelemme mittojen tangenttimittoja. Tangenttimitat ovat eräänlaisia mittojen derivaattamittoja ja niiden avulla voi kuvailla mittojen hienorakennetta. Tangenttimittojen tutkimus alkoi D. Preissin vuonna 1987 julkaistusta tutkimuksesta, jossa hän määritteli ja tutki systemaattisesti tangenttimittoja. Preissin tekniikat olivat merkittäviä, sillä ne soveltuivat luonnollisesti niin sanottujen suoristuvien joukkojen teoriaan. Tämän väitöskirjan motivaatio on tutkia miten tangenttimitat liittyvät alkuperäisen mitan ominaisuuksiin. Erityisesti päämääränä on vahvistaa heuristiikkaa siitä, ettei mitan globaalista rakenteesta voi yleisesti päätellä mitään vain mitan tangenttimittojen avulla ellei mitan rakenteesta oleta jo alunperin jotain. Väitöskirjan toisessa artikkelissa rakennamme hyvin epäsäännöllisen mitan, niin sanotun epätuplaavan mitan, jonka kaikki tangenttimitat ovat hyvin säännöllisiä: ne ovat ekvivalentteja Lebesguen mitan kanssa. Tämä tulos laajentaa luonnollisesti Preissin aikaisempaa vastaavaa tulosta ja myös osoittaa, ettei mittojen huokoisuutta voi karakterisoida tangettimittojen avulla yleisesti. Kolmannessa artikkelissa osoitamme, että tyypillisellä mitalla tangenttimitat ovat kaikki sallitut mitat melkein kaikissa pisteissä mitan suhteen. Tuloksen oli kuitenkin osoittanut T. O'Neil väitöskirjassaan vuodelta 1994 mutta tässä väitöskirjassa esitämme sille uuden itsenäisen todistuksen. Näytämme myös ennestään tuntemattomia seurauksia ja pystymme sanomaan jotain tuloksen tarkkuudesta. Lisäksi tutkimme symbolisia tangenttimittoja mitoille puissa - niin sanottuja mikromittoja - ja osoitamme analogisen ominaisuuden tyypillisten mittojen mikromitoille. fi dc.format.mimetype application/pdf fi dc.language.iso en fi dc.publisher Helsingin yliopisto fi dc.publisher Helsingfors universitet sv dc.publisher University of Helsinki en dc.relation.isformatof URN:ISBN:978-952-10-8272-6 fi dc.relation.isformatof Helsinki: 2012 fi dc.rights Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty. fi dc.rights This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited. en dc.rights Publikationen är skyddad av upphovsrätten. Den får läsas och skrivas ut för personligt bruk. Användning i kommersiellt syfte är förbjuden. sv dc.subject matematiikka fi dc.title Fine structure of measures en dc.title.alternative Mittojen hienorakenne fi dc.type.ontasot Väitöskirja (artikkeli) fi dc.type.ontasot Doctoral dissertation (article-based) en dc.type.ontasot Doktorsavhandling (sammanläggning) sv dc.ths Mattila, Pertti fi dc.opn Buczolich, Zoltán fi dc.type.dcmitype Text fi