Yliopiston etusivulle Suomeksi På svenska In English Helsingin yliopisto

Peiteavaruuksien luokittelu ja Seifertin-van Kampenin lause

Show full item record

Files in this item

Files Size Format View

There are no files associated with this item.

Use this URL to link or cite this item: http://hdl.handle.net/10138/37085
Vie RefWorksiin
Title: Peiteavaruuksien luokittelu ja Seifertin-van Kampenin lause
Author: Björkqvist, Jan-Victor
Contributor: Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Thesis level:
Abstract: Ensimmäisenä päätuloksena tutkielmassa luokitellaan yhtenäisten, lokaalisti polkuyhtenäisten ja semilokaalisti yhdesti yhtenäisten avaruuksien kaikki yhtenäiset peiteavaruudet isomorfiaa vaille. Ensin näytetään, että peiteavaruuden perusryhmän kuva peitekuvauksen indusoimassa homomorfismissa määrää peiteavaruuden isomorfiaa vaille. Peiteavaruuksien luokittelua varten määritellään kaksi ryhmän toimintaa. Koko peiteavaruudessa toimii peiteavaruuden automorfismiryhmä $Aut(\tilde{X}, p)$, ja kantapisteen säikeessä $p^{-1}(x_0)$ toimii lisäksi kanta-avaruuden perusryhmä $\pi (X,x_0)$. Lisäksi osoitetaan, että yhdesti yhtenäisen peiteavaruuden tapauksessa nämä kaksi ryhmää ovat isomorfiset. Nyt jokainen perusryhmän aliryhmä $H \leq \pi(X,x_0)$ on isomorfinen automorfismiryhmän jonkun aliryhmän $\tilde{H} \leq Aut(\tilde{Y},q)$ kanssa. Lopuksi osoitetaan, että aliryhmän $\tilde{H}$ toiminnan muodostama rata-avaruus on kanta-avaruuden peiteavaruus, ja että sen perusryhmän kuva peitekuvauksen indusoimassa homomorfismissa on täsmälleen aliryhmä $H$. \\

Toisena päätuloksena on Seifertin-van Kampenin lause. Lause kertoo että mikäli avaruus voidaan esittää kahden avoimen joukon yhdisteenä $X = U_1 \cup U_2$ ja se täyttää alussa mainitut yhtenäisyysoletukset, niin sen perusryhmällä on tietty universaaliominaisuus. Tarkemmin, mikäli meillä on inkluusioiden indusoimat homomorfismit $i_i_*: \pi(U_1 \cap U_2) \rightarrow \pi(U_i)$, $j_i_*: \pi(U_i) \rightarrow \pi(X)$ joille pätee $j_1_* \circ i_1_* = j_2_* \circ i_2_*$, sekä homomorfismit $h_i: \pi(U_i) \rightarrow G$ mielivaltaiselle ryhmälle $G$, niin on olemassa yksikäsitteinen homomorfismi $h: \pi(X) \rightarrow G$ joka täyttää ehdot $h_1 = h \circ j_1_*$ ja $h_2 = h \circ j_2_*$.\\

Todistus nojaa $G$-peiteavaruuksien teoriaan. Perusideana on ensin näyttää, että mikäli $G$ on mikä tahansa ryhmä, niin jokaista homomorfismia $k: \pi(X) \rightarrow G$ vastaa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen avaruuden $X$ $G$-peiteavaruus. Vastaavasti jokaista $G$-peiteavaruutta vastaa yksikäsitteinen homomorfismi perusryhmältä ryhmälle $G$. Ehto $j_1_* \circ i_1_* = j_2_* \circ i_2_*$ tulee takaamaan, että avaruudelle $X$ voidaan muodostaa $G$-peiteavaruus, jota vastaa haluttu yksikäsitteinen homomorfismi $h: \pi(X) \rightarrow G$. Tämän jälkeen näytetään että homomorfismeja $h_i$ ja $h \circ j_i_*$ vastaavat $G$-peiteavaruudet ovat isomorfiset, josta seuraa että $h_i = h \circ j_i_*$ kaikilla $i \in \lbrace1,2 \rbrace$. \\

Universaaliominaisuutta käyttäen voidaan muodostaa surjektiivinen ryhmähomomorfismi perusryhmien $\pi(U_1)$ ja $\pi(U_2)$ vapaalle tulolle $\Gamma: \pi(X) \rightarrow \pi(U_1) * \pi(U_2)$, jolloin saamme isomorfismin $\pi(X) \cong \pi(U_1) * \pi(U_2)/Ker(\Gamma)$. Kuvauksen ydintä ei lasketa yleisessä tapauksessa, vaan tyydytään erikoistapaukseen, jolloin $\pi(U_2)=0$. Tällöin ydin on kuvajoukon $Im(i_1_*)$ virittämä aliryhmä $Ker(\Gamma) = \langle Im(i_1_*)\rangle$.\\

Lopuksi käytetään $G$-peiteavaruuksien teoriaa sekä Seifertin-van Kampenin lausetta perusryhmien laskemiseen. Tutkielmassa määritetään perusryhmät 1-monistoille $S^1$, $S^1 V S^1$, sekä 2-monistoille $S^2$, projektiiviselle tasolle, torukselle, Kleinin pullolle sekä Möbiuksen nauhalle.
Description: Vain tiivistelmä. Opinnäytteiden arkistokappaleet ovat luettavissa Helsingin yliopiston kirjastossa. Hae HELKA-tietokannasta (http://www.helsinki.fi/helka/index.htm).Abstract only. The paper copy of the whole thesis is available for reading room use at the Helsinki University Library. Search HELKA online catalog (http://www.helsinki.fi/helka/index.htm).Endast avhandlingens sammandrag. Pappersexemplaret av hela avhandlingen finns för läsesalsbruk i Helsingfors universitets bibliotek. Sök i HELKA-databasen (http://www.helsinki.fi/helka/index.htm).
URI: http://hdl.handle.net/10138/37085
Date: 2012-10-04
This item appears in the following Collection(s)

Show full item record

Search Helda


Advanced Search

Browse

My Account