Yliopiston etusivulle Suomeksi På svenska In English Helsingin yliopisto

Peiteavaruuksien luokittelu ja Seifertin-van Kampenin lause

Show simple item record

dc.contributor Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Matematiikan ja tilastotieteen laitos fi
dc.contributor.author Björkqvist, Jan-Victor fi
dc.date.accessioned 2012-10-04T12:00:38Z
dc.date.available 2012-10-04T12:00:38Z
dc.date.issued 2012-10-04
dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/10138/37085
dc.description Vain tiivistelmä. Opinnäytteiden arkistokappaleet ovat luettavissa Helsingin yliopiston kirjastossa. Hae HELKA-tietokannasta (http://www.helsinki.fi/helka/index.htm). fi
dc.description Abstract only. The paper copy of the whole thesis is available for reading room use at the Helsinki University Library. Search HELKA online catalog (http://www.helsinki.fi/helka/index.htm). en
dc.description Endast avhandlingens sammandrag. Pappersexemplaret av hela avhandlingen finns för läsesalsbruk i Helsingfors universitets bibliotek. Sök i HELKA-databasen (http://www.helsinki.fi/helka/index.htm). sv
dc.description.abstract Ensimmäisenä päätuloksena tutkielmassa luokitellaan yhtenäisten, lokaalisti polkuyhtenäisten ja semilokaalisti yhdesti yhtenäisten avaruuksien kaikki yhtenäiset peiteavaruudet isomorfiaa vaille. Ensin näytetään, että peiteavaruuden perusryhmän kuva peitekuvauksen indusoimassa homomorfismissa määrää peiteavaruuden isomorfiaa vaille. Peiteavaruuksien luokittelua varten määritellään kaksi ryhmän toimintaa. Koko peiteavaruudessa toimii peiteavaruuden automorfismiryhmä $Aut(\tilde{X}, p)$, ja kantapisteen säikeessä $p^{-1}(x_0)$ toimii lisäksi kanta-avaruuden perusryhmä $\pi (X,x_0)$. Lisäksi osoitetaan, että yhdesti yhtenäisen peiteavaruuden tapauksessa nämä kaksi ryhmää ovat isomorfiset. Nyt jokainen perusryhmän aliryhmä $H \leq \pi(X,x_0)$ on isomorfinen automorfismiryhmän jonkun aliryhmän $\tilde{H} \leq Aut(\tilde{Y},q)$ kanssa. Lopuksi osoitetaan, että aliryhmän $\tilde{H}$ toiminnan muodostama rata-avaruus on kanta-avaruuden peiteavaruus, ja että sen perusryhmän kuva peitekuvauksen indusoimassa homomorfismissa on täsmälleen aliryhmä $H$. \\ Toisena päätuloksena on Seifertin-van Kampenin lause. Lause kertoo että mikäli avaruus voidaan esittää kahden avoimen joukon yhdisteenä $X = U_1 \cup U_2$ ja se täyttää alussa mainitut yhtenäisyysoletukset, niin sen perusryhmällä on tietty universaaliominaisuus. Tarkemmin, mikäli meillä on inkluusioiden indusoimat homomorfismit $i_i_*: \pi(U_1 \cap U_2) \rightarrow \pi(U_i)$, $j_i_*: \pi(U_i) \rightarrow \pi(X)$ joille pätee $j_1_* \circ i_1_* = j_2_* \circ i_2_*$, sekä homomorfismit $h_i: \pi(U_i) \rightarrow G$ mielivaltaiselle ryhmälle $G$, niin on olemassa yksikäsitteinen homomorfismi $h: \pi(X) \rightarrow G$ joka täyttää ehdot $h_1 = h \circ j_1_*$ ja $h_2 = h \circ j_2_*$.\\ Todistus nojaa $G$-peiteavaruuksien teoriaan. Perusideana on ensin näyttää, että mikäli $G$ on mikä tahansa ryhmä, niin jokaista homomorfismia $k: \pi(X) \rightarrow G$ vastaa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen avaruuden $X$ $G$-peiteavaruus. Vastaavasti jokaista $G$-peiteavaruutta vastaa yksikäsitteinen homomorfismi perusryhmältä ryhmälle $G$. Ehto $j_1_* \circ i_1_* = j_2_* \circ i_2_*$ tulee takaamaan, että avaruudelle $X$ voidaan muodostaa $G$-peiteavaruus, jota vastaa haluttu yksikäsitteinen homomorfismi $h: \pi(X) \rightarrow G$. Tämän jälkeen näytetään että homomorfismeja $h_i$ ja $h \circ j_i_*$ vastaavat $G$-peiteavaruudet ovat isomorfiset, josta seuraa että $h_i = h \circ j_i_*$ kaikilla $i \in \lbrace1,2 \rbrace$. \\ Universaaliominaisuutta käyttäen voidaan muodostaa surjektiivinen ryhmähomomorfismi perusryhmien $\pi(U_1)$ ja $\pi(U_2)$ vapaalle tulolle $\Gamma: \pi(X) \rightarrow \pi(U_1) * \pi(U_2)$, jolloin saamme isomorfismin $\pi(X) \cong \pi(U_1) * \pi(U_2)/Ker(\Gamma)$. Kuvauksen ydintä ei lasketa yleisessä tapauksessa, vaan tyydytään erikoistapaukseen, jolloin $\pi(U_2)=0$. Tällöin ydin on kuvajoukon $Im(i_1_*)$ virittämä aliryhmä $Ker(\Gamma) = \langle Im(i_1_*)\rangle$.\\ Lopuksi käytetään $G$-peiteavaruuksien teoriaa sekä Seifertin-van Kampenin lausetta perusryhmien laskemiseen. Tutkielmassa määritetään perusryhmät 1-monistoille $S^1$, $S^1 V S^1$, sekä 2-monistoille $S^2$, projektiiviselle tasolle, torukselle, Kleinin pullolle sekä Möbiuksen nauhalle. fi
dc.language.iso fi fi
dc.title Peiteavaruuksien luokittelu ja Seifertin-van Kampenin lause fi
dc.type.ontasot Pro gradu -työ fi
dc.subject.discipline Matematiikka fi

Files in this item

Files Size Format View

There are no files associated with this item.

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record

Search Helda


Advanced Search

Browse

My Account