Dyadic systems in doubling metric spaces and applications to positive integral operators

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-10-8791-2
Title: Dyadic systems in doubling metric spaces and applications to positive integral operators
Author: Kairema, Anna
Contributor organization: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, matematiikan ja tilastotieteen laitos
Helsingfors universitet, matematisk-naturvetenskapliga fakulteten, institutionen för matematik och statistik
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2013-05-17
Language: eng
URI: http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-10-8791-2
http://hdl.handle.net/10138/38889
Thesis level: Doctoral dissertation (article-based)
Abstract: This dissertation brings contribution to two interrelated topics. The first contribution concerns the so-called systems of dyadic cubes in the context of metric spaces. Second contribution is applications to one and two weight norm inequalities for linear and sublinear positive integral operators. Both of the topics are important in harmonic analysis and an ongoing area of study. The main novelties of the presented works consist of improving and extending existing results into more general frameworks. The work consists of four research articles and an introductory part. The first two articles, written in collaboration with T. Hytönen, study systems of dyadic cubes in metric spaces. In the Euclidean space, dyadic cubes are well-known and define a convenient structure with useful covering and intersection properties. Such dyadic structures are central especially in the modern trend of harmonic analysis. In the first article extensions of these structures are constructed in general geometrically doubling metric spaces. These consist of a refinement of existing constructions and a completely new construction of finitely many adjacent dyadic systems which behave like "translates" of a fixed system but without requiring a group structure. In this context, "cubes" are not properly cubes but rather more complicated sets that collectively have properties reminiscent of those in the Euclidean case. However, it is natural to ask what type of sets could or should be regarded cubes. In the second paper, we give a complete answer to this question in the general framework of a geometrically doubling metric space making use of the "plumpness" notion already appeared in the geometric measure theory. From another side; the two latter articles study weighted norm inequalities. Via the new construction of adjacent dyadic systems, weighted estimates for positive integral operators are obtained in a general framework. In the third paper, the two-weight problem is investigated for potential-type operators. Both strong and weak type estimates are characterized by "testing type" conditions: to show the full norm inequality it suffices to test the desired estimate on a specific class of simple test functions only. The results improve some previous results in the sense that the considered ambient space is more general (with more general measures and no additional geometric assumptions) and the testing is over a countable collection of test function only (instead of a significantly larger collection appearing in the previous works on the topic). The main technical novelty of the proof is a decomposition of the operator, along dyadic systems giving rise to certain finitely many "dyadic" versions of the original operator. In the fourth article, the focus is on sharp constant estimates for generalized fractional integral operators. A positive answer and its sharpness are given in the context of a space of homogeneous type. The result is reduced to weak-type inequalities using the results in the third paper. The sharpness requires a construction of functions that locally behave similarly to the basic power functions on the Euclidean space. The result extends a recent Euclidean result. Keywords: dyadic cube, adjacent dyadic systems, metric space, space of homogeneous type, potential type operator, testing condition, weighted norm inequality, sharp boundVäitöskirja kuuluu matemaattisen analyysin tutkimusalaan ja tarkemmin harmonisen analyysin piiriin. Väitöskirjan alkuosassa rakennetaan koneisto ja menetelmät työn jälkimmäisen osuuden tarkasteluille. Pääasiallinen tutkimuskohde ovat painotetut normiepäyhtälöt positiivisille integraalioperaattoreille metrisen avaruuden kontekstissa. Operaattori on matematiikassa muunnoslaki, joka muuntaa funktion uudeksi funktioksi. Tämän aihepiirin yleinen tutkimusongelma on selvittää, millä ehdoilla operaattori on rajoitettu ja tarkemmin, millä ehdoilla sen kokoa kuvaavalle suureelle, eli normille, saadaan arvioita painotetuilla funktioavaruuksilla. Väitöskirja sisältää neljä tutkimusartikkelia ja johdanto-osion. Kaksi ensimmäistä artikkelia, jotka on laadittu yhteistyössä T. Hytösen kanssa, käsittelevät niin kutsuttuja dyadisia kuutioita. Tavanomaisessa Euklidisessa koordinaattigeometriassa dyadisten kuutioiden perhe on erityinen erikokoisista kuutioista muodostuva kokoelma, jolla on analyysin kannalta hyödyllisiä peite- ja sisältymisominaisuuksia. Viimeaikaisessa tutkimuksessa on hyödynnetty rinnakkaisia kuutiosysteemejä ja kuutioiden satunnaistamista. Näihin liittyvät menetelmät ovat mahdollistaneet jopa tieteellisiä läpimurtoja. Väitöskirjan ensimmäisessä artikkelissa tämä koneisto rakennetaan yleisiin geometrisesti tuplaaviin metrisiin avaruuksiin. Tuloksiin kuuluvat tunnettuja tuloksia yleistävät ja parantavat konstruktiot ja toisaalta aivan uusi rinnakkaisten kuutiosysteemien konstruktio. Koska kuutioiden siirtäminen ei ole mahdollista yleisissä metrisissä avaruuksissa, väitöskirjassa kehitetään uusi Euklidisesta teoriasta poikkeava metodi. Metrisen avaruuden tilanteessa "kuutiot" eivät oikeastaan ole kuutioita vaan monimutkaisempia joukkoja, joilla on ryhmänä oleellisesti samat ominaisuudet kuin Euklidisilla dyadisilla kuutioilla. On kuitenkin mielenkiintoinen kysymys, millaiset joukot voitaisiin tai pitäisi tulkita dyadisiksi kuutioiksi. Toisessa artikkelissa annetaan vastaus tähän kysymykseen. Väitöskirjan jälkimmäisessä osuudessa tarkastellaan painotettuja normiepäyhtälöitä. Kolmannen artikkelin päätuloksena ratkaistaan niin sanottu kahden painon ongelma potentiaalioperaattoreille metrisissä avaruuksissa ja näytetään, että operaattorin rajoittuneisuuden osoittamiseksi riittää tutkia sen käyttäytymistä vain tietyillä yksinkertaisilla testifunktioilla. Tärkein käytetyistä uusista teknisistä komponenteista on rinnakkaisten kuutiosysteemien hyödyntäminen. Tulokset yleistävät aikaisempia tuloksia yleisempiin metrisiin mitta-avaruuksiin. Neljännessä artikkelissa tarkastellaan Rieszin potentiaalia, joka on tärkeä erikoistapaus potentiaalioperaattorista. Päätuloksena ratkaistaan yhden painon ongelma homogeenisessa metrisessä avaruudessa. Tulos antaa tarkan riippuvuuden operaattorin normin ja painovakion välillä. Tätä varten osoitetaan lokaalisti Euklidisten potenssifunktioiden tavoin käyttäytyvien funktioiden olemassaolo, mikä on täysin uusi konstruktio. Tulos yleistää aikaisemmin vain Euklidisen avaruuden tilanteessa tunnettua tulosta. Avainsanat: dyadinen kuutio, rinnakkaiset dyadiset systeemit, metrinen avaruus, homogeeninen avaruus, potentiaalioperaattori, testiehto, painotettu normiepäyhtälö, tarkka normiarvio
Subject: mathematics
Rights: Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
kairema_dissertation.pdf 479.0Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record