Phase transitions and continuity properties of some random multifractal measures

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-10-8802-5
Title: Phase transitions and continuity properties of some random multifractal measures
Author: Webb, Christian
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2013-05-23
Language: en
URI: http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-10-8802-5
http://hdl.handle.net/10138/38941
Thesis level: Doctoral dissertation (article-based)
Abstract: The thesis is about random measures whose density with respect to the Lebesgue measure is the exponential of a Gaussian field with a short range logarithmic singularity in its covariance. Such measures are a special case of Gaussian multiplicative chaos. This type of measures arise in a variety of physical and mathematical models. In physics, they arise as the are measure of two-dimensional Liouville quantum gravity and Gibbs measures in certain simple disordered systems. From a mathematical point of view, they are related to extreme value statistics of random variables with logarithmic correlations and are interesting as such from the point of view of random geometry. Questions addressed in the thesis are how to properly define such measures and some geometric properties of these measures. Defining these measures is non-trivial since due to the singularity in the covariance, the field can only be interpreted as a random distribution and not as a random function. It turns out that after a suitable regularization of the field and normalization of the measure, a limiting procedure yields a non-trivial limit object. This normalization is a delicate procedure and at a certain value of the variance of the field, the behavior of this normalization changes drastically - a phase transition occurs. Once the measure is constructed, some simple geometric and probabilistic properties of these measures are considered. Relevant questions are for example: does the measure possess atoms, if not what is its modulus of continuity, what is the probability distribution of the measure of a set.Työssä tukitaan satunnaisgeometriaa satunnaismittojen näkökulmasta. Tarkemmin ottaen mitta on pituuden, pinta-alan ja tilavuuden käsitteen yleistys ja tässä työssä tutkitaan tilannetta, jossa normaalia pituutta painotetaan termillä, jonka logaritmi on Gaussinen satunnaismuuttuja. Lisäksi tämä Gaussinen satunnaismuuttuja riippuu myös avaruuden pisteestä, jossa pituutta painotetaan. Tämä riippuvuus on sellaista, että eri pisteisiin liitettyjen satunnaismuuttujien välinen korrelaatio riippuu pisteiden välisen etäisyyden logaritmista. Tällaisia mittoja esiintyy erilaisissa fysiikan sekä matematiikan malleissa. Fysiikassa tällaiset mitat voidaan tulkita pinta-alamitoiksi kaksiulotteisessa kvanttigravitaatiossa. Lisäksi tällaisia mittoja esiintyy epäjärjestyneiden systeemien teoriassa: ne kuvaavat tasapainojakaumaa mallissa, jossa hiukkanen liikkuu epäpuhtauksien synnyttämässä potentiaalienergiakentässä. Keskeisiä kysymyksiä ovat tällaisten mittojen täsmällinen määrittely sekä niiden ominaisuudet. Ongelmallista tällaisten mittojen täsmällisessä määrittelyssä on se, että tämän tyyppisiä Gaussisia satunnaismuuttujia ei voi tulkita satunnaisena funktiona sellaisenaan, joten ei ole selvää kuinka mitta pitäisi täsmällisesti määritellä. Työssä tutkitaan erilaisia tapoja approksimoida tällaisia objekteja satunnaisten funktioden avulla. Osoittautuu, että kun tämä approksimaatio tehdään yhä hienommin ja hienommin, sopivalla normalisaatiolla saadaan rajankäynnillä, matemaattisesti täsmällisesti määritelty objekti. Lisäksi huomataan, että tämä sopiva normalisaatio riippuu näiden Gaussisten satunnaismuuttujien keskihajonnasta. Tarkemmin ottaen, on olemassa yksi piste, jossa tämän normalisaation käyttäytyminen muuttuu radikaalisti. Fysiikan kielellä tämän voi tulkita faasitransitiona. Kun mitta on hyvin määritelty, keskeisiä kysymyksiä ovat sen geometriset ominaisuudet. Esimerkiksi on luontevaa kysyä, että mitä voidaan sanoa välin satunnaismitasta, kun tunnetaan sen pituus (normaalissa geometriassa). Tässä työssä tätä kysymystä varten tarkastellaan välin mitan todennäköisyysjakaumaa ja annetaan satunnaisuudesta riippuvia arvioita välin mitasta (tarkemmin sanottuna, tutkitaan mitan jatkuvuusmodulia).
Subject: matematiikka
Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
webb_dissertation.pdf 611.7Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record