On geometry of Mandelbrot cascades and multiplicative chaos at criticality

Visa fullständig post



Permalänk

http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-10-9909-0
Titel: On geometry of Mandelbrot cascades and multiplicative chaos at criticality
Författare: Nikula, Miika
Medarbetare: Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, matematiikan ja tilastotieteen laitos
Helsingfors universitet, matematisk-naturvetenskapliga fakulteten, institutionen för matematik och statistik
University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Utgivare: Helsingin yliopisto
Datum: 2014-05-17
Språk: en
Permanenta länken (URI): http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-10-9909-0
http://hdl.handle.net/10138/44977
Nivå: Doktorsavhandling (sammanläggning)
Abstrakt: Mandelbrot cascades and multiplicative chaos are two related natural constructions of random multifractal measures, or rather families of such measures indexed by a single real parameter. While these models were first defined decades ago, they have recently become topical again after they were applied in the field of planar random geometry. In that context, multiplicative chaos provides one rigorous way of defining the exponential of the Gaussian free field. Typically, for a Mandelbrot cascade or multiplicative chaos there exists a critical parameter value at which the behavior of the measure changes drastically. Away from criticality, the geometric properties of cascade and chaos measures have been studied intensively and much of the theory is by now classical. For small values of the parameter, the random measures considered here are natural examples of multifractality. The measures are exact dimensional with the dimension, depending deterministically on the parameter, strictly between 0 and the dimension of the ambient space in which the measure is constructed. For large values of the parameter the construction of the measures is a rather subtle issue, but it is known that in this case the measures are atomic. The main theme of this dissertation is the study of geometric properties of cascade and chaos measures at the critical parameter value. To mention one main result, it is shown that while the critical measures are almost surely supported on sets of Hausdorff dimension 0, they do not have atoms. Improving on the qualitative result, almost sure quantitative bounds are given for the mass carried by a set of a given size in the ambient geometry. One part of the analysis of the geometric properties of cascade and chaos measures is understanding the probability distributions of the mass of a given set. Since the measures are built to exhibit strong statistical self-similarity, this is a major part of understanding the full law of the measure, i.e. the joint laws arbitrary collections of sets. Results concerning the law of the mass of a fixed set are another main theme of this dissertation.Mandelbrotin kaskadit ja multiplikatiivinen kaaos ovat multifraktaalisia satunnaismittoja. Mandelbrot määritteli myöhemmin itsensä mukaan nimetyt kaskadinsa jo 1960-luvulla käsitelläkseen Kolmogorovin turbulenssimallia. Sittemmin kaskadi- ja kaaosmittoja on sovellettu esimerkiksi signaalinkäsittelyssä ja matemaattisessa rahoitusteoriassa. Viime aikoina kaaosmittoja on kuitenkin matematiikassa tutkittu ennen kaikkea satunnaisen tasogeometrian innoittamana, sillä kaaosmittojen teoria tarjoaa yhden lähestymistavan gaussisen vapaan kentän eksponentiaalin tutkimiseen. Sekä kaskadi- että kaaosmittojen konstruktiot tuottavat itse asiassa satunnaisia yhden reaalisen parametrin indeksoimia mittojen kokoelmia. Mitan geometriset ominaisuudet riippuvat oleellisesti parametrin arvosta. Tyypillisessä tapauksessa on olemassa yksi kriittinen parametrin arvo, jossa konstruoidun mitan laadulliset ominaisuudet muuttuvat. Kriittistä arvoa pienemmillä parametrin arvoilla mitta on luonnollinen esimerkki multifraktaalisesta mitasta. Mitan massa on keskittynyt joukkoon, jonka Hausdorff-dimensio on deterministinen parametrin funktio, joka lähestyy nollaa parametrin lähestyessä kriittistä arvoa. Kriittistä arvoa suuremmilla parametrin arvoilla mitat ovat atomisia eli niiden massa on keskittynyt numeroituvaan joukkoon pisteitä. Tässä väitöskirjassa tutkitaan kaskadi- ja kaaosmittojen geometrisia ominaisuuksia parametrin kriittisellä arvolla. Yksi päätuloksista koskee kriittisen mitan kantajaa: vaikka kriittisen mitan massa keskittyy joukkoon, jonka Hausdorff-dimensio on 0, ei mitalla kuitenkaan ole atomeja eli yksittäisillä pisteillä ei mitan mielessä ole massaa. Tälle tulokselle todistetaan myös kvantitatiivinen laajennos eli annetun kokoisen joukon massalle annetaan melkein varma yläraja. Kaskadi- ja kaaosmitoilla on vahvoja tilastollisia itsesimilaarisuusominaisuuksia, ja näiden ominaisuuksien hyödyntäminen on tärkein menetelmä mittojen geometristen ominaisuuksien tutkimisessa. Lisäksi on kuitenkin tärkeää tuntea annetun joukon massan todennäköisyysjakauma. Tätä ongelmaa koskevat tulokset muodostavat tämän väitöskirjan toisen pääteeman.
Subject: matematiikka
Licens: Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.


Filer under denna titel

Totalt antal nerladdningar: Laddar...

Filer Storlek Format Granska
nikula_dissertation.pdf 265.3Kb PDF Granska/Öppna

Detta dokument registreras i samling:

Visa fullständig post