On the multifractal spectra of mappings of finite distortion

Show full item record


Title: On the multifractal spectra of mappings of finite distortion
Author: Hitruhin, Lauri
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Thesis level: Doctoral dissertation (article-based)
Abstract: The thesis” On multifractal spectra of mappings of finite distortion” consist of introductory part and four articles. These articles revolve around stretching and rotational properties of mappings of finite distortion both in pointwise and global situations. In the second and third articles the sharp bounds for pointwise rotation of homeomorphisms with exponentially integrable distortion and homeomorphisms with integrable distortion have been established. The sharpness of these bounds is verified by constructing examples using nested annuli. The proofs for optimal bounds are based on techniques utilizing the modulus of path families. The idea is to find suitable path families and use inequality for moduli to find the correct bounds for rotation. This approach also highlights the correlation between stretching and rotation. Moreover, it can also be used for studying optimal pointwise stretching, where we can sharpen the previously known bound for homeomorphisms with integrable distortion. The method using modulus of path families differs from the methods used for obtaining the optimal bounds for quasiconformal mappings, which was done by Astala, Iwaniec, Prause and Saksman. In the first and fourth articles the maximal size of sets in which mappings of finite distortion can attain some predefined stretching and rotation is studied. Identifying the maximal size for all suitable combinations of stretching and rotation amounts to finding the multifractal spectra. In the first article the previously known bounds for the multifractal spectra of quasiconformal mappings, established by Astala, Iwaniec, Prause and Saksman, were sharpened to the level of the Hausdorff measures. This was done by constructing examples using non self-similar Cantor like sets. In the fourth article the multifractal spectra was studied for homeomorphisms with integrable distortion. Here the optimal bounds for the spectra were given and examples proving sharpness presented. Moreover, as an application a question by Clop and Herron, regarding compression of the Hausdorff measure for homeomorphisms of integrable distortion, was answered. Methods used in the proof for the spectra resemble those used in the pointwise case, but the choice of a suitable path family is more involved in this situation.Väitöskirja ”On the multifractal spectra of mappings of finite distortion” koostuu johdannosta ja neljästä artikkelista, jotka käsittelevät äärellisen distortion kuvausten teoriaa. Äärellisen distortion kuvaukset näyttelevät tärkeää osaa esimerkiksi virtausdynamiikassa, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa, dynamiikassa ja variaatiolaskennassa. Niillä on myös monia käytännön sovellutuksia lukuisilla fysikaalisten tieteiden aloilla, kuten materiaalitutkimuksessa. Äärellisen distortion kuvaukset kehittyivät alun perin pyrkimyksestä yleistää konformikuvausten vahvoja ominaisuuksia laajemmalle joukolle kuvauksia. Ensimmäinen askel tähän suuntaan oli kvasikonformikuvausten kehittyminen 1930-luvulla. Myöhemmin 1980-luvun lopulla näiden kuvausten perhettä yleistettiin entisestään äärellisen distortion kuvauksiksi uusien kysymysten vaatiessa entistä heikompia ehtoja kuvauksilta. Väitöskirjassa tutkitaan kvasikonformikuvausten lisäksi kahta kanonista äärellisen distortion kuvausten osajoukkoa, eksponentiaalisesti integroituvan distortion kuvauksia ja integroituvan distortion kuvauksia. Erityisesti keskitytään tutkimaan näiden kuvauksien kierto- ja venytysominaisuuksia niin pisteittäin kuin globaalisti. Pisteittäisessä tapauksessa, jota tutkitaan toisessa ja kolmannessa artikkelissa, todistetaan optimaaliset rajat niin eksponentiaalisesti integroituvan distortion kuin integroituvan distortion kuvausten kierrolle. Merkittävää osaa todistuksessa näyttelee käyräparven moduli, jota hyödyntäen rakennetaan uudenlainen menetelmän pisteittäisen kierron tutkimista varten. Globaalissa tapauksessa tutkitaan kuinka suuressa joukossa kvasikonformikuvaus tai integroituvan distortion kuvaus voi toteuttaa tietyt ennalta annetut kierto- ja venytysominaisuudet. Tämän joukon maksimaalisen koon selvittäminen kaikilla mahdollisilla kierron ja venytyksen parametreilla antaa multifraktaalispektrin. Ensimmäisessä artikkelissa tarkennetaan aiemmin tunnettua rajaa kvasikonformikuvausten multifraktaalispektrille ja neljännessä artikkelissa sovelletaan käyräparven modulin ympärille kehitettyä menetelmää integroituvan distortion kuvausten multifraktaalispektrin määrittelemiseksi.
URI: URN:ISBN:978-951-51-3968-9
Date: 2018-01-12
Rights: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
Onthemul.pdf 241.6Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record