Evaluation of master integrals in thermal field theory

Show full item record

Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201906172961
Title: Evaluation of master integrals in thermal field theory
Author: Österman, Juuso
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2019
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201906172961
http://hdl.handle.net/10138/303239
Thesis level: master's thesis
Abstract: Modernissa korkeaenergiafysiikassa luonnonilmiöt kuvataan kvanttikenttäteorioiden (QFT) avulla. Fysikaalisten suureiden arvioiminen johtaa usein häiriöteoreettisiin laskutoimituksiin, jotka kohdistuvat Feynmanin diagrammeihin. Nollalämpötilan teorioissa relevantit fysikaaliset suureet ilmaantuvat sironta-amplitudeista. Äärellisen lämpötilan teorioissa termodynaamiset suureet johdetaan systeemin vapaasta energiasta. Näiden perturbatiiviseen kuvaamiseen liittyvät Feynmanin diagrammit havainnollistavat graafisesti moniulotteisia liikemäärä- tai paikka-avaruuden integraaleja. Mestari-integraaleiksi nimitetään näissä diagrammeissa esiintyiä rakenteita, joita ei osata algebrallisesti esittää yksinkertaisemmassa muodossa. Ne ovat välttämättömiä häiriöteorian mukaisten korjausten arvioimisessa, ja ilmaantuvat jokaisessa kvanttikenttäteorian kuvaamassa järjestelmässä. Erityisesti diagrammaattiset integraalirakenteet voidaan esittää mestari-integraalien lineaarikombinaatioina ja tuloina. Nollalämpötilan kvanttikenttäteorioiden mestari-integraalit kytkeytyvät monisilmukkaisiin tyhjiödiagrammeihin, mikä johtaa tarkastelun $d$-ulotteisiin reguloituihin integraaleihin. Lämpötilakorjausten huomioiminen termisen kenttäteorian (TFT) mukaisesti muuttaa integraalit summaintegraaleiksi. Tutkielmassa tarkastellaan sekä lämpötilasta riippumattomia että riippuvaisia mestari-integraaleja, käyttäen $\overline{MS}$-kehitelmää (Modified Minimal Subtraction scheme). Tarkastelun aikana esitellään johdonmukainen joukko menetelmiä, joiden avulla integraalirakenteita kyetään arvioimaan kahden silmukan kertalukuun saakka. Kuitenkin metodeja voidaan yleistetyssä muodossa käyttää myös monimutkaisempiin järjestelmiin. Tutkielma aloittaa mestari-integraalien käsittelyn esittelemällä niiden fysikaalista taustaa. Tämä toteutetaan tutkimalla $\phi^4$-teoriaa ja erityisesti johtamalla sitä vastaavat Feynmanin säännöt. Seuraavaksi edetään tarkastelemaan $d$-ulotteisia mestari-integraalirakenteita (massallisilla propagaattoreilla) kahden silmukan kertalukuun saakka. Integraaleihin operoidaan käyttäen kompleksianalyysin ohella mm. kahta parametrisointimenetelmää ja Mellinin muunnosta. Tulosten hyötykäyttöä havainnollistetaan kolmen Feynmanin graafin avulla. Laskut suoritetaan käyttäen ulottuvuudeltaan madallettua efektiivistä kenttäteoriaa Standardimallin kenttäsisällöllä. Lämpötilasta riippuvat mestari-integraalit johdetaan osana yksinkertaisimman (massallisen) Feynmanin diagrammin korkean lämpötilan sarjakehitelmää. Yhden silmukan tapauksessa kunkin potenssisarjan termin voi esittää eksaktisti erikoisfunktioiden avulla. Kahden silmukan tapauksessa tämä ei ole yhtä suoraviivaista. Ratkaisumallissa summaintegraalista eristetään ultraviolettialueen (korkeat liikemäärän arvot) ja infrapuna-alueen (matalat liikemäärän arvot) divergoivat osat muodossa, jotka voidaan arvioida jo tunnettujen mestari-integraalien avulla. Äärellinen integraalin osa arvioidaan paikka-avaruudessa, johon siirrytään Fourier'n muunnoksella. Strategiaa sovelletaan useaan epätriviaaliin kaksisilmukkaiseen Standardimallin mukaiseen (fermioniseen ja bosoniseen) Feynmanin diagrammiin.Modern high energy physics describes natural phenomena in terms of quantum field theories (QFTs). The relevant calculations in QFTs aim at the evaluation of physical quantities, which often leads to the application of perturbation theory. In non-thermal theories these quantities emerge from, for example, scattering amplitudes. In high-temperature theories thermodynamical quantities, such as pressure, arise from the free energy of the system. The actual computations are often performed with Feynman diagrams, which visually illustrate multi-dimensional momentum (or coordinate) space integrals. In essence, master integrals are integral structures (within these diagrams) that can not be reduced to more concise or simpler integral representations. They are crucial in performing perturbative corrections to any system described by (any) QFT, as the diagrammatic structures reduce to linear combinations of master integrals. Traditional zero-temperature QFT relates the corresponding master integrals to multi-loop vacuum diagrams, which leads in practice to the evaluation of $d$-dimensional regularized momentum integrals. Upon transitioning to thermal field theory (TFT), the corresponding master integrals become multi-loop sum-integrals. Both the thermal and non-thermal master integral structures are explored at length, using $\overline{MS}$-scheme (Modified Minimal Subtraction) in the calculations. Throughout this thesis, a self-consistent methodology is presented for the evaluation of both types of master integrals, while limiting the calculations to one- and two-loop diagrams. However, the methods are easily generalized to more complex systems. The physical background of master integrals is introduced through a derivation of Feynman rules and diagrams for $\phi^4$ scalar field theory. Afterwards, the traditional $d$-dimensional master integral structures are considered, up to general two-loop structures with massive propagators. The evaluation strategies involve e.g. the Feynman parametrization and the Mellin-Barnes transform. The application of these results is demonstrated through the evaluation of three different diagrams appearing in the two-loop effective potential of the dimensionally reduced variant of the Standard model. The relevant thermal one-loop integral structures are introduced through the high-temperature expansion of a massive one-loop sum-integral (with a single massive propagator). The thermal multi-loop computations are predominantly considered with a methodology that decomposes the integrals into finite and infinite elements. Specifically, we demonstrate the removal of both the ultraviolet and infrared (UV and IR) divergences, and evaluate the remaining finite integral using the Fourier transform from momentum space back to coordinate space. The strategies are applied to multiple non-trivial diagrammatic structures arising from the Standard model.
Discipline: Teoreettinen fysiikka


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
Osterman_Juuso_Pro_gradu_2019.pdf 1.030Mb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record