Funktion polynomiapproksimaatioita

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201906183007
Title: Funktion polynomiapproksimaatioita
Author: Turunen, Tomi
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2019
Language: fin
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-201906183007
http://hdl.handle.net/10138/303301
Thesis level: master's thesis
Discipline: Matematiikan opettajan koulutus
Abstract: Funktion approksimointimenetelmiä käytetään karkeasti jaoteltuna kahdessa eri tilanteessa. Ensimmäinen näistä on jonkin tunnetun funktion korvaaminen toisella helpommin käsiteltävällä funktiolla siten, että se jossakin ympäristössä kuvastaa riittävän hyvin alkuperäisen funktion käyttäytymistä. Polynomifunktiot sopivat tähän tarkoitukseen erinomaisesti, sillä ne ovat jatkuvia, derivoituvia ja verrattaen helposti käsiteltäviä. Tärkeä lähtökohta polynomeilla approksimoinnille on Weierstrassin approksimaatiolause, joka todistetaan kahdella eri tavalla luvuissa 2 ja 4. Lisäksi esitetään Weierstrassin esimerkki kaikkialla jatkuvasta, ei missään derivoituvasta funktiosta. Luvuissa 3 ja 4 esitellään kaksi polynomia, Taylorin ja Bernsteinin polynomit, joilla voidaan approksimoida tunnettua funktiota. Approksimoinnin toinen asetelma on, että approksimoitavasta funktiosta tunnetaan vain arvoja yksittäisissä pisteissä ja tavoitteena on muodostaa funktio, jolla saadaan informaatiota näiden pisteiden väliltä. Tällä tavalla voidaan esimerkiksi analysoida kokeellisia mittaustuloksia tai muodostaa malleja ja ennusteita. Luvussa 5 esitellään interpolaatiota ja Lagrangen interpolaatiokaava annettujen pisteiden kautta kulkevan polynomin muodostamiseksi. Approksimaation virheen minimoinnista kerrotaan luvussa 6 ja esitellään Chebyshevin polynomi, jolla saadaan tasaisia approksimaatioita minimoiden maksimivirhe. Lopuksi annetaan Remezin algoritmin muodossa esimerkki menetelmästä, jolla voidaan etsiä funktiolle tällaista pienimmän maksimivirheen polynomiapproksimaatiota.


Files in this item

Files Size Format View

There are no files associated with this item.

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record