Stability Index of Real Varieties: Theorem of Bröcker and Scheiderer

Show full item record



Permalink

http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202202231343
Title: Stability Index of Real Varieties: Theorem of Bröcker and Scheiderer
Alternative title: Reaalisten varistojen vakausindeksi: Bröckerin ja Scheidererin teoria
Author: Uotila, Valter Johan Edvard
Other contributor: Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta
University of Helsinki, Faculty of Science
Helsingfors universitet, Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten
Publisher: Helsingin yliopisto
Date: 2022
Language: eng
URI: http://urn.fi/URN:NBN:fi:hulib-202202231343
http://hdl.handle.net/10138/340827
Thesis level: master's thesis
Degree program: Matematiikan ja tilastotieteen maisteriohjelma
Master 's Programme in Mathematics and Statistics
Magisterprogrammet i matematik och statistik
Specialisation: Matematiikka
Mathematics
Matematik
Abstract: Tässä työssä todistan Bröckerin ja Scheidererin teorian avoimille semi-algebrallisille perusjoukoille. Teoria osoittaa, että jokaiselle reaaliselle algebralliselle varistolle on olemassa yläraja niiden polynomien lukumäärässä, joiden avulla variston osajoukkona olevia avoimia semi-algebrallisia perusjoukkoja määritellään. Tätä lukuarvoa kutsutaan reaalisen variston vakausindeksiksi. Teoria pohjaa suljetuille reaalisille kunnille, jotka yleistävät reaalilukujen kuntaa. Reaalinen algebrallinen varisto on suljetun reaalisen kunnan osajoukko, joka on määritelty polynomiyhtälöiden ratkaisujoukkona. Jokainen semi-algebrallinen joukko on määritelty Boolen yhdistelmänä äärellisestä määrästä polynomien merkkiehtoja, jotka toteuttavat tietyt yhtäsuuruudet ja epäyhtälöt. Semi-algebralliset perusjoukot ovat ne semi-algebralliset joukot, jotka toteuttavat ainoastaan annetut yhtäsuuruudet ja epäyhtälöt polynomien merkkiehdoissa. Semi-algebrallisista perusjoukoista voidaan siis rakentaa kaikki semi-algebralliset joukot ottamalla perusjoukkojen äärelliset yhdisteet, leikkaukset ja joukkoerotukset. Tämä työ pyrkii esittämään riittävät esitiedot päätuloksen todistuksen syvällistä ja yksityiskohtaista ymmärtämistä varten. Ensimmäinen luku esittelee ja motivoi tulosta yleisellä tasolla. Toinen luku käsittelee tiettyjä edistyneitä algebrallisia rakenteita, joita vaaditaan päätuloksen todistuksessa. Näitä ovat muun muassa radikaalit, alkuideaalit, assosiatiiviset algebrat, renkaan ulottuvuuden käsite sekä tietyt tekijärakenteet. Kolmas luku määrittelee suljetut reaaliset kunnat ja semi-algebralliset joukot, jotka ovat tämän työn kulmakiviä. Kolmannessa luvussa myös kehitetään neliömuotojen teoriaa. Kolmannen luvun päätulos on Wittin teoria. Neljäs luku käsittelee Pfisterin muotoja, jotka ovat tietynlaisia neliömuotoja. Työssä määritellään yleiset Pfisterin muodot kuntien yli. Tämän jälkeen kehitään niiden teoriaa rationaalifunktioiden kunnan yli. Viidennessä luvussa esitetään kaksi konstruktiivista esimerkkiä Bröckerin ja Scheidererin teorian käytöstä yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Nämä esimerkit edelleen motivoivat tulosta ja sen mahdollisia algoritmisia ominaisuuksia. Työn päätteeksi todistetaan Bröckerin ja Scheidererin teoria, joka osoittaa, että reaalisen variston vakausindeksi on olemassa ja se on äärellinen kaikille reaalisille varistoille.In this work, I prove the theorem of Bröcker and Scheiderer for basic open semi-algebraic sets. The theorem provides an upper bound for a stability index of a real variety. The theory is based on real closed fields which generalize real numbers. A real variety is a subset of a real closed field that is defined by polynomial equalities. Every semi-algebraic set is defined by a boolean combination of polynomial equations and inequalities of the sign conditions involving a finite number of polynomials. The basic semi-algebraic sets are those semi-algebraic sets that are defined solely by the sign conditions. In other words, we can construct semi-algebraic sets from the basic semi-algebraic sets by taking the finite unions, intersections, and complements of the basic semi-algebraic sets. Then the stability index of a real variety indicates the upper bound of numbers of polynomials that are required to express an arbitrary semi-algebraic subset of the variety. The theorem of Bröcker and Scheiderer shows that such upper bound exists and is finite for basic open semi-algebraic subsets of a real variety. This work aims to be detailed in the proofs and represent sufficient prerequisites and references. The first chapter introduces the topic generally and motivates to study the theorem. The second chapter provides advanced prerequisites in algebra. One of such results is the factorial theorem of a total ring of fractions. Other advanced topics include radicals, prime ideals, associative algebras, a dimension of a ring, and various quotient structures. The third chapter defines real closed fields and semi-algebraic sets that are the fundamental building blocks of the theory. The third chapter also develops the theory of quadratic forms. The main result of this chapter is Witt’s cancellation theorem. We also shortly describe the Tsen-Lang theorem. The fourth chapter is about Pfister forms. Pfister forms are special kinds of quadratic forms that we extensively use in the proof of the main theorem. First, we define general Pfister forms over fields. Then we develop their theory over the fields of rational functions. Generally, Pfister forms share multiple similar properties as quadratic forms. The fifth chapter represents one- and two-dimensional examples of the main theorem. These examples are based on research that is done on constructive approaches to the theorem of Bröcker and Scheiderer. The examples clarify and motivate the result from an algorithmic perspective. Finally, we prove the main theorem of the work. The proof is heavily based on Pfister forms.
Subject: real closed fields
semi-algebraic geometry
quadratic forms
Pfister forms


Files in this item

Total number of downloads: Loading...

Files Size Format View
valter_uotila_thesis.pdf 837.4Kb PDF View/Open

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record