Riskin minimoiva suojausstrategia sijoitussidonnaisille henkivakuutuksille

Abstract

Tässä tutkielmassa esitetään suojausmenetelmä monitilaisille sijoitussidonnaisille henkivakuutuksille. Sijoitussidonnaisissa henkivakuutussopimuksissa vakuutusyhtiön vakuutetulle maksamat korvaukset riippuvat sekä vakuutetun tilasta että arvopaperimarkkinoista. Arvopaperimarkkinat ovat jatkuva-aikaiset ja koostuvat yhdestä riskittömästä ja yhdestä riskillisestä arvopaperista, joita vakuutusyhtiöllä on portfoliossaan. Esiteltävässä suojausmenetelmässä tulevien kustannusten neliön ehdollinen odotusarvo minimoidaan portfolion suhteen kaikkina tarkasteltavina ajanhetkinä. Näin määritettyä yksikäsitteistä portfolioprosessia kutsutaan riskin minimoivaksi suojausstrategiaksi.

Ensimmäisessä luvussa käydään läpi myöhempien lukujen kannalta välttämättömiä esitietoja. Todennäköisyysteoria oletetaan pääosin tunnetuksi, ja stokastisen analyysin asioiden kohdalla useimmat todistukset sivuutetaan. Tuloksista keskeisimpänä mainittakoon Galtchouk-Kunita-Watanabe-hajotelma, jonka todistus esitetään aputuloksiin vedoten. GKW-hajotelman mukaan neliöintegroituva martingaali voidaan esittää yksikäsitteisesti kolmen tietyt ehdot toteuttavan martingaalin summana.

Toisessa luvussa esitellään lyhyesti tunnettu Black-Scholes-markkinamalli. Lisäksi määritellään maksuprosessi, jolla kuvataan henkivakuutussopimuksen generoimia maksuja vakuutusyhtiön näkökulmasta. Tämän jälkeen tutustutaan maksujen ehdollisen odotusarvoprosessin käsitteeseen ja määritetään yksikäsitteinen riskin minimoiva suojausstrategia sekä sitä vastaava riskiprosessi yleiselle maksuprosessille. Ratkaiseviksi tekijöiksi osoittautuvat maksujen ehdollisen odotusarvoprosessin GKW-hajotelmassa esiintyvä ennustettava prosessi ja riskittömällä arvopaperilla diskontatun riskillisen arvopaperin kanssa ortogonaalinen martingaali.

Kolmas luku käsittelee monitilaisten henkivakuutusten mallintamista Markov-prosessien avulla ja niin kutsuttua yhdistettyä mallia. Yhdistetty malli koostuu sekä arvopaperimarkkinoiden että vakuutetun tilan kehitystä kuvaavan Markov-prosessin generoimista filtraatioista, jotka oletetaan riippumattomiksi. Luvun päätteeksi johdetaan esitys monitilaisen sijoitussidonnaisen henkivakuutussopimuksen maksuprosessille.

Neljännessä luvussa määritetään riskin minimoiva suojausstrategia ja riskiprosessi edellä johdetulle maksuprosessille. Ensin todistetaan kuitenkin kyseistä maksuprosessia vastaavan maksujen ehdollisen odotusarvoprosessin GKW-hajotelma, jonka avulla suojausstrategia riskiprosesseineen löydetään. Lopussa suojausstrategiaa sovelletaan yksinkertaisten kaksi- ja kolmitilaisten Markov-prosesseilla mallinnettavien sijoitussidonnaisten henkivakuutussopimusten maksuprosesseihin.