Off-diagonal and two-sided commutator bounds

Abstract

Singular integrals quantify regularity in partial differential equations and geometric measure theory, while commutators of these singular integrals are tied to factorizations of Hardy spaces, div-curl lemmas and to the Jacobian problem; all relevant examples in contemporary analysis. Our commutators are formed by commuting a singular integral with a function (symbol) acting as a pointwise multiplication. In this dissertation we are concerned with both the qualitative and quantitative properties of commutators. More precisely, we develop real analytic techniques that yield lower- and upper bounds for operator norms of commutators in terms of oscillatory testing conditions on the symbol of the commutator.

Classically, between the commutator lower- and upper bounds, the latter has dominated the commutator scene due to the surplus of flexible tools such as the representation theorem and the sparse domination principle; while for the opposite reason, the lower bounds have been restricted to algebraically well-structured operators such as the Riesz transforms.

Lately, a powerful argument to obtain commutator lower bounds was introduced by Hytönen, adding an approximation on top of the weak factorization scheme, originally due to Uchiyama. Through the approximate weak factorization argument commutator lower bounds became available under minimal a priori assumptions on the kernel of the singular integral and the symbol.

The main contribution of this dissertation is the systematic development of the approximate weak factorization argument in the bi-parameter, bilinear and parabolic settings over Euclidean spaces. Moreover, we obtain commutator norm bounds in the off-diagonal setting, where functions in the domain and the range of the commutator have non-matching integrability.

In the second and third articles, we study two different bi-parameter commutators in the mixed product setting and obtain several new characterizations of commutator boundedness in terms of mixed oscillatory testing conditions on the symbol; in the fourth article we study bilinear commutators in the quasi-Banach setting and obtain a close to full extension of the linear theory to the bilinear setting; in the fifth article we introduce a factorization scheme for parabolic atoms in terms of the parabolic Hilbert transform, and thus complete the characterization of the boundedness of the parabolic Hilbert commutator.

Additionally, in the first article we obtain an almost full characterization of the boundedness of the iterated commutator with two different symbols.

Singulaari-integraalien juuret ovat Fourier-sarjan suppenemisen kattavassa klassisessa harmonisessa analyysissä, ne kvantifioivat esimerkiksi Laplacen yhtälön ratkaisun säännöllisyyttä, ja ovat suoristuvuuden mittareita geometrisessa mittateoriassa. Singulaari-integraalien kommmutaattorit taas liittyvät muun muassa Jakobiaaniongelmaan, Hardy-avaruuksien faktorisointeihin ja kompensoituun kompaktisuuteen. Kaikki esimerkit edellä ovat oleellisia matemaattisen analyysin mailmassa.

Viimeisenä vuosikymmenenä kehittynyt yleinen singulaari-integraaleja koskeva teknologia esityslauseiden ja harvadominointien muodossa on mahdollistanut kommutaattoriylärajojen nopean kehityksen. Samanlaista kehitystä ei ole kuitenkaan suotu kommutaattorialarajoille, jotka ovat olleet saatavilla lähinnä yksittäisille algebrallisesti hyvin strukturoiduille singulaari-integraaleille kuten Rieszin muunnoksille. Hiljattain professori Hytönen esitteli lisäyksen edesmenneen professori Uchiyaman klassiseen Hardy-atomien heikon hajottamisen teoriaan, näin luoden pohjaa monille uusille kommutaattorialarajoille.

Tässä väitöstyössä tutkimme kommutaattorien kvalitatiivisia- ja kvantitatiivisia ominaisuuksia, erityisesti reaalianalyyttisiä metodeja, joista seuraa kommutaattoreille sekä ala- että ylärajoja. Tarkentuen, kehitämme yllä mainittua heikon hajottamisen teoriaa, jonka seurauksena todistamme kommutaattoriestimaatteja Lebesguen p-normin suhteen niin bilineaarisessa, bi-parametrisessa kuin parabolisissakin asetelmassa.