Yliopiston etusivulle Suomeksi På svenska In English Helsingin yliopisto

On Linear and Nonlinear Beltrami Systems

Show full item record

Files in this item

Files Description Size Format View/Open
onlinear.pdf 444.3Kb PDF View/Open
Use this URL to link or cite this item: http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-10-8337-2
Vie RefWorksiin
Title: On Linear and Nonlinear Beltrami Systems
Author: Jääskeläinen, Jarmo
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Thesis level: Doctoral dissertation (article-based)
Abstract: The dissertation consists of an introductory part and three articles. The starting point of the work is the consideration of quasiregular mappings in the plane. These are characterized by the Beltrami equation.

One of the foundational results of the theory of quasiregular mappings is that the derivative of a nonconstant map does not vanish almost everywhere. The first paper (in collaboration with Kari Astala) shows that the same is true for so-called reduced quasiregular mappings when the function is one-to-one.

The second paper studies linear classes of planar quasiregular mappings. In addition, it shows that the derivative of a nonconstant reduced quasiregular map is non-vanishing even in subdomains and without assuming injectivity. The principal tool of the proof is a reverse Hölder inequality for the adjoint equation of a 2nd order uniformly elliptic operator in the nondivergence form. The non-vanishing fact is used to show Wronsky-type theorem for general linear Beltrami systems. This result is applied to prove that the associated Beltrami equation of a linear quasiregular family is unique.

The third article (joint work with Kari Astala, Albert Clop, Daniel Faraco, and László Székelyhidi Jr) tackles the problem of uniqueness of normalized solutions to the nonlinear Beltrami equation. It turns out that the uniqueness holds under explicit bounds in the ellipticity constant of the equation at infinity, but not in general. The fact is complemented with counterexamples.Väitöskirjassa on johdanto ja kolme tutkimusartikkelia. Tason Beltramin yhtälöt yhdistävät näitä kaikkia. Kahdessa ensimmäisessä julkaisussa tarkastellaan lineaarisia yhtälöitä ja kolmannessa epälineaarisia. Beltramin yhtälöllä on vaiheikas menneisyys; yhtälöä tutkittiin jo 100 vuotta sitten. Beltramin yhtälö määrittää tason kvasisäännölliset kuvaukset, mikä mahdollistaa sen monipuolisen hyödyntämisen. Kvasius taas tuo kuvaukselle erittäin vahvat geometriset ominaisuudet, jotka muistuttavat analyyttisten funktioiden peruspiirteitä. Ala onkin edelleen suuren kiinnostuksen kohteena: Beltramin yhtälöillä on merkittävä rooli esimerkiksi geometriassa, analyysissä ja fysiikassa.

Yksi perustava tulos kvasisäännöllisille kuvauksille on niiden derivaatan häviämättömyys melkein kaikkialla, ellei kuvaus ole vakio. Ensimmäisessä artikkelissa (yhteistyössä Kari Astalan kanssa) todistetaan vastaava tulos niin kutsutuille pelkistetyille kvasisäännöllisille kuvauksille, kun käsitellään koko tason injektioita. Toisessa julkaisussa osoitetaan ominaisuus myös tason osajoukoissa ja ilman funktion injektiivisyysoletusta. Tietoa voidaan käyttää kuvausperheiden ja niiden suppenemisominaisuuksien tutkintaan.

Kolmas julkaisu (yhteistyössä Kari Astalan, Albert Clopin, Daniel Faracon ja László Székelyhidi Jr:n kanssa) määrittää tarkan elliptisyysrajan, jolla epälineaarisen Beltramin yhtälön ratkaisut ovat yksikäsitteisiä.
URI: URN:ISBN:978-952-10-8337-2
http://hdl.handle.net/10138/37116
Date: 2012-11-09
Copyright information: This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
This item appears in the following Collection(s)

Show full item record

Search Helda


Advanced Search

Browse

My Account